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第 3 章参数估计习题解答 第 3 章参数估计习题解答 一 一 选择题选择题 1 当样本量一定时 置信区间的长度 D A 随着 的提高而变长 B 随着置信水平 1 的降低而变长 C 与置信水平 1无关 D 随着置信水平 1 的降低而变短 2 置信水平 1表达了置信区间的 D A 准确性 B 精确性 C 显著性 D 可靠性 3 设 12 是参数 的置信水平为1 的区间估计 则以下结论正确的是 C A 参数 落在区间 12 之内的概率为1 B 参数 落在区间 12 之外的概率为 C 区间 12 包含参数 的概率为1 D 对不同的样本观测值 区间 12 的长度相同 4 通过矩估计法求出的参数估计量 C A 是唯一的 B 是无偏估计量 C 不一定唯一 D 不唯一 但是无偏估计 5 若似然函数存在 则下列命题错误的是 D A 最大似然估计可能不唯一 B 最大似然估计不一定是无偏估计 C 最大似然估计一定存在 D 似然函数是样本的函数 n xxx 21 L 6 设总体X服从 0 上的均匀分布 为样本 记 n XXX 21 LX为样本均值 则下列统计量不是 的矩估计量的是 A 1 A X 2 1 1 B n i i XX n 1 2 2 12 C n i i X n 1 2 3 3 D X2 4 7 设总体X的密度函数为 12 n XXXL 为样本 记 n i k ik kX n A 1 3 2 1 1 则以下结论中错误的是 A A 是 1 A 的矩估计量 B 1 1 1A A 是 的矩估计量 C 2 2 1 2 A A 是 的矩估计量 D 3 3 1 3 A A 是 的矩估计量 8 样本 12 n XXXL取自总体X E X 2 D X 则以下结论不成立 的是 D A i X 均是 的无偏估计 B 1 1 n i i XX n 是 的无偏估计 C 12 1 是 的无偏估计 D 1 1 1 n i i X n 是 的无偏估计 2 XX 9 样本来自总体 则总体方差的无偏估计为 A n XXX 21 L 2 N 2 A n i i XX n S 1 22 1 1 1 B n i i XX n S 1 22 2 2 1 C n i i XX n S 1 22 3 1 D n i i XX n S 1 22 4 1 1 2 10 容量为的样本 1 X来自总体 1 XBp 其中参数01p 则下述结论正 确的是 A A 1 X是p的无偏统计量 B 1 X是p的有偏统计量 C 2 1 X是 2 p的无偏统计量 D 2 1 X是的有偏统计量 p 11 设 1 2 XX是来自正态总体 1 N 的样本 则对统计量 11 21 33 2 XX 212 13 44 XX 312 11 22 XX 以下结论中错误的是 B A 1 2 3 都是 的无偏估计量 B 1 2 3 都是 的一致估计量 C 3 比 1 2 更有效 D 12 1 2 不比 3 更有效 12 现有容量为的样本来自总体25n X 若2X 4D X 已知标准正态分布 的分布函数 x 的函数值 1 645 0 95 1 96 0 975 1 282 0 90 则在 显著水平0 05 E X的置信区间为 A A B 1 216 2 784 1 342 2 658 C D 1 4872 2 5128 2 1 962 1 96 2 2 2525 13 设 是正态总体 n XXX 21 L 2 XN 的样本 统计量 X Z n 服从 又知 0 1 N 2 0 64 16n 及样本均值X 利用Z对 作区间估计 若已指定置 信水平1 并查得为 则 2 1 96z 的置信区间为 C A 0 396 X X B 0 196 0 196 XX 3 C 0 392 0 392 XX D 0 784 0 784 XX 二 填空题二 填空题 14 设 和是总体 n XXX 21 L的未知参数及样本 1 和 2 是由样本确定的两个 统计量 满足 12 1 P 则称随机区间 12 为 的置信区间 其置信水平 为1 15 通常用的三条评选估计量的标准是 无偏性 有效性 一致性 16 设某种元件的寿命 2 