最近八年函数江苏高考数学压轴题.doc

1. （2013）20（本小题满分16分）设函数，其中为实数（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论解：（1）0在上恒成立，则， 故：1，若1e，则0在上恒成立，此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；若e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，满足故的取值范围为：e（2）0在上恒成立，则ex，故：()若0，令0得增区间为(0，)；令0得减区间为(，)当x0时，f(x)；当x时，f(x)；当x时，f()lna10，当且仅当时取等号故：当时，f(x)有1个零点；当0时，f(x)有2个零点()若a0，则f(x)lnx，易得f(x)有1个零点()若a0，则在上恒成立，即：在上是单调增函数，当x0时，f(x)；当x时，f(x)此时，f(x)有1个零点综上所述：当或a0时，f(x)有1个零点；当0时，f(x)有2个零点2.（2012） 已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数解析：3. （2011）19、（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。解析本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即即（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，即，设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为则；当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，即，当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，即而x=0时，不符合题意， 当时，由题意：综上可知，。4.（2010） 20、（本小题满分16分）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，且，若|0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.6.（2008）20已知函数，（为常数）函数定义为：对每个给定的实数，（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；（2）设是两个实数，满足，且若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*） 由于的最大值为， 故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论 （i）当时，由（1）知（对所有实数）Oyx(a,f(a)(b,f(b)图1则由及易知， 再由的单调性可知，函数在区间上的单调增区间的长度为（参见示意图1）（ii）时，不妨设，则，于是 当时，有，从而；当时，有从而 ；当时，及，由方程Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图2 解得图象交点的横坐标为 显然，这表明在与之间。由易知 综上可知，在区间上， （参见示意图2）故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 故由、得 综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。7.（2007） 21已知是不全为的实数，函数，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根，（1）求的值；（3分）（2）若，求的取值范围；（6分）（3）若，求的取值范围。（7分）解（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。（2）因为，所以，则=0的根也是的根。（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而所以当时，；当时，。（3），所以，即的根为0和1，所以=0必无实数根，（a）当时，=，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；（b）当时，=，即函数在，恒成立，又，所以，而，所以，所以不可能小于0，（c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。所以.8.（2006）20.设a为实数，设函数的最大值为g(a).（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) （）求g(a) （）试求满足的所有实数a(1) 要使有t意义，必须1+x0且1-x0，即-1x1,t0 t的取值范围是由得 m(t)=a()+t=（2）由题意知g(a)即为函数的最大值。 注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。当a0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段， 由0知m(t)在上单调递增，g(a)=m(2)=a+2 (2)当a=0时，m(t)=t, ,g(a)=2.(3