南京航空航天大学 结构力学 课后习题答案 第1章.doc

第一章 弹性力学基础（习题解答）1-1 上端悬挂、下端自由的等厚度薄板，其厚度为1，容重为。试求在自重作用下的位移分量表达式。解：如图1-1建立坐标系.利用沿y方向均匀分布及x方向的力平衡条件可得，又因为 积分得又由对称性 由 综上所述有（方法二：只分析出，再求应力函数，然后求其他。） 1-2 写出图1-2所示平面问题的应力边界条件。 解：上表面为力边界，。代入中得到上表面的边界条件为下表面为自由边，边界条件为侧面为位移边界。 1-3 矩形板厚为1。试用应力函数求解。（并画出面力分布图） 解：应力函数满足应力函数表示的变形协调方程，可以作为解。在无体力的情况下，矩形板的应力为根据应力边界条件公式各边的应力边界为 a d边： c b边： a b边： c d边： 根据以上各边的应力边界条件，可画出矩形板的面力分布图如图1-3a。1-4 如图1-4设三角形悬臂梁只受重力作用，梁容重为。试用完全三次多项式的应力函数求解其应力分量。 解：设完全三次多项式应力函数为 （1）显然应力函数满足变形协调方程 则应力分量： （2） （3） （4）利用边界条件来确定应力函数中的系数 根据上表面的边界条件，当时代入（3）、（4）得； 根据斜边的边界条件，当时，面力，即 （5）其中：代入（5）得 （6） （7）联立（6）、（7）得到将各系数代入应力分量表达式中，得到应力各分量为 1-5 对图1-5所示简支梁，试验证应力函数成立，并求解各系数和应力分量。解：由可知：应力分量：利用边界条件来确定待定系数上表面：下表面：弯矩：联立（1）（6）可解得代入（*）式可得各应力分量1-6图1-6所示悬臂梁受自重作用,试用应力函数求解。并将所得应力分量与材料力学的结果进行比较。解：应力函数必须满足变形协调条件，满足即将应力函数代入上式，得 （1）应力分量利用边界条件确定待定系数 当时，得到 （2） （3）联立方程（1）、（2）、（3）可解得 在待定系数中，还没有求出。现根据截面上的条件来求C值；因为，应用圣维南原理得因为被积函数是y的奇次函数，积分必恒等于零，此积分等式一定成立。此外，尚需满足即 得到将各个系数代入应力分量表达式，得材料力学的解答：设载荷，故在某一截面上的弯矩为剪力为由此得（假设纤维间不存在挤压）现将弹性力学的解答化为下列形式以便于材料力学解答进行比较：（与材料力学解不同）（与材料力学解不同）（与材料力学解一致） 1-7 用图1-7所示应变花测得，试求：（1）；（2）和，及主方向。解：（1）根据材料力学公式将，的值带入上式。可得（2）主应变的计算公式可得，利用公式则得到，1-8 如图1-8，已知平面圆环的应力为试检查这组应力存在的可能性。并阐明其边界条件。（体力不计）解：方法（一）因为，由积分得：设由由于是可得即将代入变形协调方程检验可知满足变形协调条件。因此为可以存在。边界条件为：1-8 题方法（二）将代入平衡方程中检验成立；由物理方程可得，将代入变形协调方程中检验,显然成立，因此这组应力可以存在。边界条件为： 1-9 试证明在极坐标中变形协调方程为证明：因为1-10 内半径为a、外半径为b的厚壁圆筒。受压力Pa作用。试求内半径和外半径的尺寸变化以及筒壁厚度尺寸变化。解：参照课本35页“承受均布压力的厚壁圆筒”的求解则可得1-11 试确定压配合两圆环内的应力。，在配合前内圆环外半径与外圆环内半径相差。解：内圆环仅受外压力，设外压力为q，根据公式内圆环的应力及位移为 （1） （2）外圆环仅受内压力，根据公式外圆环的应力及位移为 （3） （4）接触压力使内圆环半径减少了，而使外圆环半径增大了，根据位移协调条件有 （5）将分别代入（2）、（4）得到将代入（5）得到取，得因此内圆环内表面的切向正应力为外圆环外表面的切向正应力为1-12 如图1-12，矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，在板中心处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力的值和位置。 解：在纯剪切的矩形板中，与边界成方向的切面矩形板的边界上受有集度为q的拉力或压力，如图1-12a所示。 以为起始轴取新的坐标如图1-12b所示。设小圆孔的半径为a，并以半径b(ba)作一个同心圆，在圆周上任一点处，其应力状态与板内无孔时相同：按照应力从直角坐标到极坐标的坐标转换式，可得到孔边的应力边界条件 （1） （2）由（1）、（2）式可知，是r的函数再乘以，可设应函数为 （3）将（3）式代入变形协调方程可确定，进而可求出应力表达式 （4） （5）利用边界条件（1）式