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文档简介

。两个重要的极限的证明引言：两个重要极限是高等数学极限理论中的经典内容，第一个重要极限的证明，现行教材中通常采用在单位圆中利用面积关系构造不等式，再用夹逼原理证明得到结论。用极限理论计算圆或扇形面积都涉及到的结论运用，或者运洛比达法则证明极限，要利用导数公式，而这个公式恰是利用，因此，这些方法都有循环证明的嫌疑；第二个主要极限的证明，通常作法是，先考虑x取正整数n而趋于的情形，设，用牛顿二项式证明单调有界，再用单调有界数列必有极限的准则，证明数列的极限存在，方法比较复杂，特别是有界性的证明需要一定的技巧，所以本文只对两个重要极限作一个简单的证明。1证明：OxCABD图（a）证明：如图（a）作单位圆。当0x时，显然有OAD面积扇形OAD面积OAB面积。即，sinxxa0，于是对任一自然数n有或，整理后得不等式。（1）令a=1+，b=1+，将它们代入（1）。由于，故有，这就是说为递增数列。再令a=1，b=1+代入（1）。由于，故有，。不等式两端平方后有，它对一切自然数n成立。联系数列的单调性，由此又推得数列是有界的。于是由单调有界定理知道极限是存在的。3证明：。证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：（1）（2）现在先应用2中数列极限，证明（1）式成立。设n+1，则有及，（3） 作定义在1，+上的阶梯函数。， n+1，n+1。由（3）有f(x)，x1，。由于，根据迫敛性定理便得（1）式。现在证明（2）式。为此作代换x=-y，则因为当x-时，有y-1+，故上式右端以e为极限，这就证得。以后还常常用到e的另一种极限形式，（4）因为，令，则x和a0是等价的，所以，。结语:两个重要极限是极限理论中的重要内容，两个重要极限的证明是学习的重点，极限不及时基本的数学基础，而且是数学分析的基石，所以对于我们学习数学专业的学生尤其重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。所以我们要努力地把这部分内容学好。欢迎您的下载，资料
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