XN 其中参数 2 未知 为估计平均寿命 及方 差 2 随机抽取 7 只元件得寿命为 单位 小时 1575 1503 1346 1630 1575 1453 1950 则 的矩估计为 1 1 1576 n i i xx n 2 的矩估计为 22 1 1 30878 85714 n i i xx n 17 样本方差 22 1 1 1 n i i SX n X是总体 2 XN 中 2 的 无 2 E S 2 偏估计 2 1 1 n i i SX n 2 X是 2 的 有 22 1 n E S n 偏估 计 18 设总体 1 XN 是未知参数 1 2 XX是样本 则 11 21 33 2 XX 及 21 11 22 2 XX 都是 的无偏估计 但 21 比有效 19 1 X是总体中抽得的容量n 1 的样本 当X服从 0 上均匀分布时 1 X是未知 参数 的 有偏 1 2 E X 估计 当 2 XN 时 1 X是未知参数 的 无 偏 1 E X 估计 20 设是 取 自 正 态 总 体 12 X X 1 XN 的 一 个 样 本 则 易 证 4 1 X X 2 其中1 是 的无偏估计量 且当 1 2时 是 的 最小方差估计量 最小方差为1 2 21 设总体 1 XBp 其中未知参数01p 12 n XXXL是X的样本 则 的矩估计为 p Xp 样本似然函数为 1 1 11 11 1 1 ii iiii nn xx xxxx ii L pC ppCpp 22 设 12 n XXXL是来自总体 2 XN 的样本 则有关于 及 2 的似然函 数 2 L 2 2 2 2 1 1 22 222 1 1 2 2 n i i i x nn nx i ee 23 设 12 n XXXL 是抽自总体 2 XN 的随机样本 a b为常数 且 0ab 则 随 机 区 间 22 11 nn ii ii XX ba 的 长 度 的 数 学 期 望 为 22 nn ab 24 从某超市的货架上随机的抽得 9 包 0 5kg装的食糖 计算得食糖的平均重量为 0 5089x kg 从长期的实践中知道 该品牌的食糖重量服从正态分布 2 N 已知 则 2 0 01 2 的 95 的置信区间为 0 5023 0 5154 已知 0 025 1 96Z 25 设A和B两批导线是用不同的工艺生产的 今随机地从每批导线中抽取 5 根测量电 阻 算得 若A批导线的电阻服从正态分布 272 1 07 10 5 3 10 AB SS 7 2 11 N A 批导线的电阻服从正态分布 2 22 N 则 2 1 2 2 的置信度为 0 9 的置信区间为 0 032 1 29 已知 0 050 95 4 4 6 39 4 4 0 1565 FF 三 应用计算题 三 应用计算题 26 设 12 n XXXL是来自二项分布总体的一个样本 pmB 12 n x x L x为其样本 观测值 其中是正整数且已知 mp 10 p 是未知参数 1 求未知参数p的矩估计 5 2 求未知参数的最大似然估计 p 解解 1 矩估计 E Xm p mpX 得矩估计 X p m 2 1 0 xxm x m P XxC ppx 1 所以样本似然函数 m 11 1 1 ii iiii nn xx xxm xx mm ii L pC ppCpp 两边取对数 111 ln ln ln ln 1 i nnn x mii iii L pCxpmx p 求导 11 dln 1 nn ii ii xmx L p dppp 由 11 0 1 nn ii ii xmx pp 得 p最大似然估计为 x p m 27 设总体X的概率密度函数为 1 0 0 1xx p x 其他 其中 未知 12 n XXXL是来自该总体的一个样本 12 n x x L x为其样本观测值 1 求未知参 数 的矩估计值 2 求未知参数 的最大似然估计值 解 解 1 1 0 1 1 2 E Xxx dx 1 2 X 得矩估计 1 2 1 X X 2 X的概率密度为 1 0 0 1xx p x 且 未知 求未知参数 的最大似然估计值 解 解 X的概率密度为 1 2 0 x p x 其他 所以样本似然函数 1 11 2 2 0 0 n n ii