高中数学教桉-指数与指数函数.ppt

要点梳理1 根式 1 根式的概念如果一个数的n次方等于a n 1且n N 那么这个数叫做a的n次方根 也就是 若xn a 则x叫做 其中n 1且n N 式子叫做 这里n叫做 a叫做 2 4指数与指数函数 a的n次方根 根式 根指数 被开方数 基础知识自主学习 2 根式的性质 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号 表示 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反数 这时 正数的正的n次方根用符号 表示 负的n次方根用符号 表示 正负两个n次方根可以合写为 a 0 a 当n为奇数时 当n为偶数时 负数没有偶次方根 2 有理数指数幂 1 幂的有关概念 正整数指数幂 n N 零指数幂 a0 a 0 负整数指数幂 a p a 0 p N a 1 正分数指数幂 a 0 m n N 且n 1 负分数指数幂 a 0 m n N 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的性质 aras a 0 r s Q ar s a 0 r s Q ab r a 0 b 0 r Q ar s ars arbr 0 没有意义 3 指数函数的图象与性质 R 0 0 1 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 减函数 增函数 基础自测1 已知a 则化简的结果是 A B C D 解析 C 2 下列函数中 既是偶函数又在 0 上单调递增的是 A y x3B y x2 1C y x 1D y 2 x 解析因为y x3是奇函数 从而可排除A 因为函数y x2 1及y 2 x 在 0 上单调递减 所以排除B D C 题型一指数幂的化简与求值 例1 计算下列各式 题型分类深度剖析 先把根式化为分数指数幂 再根据幂的运算性质进行计算 解 思维启迪 根式运算或根式与指数式混合运算时 将根式化为指数式计算较为方便 对于计算的结果 不强求统一用什么形式来表示 如果有特殊要求 要根据要求写出结果 但结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 探究提高 知能迁移1 解 题型二指数函数的性质 例2 12分 设函数f x 为奇函数 求 1 实数a的值 2 用定义法判断f x 在其定义域上的单调性 由f x f x 恒成立可解得a的值 第 2 问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可 思维启迪 解 1 方法一依题意 函数f x 的定义域为R f x 是奇函数 f x f x 2分 2 a 1 2x 1 0 a 1 6分方法二 f x 是R上的奇函数 f 0 0 即 a 1 6分 2 由 1 知 设x1 x2且x1 x2 R 8分 10分 f x2 f x1 f x 在R上是增函数 12分 1 若f x 在x 0处有定义 且f x 是奇函数 则有f 0 0 即可求得a 1 2 由x1 x2推得实质上应用了函数f x 2x在R上是单调递增这一性质 探究提高 知能迁移2设是定义在R上的函数 1 f x 可能是奇函数吗 2 若f x 是偶函数 试研究其单调性 解 1 方法一假设f x 是奇函数 由于定义域为R f x f x 即整理得即即a2 1 0 显然无解 f x 不可能是奇函数 方法二若f x 是R上的奇函数 则f 0 0 即 f x 不可能是奇函数 2 因为f x 是偶函数 所以f x f x 即整理得又 对任意x R都成立 有得a 1 当a 1时 f x e x ex 以下讨论其单调性 任取x1 x2 R且x1 x2 当f x1 0 即增区间为 0 反之 0 为减区间 当a 1时 同理可得f x 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 1 单调性是指数函数的重要性质 特别是函数图象的无限伸展性 x轴是函数图象的渐近线 当01 x 时 y 0 当a 1时 a的值越大 图象越靠近y轴 递增的速度越快 当0 a 1时 a的值越小 图象越靠近y轴 递减的速度越快 2 画指数函数y ax的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 1 方法与技巧 思想方法感悟提高 3 在有关根式 分数指数幂的变形 求值过程中 要注意运用方程的观点处理问题 通过解方程 组 来求值 或用换元法转化为方程来求解 1 指数函数y ax a 0 a 1 的图象和性质与a的取值有关 要特别注意区分a 1与0 a 1来研究 2 对可化为a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 的指数方程或不等式 常借助换元法解决 但应注意换元后 新元 的范围 失误与防范 一 选择题1 下列等式中一定成立的有 A 0个B 1个C 2个D 3个解析 A 定时检测 2 函数f x ax b的图象如右图 其中a b为常数 则下列结论正确的是 A a 1 b1 b 0C 00D 0 a 1 b 0 解析由图象得函数是减函数 00 即b 0 从而D正确 答案D 二 填空题3 若f x a x与g x ax a a 0且a 1 的图象关于直线x 1对称 则a 解析g x 上的点P a 1 关于直线x 1的对称点P 2 a 1 应在f x a x上 1 aa 2 a 2 0 即a 2 2 4 设函数f x a x a 0且a 1 若f 2 4 则f 2 与f 1 的大小关系是 解析由f 2 a 2 4 解得a f x 2