高等代数(北大版)第8章习题参考答案.pdf

第八章 矩阵 1 化下列矩阵成标准形 1 2 3 4 5 6 解 1 对矩阵作初等变换 有 A B B即为所求 2 对矩阵作初等变换 有 A B B即为所求 3 因为的行列式因子为 1 1 2 3 所以 1 1 2 3 从而 A B B即为所求 4 因为的行列式因子为 1 1 2 3 4 所以 1 1 2 3 4 从而 A B B即为所求 5 对矩阵作初等变换 有 A B B即为所求 6 对矩阵作初等变换 有 A 在最后一个行列式中 3 1 4 5 所以 1 2 3 1 4 5 故所求标准形为 B 2 求下列矩阵的不变因子 1 2 3 4 5 解 1 所给矩阵的右上角的二阶子式为1 所以其行列式因子为 1 1 2 1 3 故该矩阵的不变因子为 1 2 1 3 2 因为所给矩阵的右上角的三阶子式为 1 所以其行列式因子为 3 2 1 1 4 故矩阵的不变因子为 1 2 3 1 4 3 当时 有 4 且在矩阵中有一个三阶子式 于是由 3 1 可得 3 1 故该矩阵的不变因子为 1 2 3 1 4 当时 由 1 1 2 1 3 4 从而 1 2 1 3 4 4 因为所给矩阵的左上角三阶子式为1 所以其行列式因子为 1 1 2 1 3 1 4 从而所求不变因子为 1 2 3 1 4 5 因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式 所以其行列式 因子为 3 1 4 故所求不变因子为 1 2 3 1 4 3 证明 的不变因子是 其中 证 因为 n 按最后一列展开此行列式 得 n 因为矩阵左下角的阶子式 所以 1 从而 1 2 1 故所给矩阵的不变因子为 1 2 1 即证 4 设A是数域P上一个阶矩阵 证明A与相似 证 设 A 则 因为A与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子 所以只需证明与 有相同的不变因子即可 注意到与对应的级子式互为转置 因而对应的级子式相等 故 与 有相同的各级行列式因子 从而有相同的不变因子 即证A与相似 5 设 A 求 解 因为 所以 6 求下列复系数矩阵的若尔当标准形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解 1 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 故A的若尔当标准形为 2 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 故A的若尔当标准形为 3 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 故A的若尔当标准形为 4 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 故A的若尔当标准形为 5 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 从而A的若尔当标准形为 6 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 从而A的若尔当标准形为 7 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 故A的若尔当标准形为 8 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 故A的若尔当标准形为 9 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 故A的若尔当标准形为 10 设原矩阵为A 则 设 则由 卡当 公式可解得 其中 于是A的初等因子是 故A的若尔当标准形为 11 设原矩阵为A 则 于是A的初等因子是 故 A的若尔当标准形为 12 设原矩阵为A 则 因为三阶子式无公共非零因式 所以的行列式因子为 3 1 4 于是 4 3 2 1 1 因此A的初等因子是 故 A的若尔当标准形为 13 设原矩阵为A 则 所以A的初等因子是 故 A的若尔当标准形为 14 设原矩阵为A 则 于是有一个阶子式 所以的行列式因子为 1 2 1 其中1 是个次单位根 所以A的初等因子为 故 A的若尔当标准形为 注 上述矩阵的若尔当标准形也可用波尔曼公式求得 留给读者作为 练习 7 把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵 试写出它们的有理标准 形 解 1 已知A 且 所以A的有理标准形为 2 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 3 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 4 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 5 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 6 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 7 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 8 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 9 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 10 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 11 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 12 已知 A 且 因为4 3 三阶子式的公因式是零次多项式 所以A的不变因子 为 故A的有理标准形为 13 已知 A 且 所以A的不变因子为 故A的有理标准形为 14 已知 A 且 又因为 所以 这意味着A的不变因子为 故A的有理标准形为 二 补充题参考解答 1 A是维线性空间上V的线性变换 1 若A在V的某基下的矩阵A是某多项式的伴侣阵 则A的最小多项式 是 2 设A的最高次的不变因子是 则A的最小多项式是 证 1 设A在V的基下的矩阵