正余弦定理.doc

。学 校： 年 级： 教学课题：正弦、余弦定理 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 教学目标掌握并会灵活运用正余弦定理 教学内容一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a:b:c=sinA: sinB: sinC;解决的问题 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。 已知三边，求各角； 已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注：在ABC中，sinAsinB是AB的充要条件。（sinAsinBabAB）2、 ABC中常用公式 （1）ABab,a+bc,a-bc； （2）ABC （3）；（4）；（5）。3.正弦定理应用范围：已知两角和任一边，求其他两边及一角已知两边和其中一边对角，求另一边的对角几何作图时，存在多种情况如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角 一解 两解 一解(2)A为锐角或钝角当时有一解.4余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边【典型例题】例1 已知在中，解此三角形。 练习：不解三角形，判断下列三角形解的个数。（1），（2），（3），（4），正弦定理余弦定理的应用：例2：在中，角所对的边分.若，则（ ）A B C -1 D 1练习：已知A、B、C为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值在ABC中，则A的取值范围是 （A）（B） （C）（D）利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围例3若的三个内角满足则A一定是锐角三角形. B一定是直角三角形.C一定是钝角三角形. D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.练习：1、在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为_2、在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C且(1)判断ABC的性状；(2)若|2，求的取值范围3、在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 ()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形利用正余弦定理求三角形面积例4（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值BDCA练习：1.在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值2.已知的内角的对边分别为，其中， 又向量m，n，mn=1 （1）若，求的值； （2）若，求的面积 2.ABC中，D在边BC上，且BD2，DC1，B60o，ADC150o，求AC的长及ABC的面积高考题演练：（1）（2010年陕西）17.（本小题满分12分）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.16、 (本小题满分12分)的内角所对的边分别为（）若成等差数列，证明：；（）若成等比数列，求的最小值.（2） 在ABC中已知acosB=bcosA,试判断ABC的形状.正余弦定理实际应用问题例5（本小题满分12分）如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？已知在中，解此三角形。解：由余弦定理得： 又 ，或 或 ，或，例4 已知、是中，、的对边，S是的面积，若，求的长度。解： ， 或 当时， 当时， 即 又 例6 在中，已知，求A、B。解：由余弦定理， 由正弦定理： B为锐角 例7 已知中，外接圆半径为。（1）求（2）求面积的最大值解：（1）由 又 （2） 当 即时，例8 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c依次成等比数列，求的取值范围。解： 例9 在中，若三边长为连续三个正整数，最大角是钝角，求此最大角。解：设，且 C是钝角 解得 或3当时，（舍去）当时， 最大角为高考题演练： 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60度的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题：1. 在中，一定成立的等式是（ ）A. B. C. D. 2. 在中，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形3. 已知中，AB=1，BC=2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 中，若，则B为（ ） A. B. C. 或 D. 或5. 的三边满足，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ） A. B. C. D. 7. 中，“”是“A=B”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要8. 中，则A等于（ ） A. B. C. D. 9. 中，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形10. 在中，则=（ ）A. 2R B. R C. 4R D. R二. 填空：1. 在中，已知，则最大角的余弦值为 。2. 在中，则三角形为 。3. 在中，2，则最小角为 。4. 若，则A= 。三. 解答题：1. 在中，BC=，a，b是的两个根，且=1，求（1）角C的度数 （2）AB的长 （3）的面积。2. 在中，求、和。3. 若2，3，x为三边组成一个锐角三角形，求的范围。4. 在中，若，试判断形状。【试题答案】一.1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. C 9. D 10. A二.1. 2. 等腰三角形 3.