i xix L 其他其他 i 最大似然估计的原理是找到一个 使得似然函数达到最大 在本题中 就需要在满足条件的范围内 2 i xi 01 i xi 所以 3 最有效 30 假设你为某种子公司开发一种快速生长的洋葱新品种 现拟确定该品种洋葱从播种 到成熟 可从外观上判断球茎发育 顶端弯曲等 所需的平均时间 天数 假定从初步 的研究知道 平均时间服从 8 3 天的正态分布 抽取了 67 个成熟期的洋葱作为样本 且 样本均值x 71 2 天 试求 置信度为 95 的置信区间 解 解 2 2 1 X Pzz n 2 2 1P XzXz nn 又已知71 2x 8 3 查标准正态分布表可得 20 025 1 96zz 置信下限 2 8 3 71 21 9669 21255 67 xz n 置信上限 2 8 3 71 21 9673 18745 67 xz n 故所求置信区间为 69 21255 73 18745 31 一个容量为的随机样本取自总体16n X 2 N 其中 2 均未知 如果 样本有均值x 27 9 标准差 3 23 试求s 的置信度为 99 的置信区间 解解 22 1 1 1 X Ptntn Sn 22 1 1 1 SS P XtnXtn nn 由样本数据计算得27 9x 3 23s 查表得 0 0050 005 16 1 15 2 9467tt 故得 的 置信区间为 8 0 0050 005 15 15 1616 ss xtxt 3 233 23 27 92 9467 27 92 9467 1616 25 52054 30 27946 32 如果你在食品公司就职 要求估计一标准袋薯片的平均总脂肪量 单位 克 现分 析了 11 袋 并得下列结果 2 18 2 0 56 2 xg sg 如果假定总脂肪量服从正态分布 试 给出总体 和 2 和 的 90 置信区间 解解 22 1 1 1 X Ptntn Sn 22 1 1 1 SS P XtnXtn nn 由样本数据计算得18 2x 查表得 2 0 56s 0 050 05 11 1 10 1 8125tt 故得 的 置信区间为 0 050 05 10 10 1010 ss xtxt 0 560 56 18 2 1 8125 18 2 1 8125 1111 17 791045 18 608955 2 22 122 2 1 n 1 1 1 nS Pn 22 2 22 212 1 1 1 1 1 nSnS P nn 查表得 因此可得 2 0 95 10 3 94 2 0 05 10 18 307 2 的置信区间为 10 0 56 10 0 56 18 3073 94 0 30589 1 42132 的置信区间为 10 0 5610 0 56 18 3073 94 0 55307 1 19219 9 33 测得 16 头某品种牛的体高 得到 11 133 4 07xcm scm 而另外一品种 20 头牛 的体高样本平均值 2 131 xcm 样本标准差 2 2 92scm 假设两个品种牛的体高都服从正 态分布 试求该两品种牛体高差的 95 的置信区间 解解 12 212 12 2 1 11 W XY Ptnn S nn 21212 12 212 12 11 2 1 11 2 W W XYtnnS nn P XYtnnS nn 查 表 得 计 算 得 0 025 34 2 0322t 11 133 4 07xcm scm 2 131 xcm 2 2 92scm 22 12 1519 2 291715 34 w ss s 因此计算得 21 的置信水平为的 置信区间为 95 0 212 212 1212 1111 2 2 WW xytnnSxytnnS nnnn 0 43792 3 56208 34 为检测某种激素对失眠的影响 诊所的医生给两组睡眠不规律的病人在临睡前服用 不同剂量的激素 然后测量他们从服药到入睡 电脑电波确定 的时间 第一组服用的是 的 剂 量 第 二 组 服 用 的 是15的 剂 量 样 本 是 独 立 的 结 果 为 5mg mg 22 11 10 14 8min 4 36minnxs 第二组 2 13 10 2minny 假定两个条件下的