附录+II+平面图形的几何性质.ppt

工程力学 C 北京理工大学理学院力学系韩斌 26 下册 附录II平面图形的几何性质 1 静矩 一次矩 与形心 任意平面图形A 例如杆的横截面 建立yz坐标系 x轴为杆的轴线 平面图形的形心C yc zc 静矩的单位 m3 cm3 mm3 静矩与形心 静矩的性质 1 静矩与轴有关 可正可负可为零 2 若yC zC坐标轴过形心 则有 3 组合图形静矩可分块计算求代数和 4 求形心 2 惯性矩 二次矩 惯性矩的单位 m4 cm4 mm4 惯性矩的性质 1 惯性矩与轴有关 恒为正 2 组合图形惯性矩可分块计算求代数和 例题II 1 II平面图形的几何性质 例题 求矩形截面对z轴的惯性矩 解 常见图形的惯性矩 3 惯性积 惯性积的性质 1 惯性积与轴有关 可正可负可为零 2 若y z轴有一为图形的对称轴 则Iyz 0 4 平行移轴公式 若两组坐标轴分别平行 且其中一组为形心轴 则 A为图形的面积 a b为形心C在yz坐标系中的坐标 平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩 例题II 2 II平面图形的几何性质 例题 求T形截面对其形心轴的惯性矩 解 建立过形心的zCyC坐标系 及平行于zC轴的z轴 1 求形心的位置 2 求惯性矩 5 转轴公式 设y z为任一对坐标轴 将其绕O点逆时针旋转角 得到新坐标轴y z 则有 6 主惯性轴 主惯性矩 1 主惯性轴 若图形对某一对坐标轴的惯性积等于零 这一对坐标轴就称为主惯性轴 2 主惯性矩 图形对主惯性轴的惯性矩 注意 图形对过某点的所有轴的惯性矩中 两个主惯性矩中的一个是最大值 另一个是最小值 3 形心主惯性轴 通过形心C的主惯性轴 注意 对称轴一定是形心主惯性轴 4 形心主惯性矩 图形对形心主惯性轴的惯性矩 比较 应力的主方向 主应力 求图示截面对z轴的惯性矩 例题II 3 II平面图形的几何性质 例题 负面积法 例题II 3 II平面图形的几何性质 例题 正方形对和轴的惯性矩均为 而与轴是形心主惯性轴 都是形心主惯性矩 对所有的形心轴来说 及中的一个是最大值 另一个是最小值 实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴 对其任意形心轴的惯性矩为一常数 此结论可推广到任意正多边形 即任意正多边形对其任意一形心轴的惯性矩为常量 例如 求图示图形对z轴的惯性矩 判断正误 例题II 4 II平面图形的几何性质 例题 错 错 例题II 5 II平面图形的几何性质 例题 画出下列图形形心主惯性轴的大致方位 7 工程上常用的各种型钢截面几何参数 工程上常用的工字钢 槽钢 等边角钢 不等边角钢可查附录III型钢表 例如 型号为25a的工字钢 查表可知 13梁的弯曲 13 1弯曲的概念 1 弯曲的特点 外力 垂直于杆轴线的横向力或作用于轴线所在平面内的力偶 变形 杆轴线由直线变为曲线 内力 杆件横截面内的剪力FS 弯矩M 2 常见的几种弯曲类型 平面弯曲 外力系为轴线所在平面内的平面力系 变形后轴线变为平面曲线 对称弯曲 横截面有一纵向对称轴 y轴 外力作用于该对称轴与杆轴组成的纵向对称面内 内力分量为剪力FS 弯矩M 纯弯曲 横截面上只有M 无FS 剪切弯曲 一般弯曲 FS M均有 例如 AB CD段 剪切弯曲 BC段 纯弯曲 3 列剪力 弯矩方程 画剪力 弯矩图 复习上学期内容 13 2纯弯曲时横截面上的应力弯曲正应力公式 纯弯曲实验观察 平面假设 变形后横截面保持平面且仍与轴线正交 单向受力假设 纵向纤维间无挤压 将中性轴取为z轴 纵向对称轴取为y轴 杆轴取为x轴 1 变形几何关系 微段 截面mm相对nn转动 中性层曲率半径设bb线段的线应变 a bb变形后长度 bb变形前长度 2 物理关系 由单向受力假设 b 中性轴处 3 静力学关系 横截面上的正应力分布力系向截面形心简化得到截面上的内力分量 c e d c 中性轴z轴必过截面形心 d yz轴为截面形心主惯性轴 y为对称轴 已满足 e 13 1 EIz为梁的弯曲刚度 若截面关于z轴上下对称 则有 若截面关于z轴上下不对称 则有 应分别计算 如M为正 则 常见各种形状截面的弯曲截面系数 13 3剪切弯曲时横截面上的应力弯曲切应力公式 1 剪切弯曲 一般弯曲 时横截面上的正应力 剪切弯曲 一般弯曲 时 横截面上既有M 也有FS 横截面上既有 也有 剪切弯曲时 某横截面上的正应力 弯曲正应力的最大值 2 剪切弯曲时横截面上的切应力 切应力分布与截面形状有关 1 矩形截面上的弯曲切应力 假设 从梁中切出分离体 x方向平衡 其中 矩形截面 中性轴上切应力最大 2 工字形截面上的弯曲切应力 主要考虑腹板上的弯曲切应力 其中 3 圆形 圆环形截面上的弯曲切应力 最大切应力在中性轴处 任意水平线上某点处切应力的y方向分量 最大切应力也在中性轴处 1 横截面上切应力的存在使得梁在弯曲时横截面出现翘曲 不再保持平面 3 某些形状的截面 薄壁梁如T梁 L梁 工字梁 或某些受力情况 如支座附近有较大集中力 下 横截面上的切应力是主要应力 3 弯曲中心的概念 观察薄壁杆件弯曲切应力的特点 在截面上形成切应力流 截面上分布切应力系向该平面内任意一点简化 即为该截面上的内力分量 一定存在某点e 向e点简化的结果只有一个合力即剪力FS而没有扭矩T e点称为该截面的弯曲中心 外力若作用在弯曲中心所在的纵向截面内该梁仅产生弯曲而不会产生扭转 截面的弯曲中心位置的确定 决定于截面的几何形状 尺寸 例如 确定槽钢的弯曲中心 常见各种形状截面的弯心位置见书中表13 1