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第一章 基本概念13 数学归纳法1 证明：证明：用数学归纳法证明：（1） 当时，左边=，右边所以“左边=右边,所以命题对时成立（2） 假设当时命题成立，即： （3） 当时： =综上，命题对一切自然数成立。2 设是一个正整数，证明：是任意自然数。 证明：用数学归纳法证明：（1） 当0时，左边=1=右边,所以命题对时成立（2） 假设当时命题成立，即：（3） 当时： 综上，命题对一切自然数成立。3 证明：二项式定理：这里： 证明：用数学归纳法证明：（1） 当时 ,所以命题对时成立（2） 假设当时命题成立，即：（3） 当时：= = =综上，命题对一切自然数成立。（这里运用了公式：）4 证明第二数学归纳法原理。证明：假设命题不是对一切自然数成立令S为使得命题不成立的自然数的集合由假设知S是自然数集的非空子集根据最小数原理，S中有最小数，不妨设为T因为命题对数字1成立，故T2所以命题对T-1成立。根据归纳推理，命题对T成立，矛盾所以命题对一切自然数成立。5 证明：含有个元素的集的一切子集的个数等于。证明：用数学归纳法证明：（1） 当时，A=，其子集只有,所以命题对时成立。（2） 假设当时命题成立（3） 当时：设A=，则A的子集分为两种情况：含有元素的子集，实际上把从所在子集中去掉就是的所有子集，子集数为不含有元素的子集，子集数为所以A的所有子集一共
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