数学建模论文奖学金问题.doc

2012年“希望杯”大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了浙江工商大学大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名编号为：参赛队员 (签名) ：19发放奖学金问题摘 要为了解决奖学金发放的公平问题，公平与否的主要原因是因为各个专业的课程存在难度差异，因此通过“十分点”排位，依次比较每门课程，根据每个学生在课程中相对的位置将等级转换为标准化成绩，进行统一化处理并得到每个学生各课程标准化成绩的总合，最终得出排名，由于“十分点”排位模型仍然存在公平上的不足，在“十分点”排位模型的基础上，我们进一步研究和讨论“十分点”排位模型细节的合理性和科学性，找到其存在的不足，并在此基础上提出一个新的模型，采用数据连续标准化的方法使标准化后的成绩更加精确合理，最终使学生的排名更加准确公平，并通过具体例子加以验证。关键字：奖学金发放，“十分点”排位模型，公平目录一问题重述1二问题分析1三基本假设1四“十分点”排位模型21.模型建立22.模型求解23.模型优缺点分析11五新模型的建立，求解，优缺点分析121.模型建立122.模型求解123.模型优缺点分析18六参考文献19一 问题重述学院有A、B两个专业，A专业本年度有6门必修课，B专业有5必修课，现有一种奖学金，只允许该学院成绩列前10%的学生才能得到该奖学金，所以要进行成绩排名。但是由于每个老师的严格程度各异，每份卷子的难易也不同，往往会造成不公平的现象。因此该题目主要是为了找到一种相对公平的方法来选出学院前10%的学生。题目提出一种想法：“十分点”排名，即纵向的看每个课程，再横向看每个学生，以某一个学生的相对成绩，来给定一个标准化的分数。这样就能避开课程差异导致不公平的现象。主要解决问题如下：1.利用给定数据（A+，A，A-，B+）对全院学生进行排位。2.讨论“十分点”排位方法是否科学（公平）。3.还有其他模型的模式能产生更科学的排名吗？如果有，则给出该排名方法，并利用数据得出排名结果。二 问题分析该问题主要解决奖学金发放的公平问题，如何才能使得选出的前10%的学生比之后的学生更有资格获得该奖学金？如果不考虑课程的难易程度，则根据A+至D共10个档次给予10分至1分的分数段，最后将每个学生的分数相加并排名，取出前10%个人，就可以理论上解决奖学金的问题，但是显然这个方案是不合适且不科学的，我们不得不考虑每门课的难易程度不一所导致过多的同分现象和个别突出的学生，因此我们提出了一种新的标准化成绩的思想，即从某课程所有同学视角去看某个同学分数等级出现的分部情况，而不是单纯的按照A+为10分，A为9分，A-为8分这样依次转换。例如课程三，得A+的只有3人，然而得A的有13人，那么得A+的标准化成绩后如果假定是10分合理，那么得A的标准化成绩为9是否合理呢？又例如课程四，得A+的有8人，得A的也有8人，那么得A+的标准化成绩为10是否合理呢？我们认为这些都是不合理的。因为这样就忽略的不同课程难易的差异，按照常理，越简单的考试应该在最后评比的时候占更小的权重，而根据上面的标准化处理后的成绩，不一样的课程A+都应该得到10分，那么就相当于在最后将标准化成绩相加的时候默认了各个课程的难易程度一致，所以标准化处理势必要更加具有科学性。“十分法”排名，从理论上解决了公平的问题，即从每个课程出发，取该课程分数的前10%，这种取法就相对科学，但是具体实施仍然会出现困难，我们初步分析了一下困难有：总人数非整数；前10%学生跨越两个等级段；最终标准化成绩相加后同分现象。三 基本假设1.都是按照评奖规则评奖，没有例外，没有后门2.所有同学都参加评价活动，没有例外1四 “十分点”排位模型1. 模型建立为了解决课程难易不同所带来的公平性问题，我们认为“十分点”排位算法可以一定程度上解决该问题。由于题目尚未“十分点”排位算法的具体细节交代清楚，我们根据题目表述的思想，定义了“十分点”排位的具体细节上的处理：各分数段内人数如果是小数则按照该整数部分加一来取该分数段人数；如果该分数段跨越两个等级，则超过人数部分按照低等级分数处理。2. 模型求解专业A:根据从第一段至第十段依次为10，9,8,2，1分根据10%比例分段得下表：分数p10987654321人数n （前n位同学应得上述分数p）6121823293540465257统计A专业各课程成绩段人数总数,如下表：原有成绩A+AA-B+BB-C+CC-D总人数155736541011以课程1为例进行如下操作：根据原有成绩进行排序，根据分段比例将原有成绩转换为标准化成绩原有成绩A+AA-B+BB-C+CC-D人数155736541011标准化成绩101098765431同理得到其他五门课程的标准化成绩：A+AA-B+BB-C+CC-D课程2各分数段人数41077467444标准化成绩10876543211课程3各分数段人数3131151083220标准化成绩10865321110课程4各分数段人数881351135022标准化成绩9865321011课程5各分数段人数02491168377标准化成绩010108654321课程6各分数段人数2676678465标准化成绩10987653321根据以上表格，对所有A专业所有学生的成绩进行标准化转换，得下表：学生编号课程1课程2课程3课程4课程5课程6总成绩A01108888951A0257565331A0378688744A0457166328A051111116A0613334115A078510510644A0845252321A0931313516A1034235522A1191010910856A1212223212A1397886846A1414134215A1554834529A1613334216A171088810953A181081098954A198108910651A2084636633A2146664329A2246366328A2362322823A2414256220A2584252728A2698896848A2711618118A2836163524A299105941047A3041816323A3197662939A3213138218A3336362323A3416666227A3531115516A3688881639A3788581737A3866865839A3912218115A4068881738A4153338325A42107862942A4331318521A4433231315A4568892841A4633536323A4778698644A4810383101044A4957284329A50810395742A5131514317A52656610740A5332626524A54107666944A5566665837A561111116A5775351627专业B：同理得：分数p10987654321人数n （前n位同学至少应得上述分数p）8172634425159687684原有成绩A+AA-B+BB-C+CC-D课程1各分数段人数00171711221592标准化成绩001010864211课程2各分数段人数5910858381414标准化成绩10987655421课程3各分数段人数11191613681316标准化成绩9754322111课程4各分数段人数0072228214110标准化成绩00107411110课程5各分数段人数51013117119396标准化成绩10976543211根据以上表格，对所有B专业所有学生的成绩进行标准化转换，得下表：学生编号课程1课程2课程3课程4课程5总成绩B014834726B028547630B036774731B048857735B054244216B064224214B07111115B088837733B098677634B104454421B114544522B128257325B13211116B1410107101047B151751620B166677632B174254318B1869711033B194777732B202647120B218251319B228954632B231714114B244154620B256477529B266774731B2710554529B286224317B2941210118B304421415B31109910947B324744726B33105510535B342174115B356271420B362921923B371971927B384874730B398897739B401721617B412944928B424224315B43111115B44211116B452251313B464534420B474444420B48111115B492851723B506797736B51221139B526127117B532491420B542971928B55102710433B568577633B571641618B5881057939B598147121B608277327B61105710537B628997942B63610941039B644294322B651611615B662821720B676434421B684434419B6910897741B70111115B71810971044B724434419B734144114B744214213B75214119B764541418B772151110B788547529B798577633B801891928B814594527B82210511028B83108510942B848977940综合专业A和专业B的标准化成绩得最后成绩：学生编号课程1课程2课程3课程4课程5课程6总成绩/课程数B141010710109.4B3110991099.4A119101091089.33333317108881098.833333B7181097108.8A0110888898.5A19810891068.5B62899798.4B8310851098.4B691089778.2A269889688B84897798A29910594107.833333B39889777.8B588105797.8B6361094107.8A139788687.666667B6110571057.4A037868877.333333A07851051067.333333A477869867.333333A481038310107.333333A5410766697.333333B50679777.2A4210786297A5081039577B04885777B3310551057A456889286.833333B09867766.8A5265661076.666667B08883776.6B186971106.6B5510271046.6B56857766.6B79857766.6A319766296.5A368888166.5A386686586.5B16667766.4B19477776.4B22895466.4A406888176.333333B03677476.2B26677476.2A378858176.166667A556666586.166667B02854766B38487476B25647755.8B271055455.8B78854755.8B41294495.6B54297195.6B80189195.6B8221051105.6A208463665.5B37197195.4B60827735.4B81459455.4B01483475.2B32474475.2A025756535.166667B12825735A155483454.833333A214666434.833333A495728434.833333A045716634.666667A224636634.666667A258425274.666667B36292194.6B49285174.6A341666624.5A577535164.5B11454454.4B64429434.4B10445444.2B59814714.2B67643444.2A415333834.166667A283616354A533262654B15175164B20264714B24415464B35627144B46453444B47444444B53249144B66282174A236232283.833333A304181633.833333A333636233.833333A463353633.833333B21825133.8B68443443.8B72443443.8A103423553.666667B17425433.6B294121013.6B57164163.6B76454143.6A084525233.5A433131853.5B28622433.4B40172163.4B52612713.4A241425623.333333B05424423.2A271161813A321313823B30442143B34217413B42422433B65161163A513151432.833333B06422422.8B23171412.8B73414412.8A093131352.666667A161333422.666667A353111552.666667B45225132.6B74421422.6A061333412.5A141413422.5A391221812.5A443323132.5A121222322B77215112B51221131.8B75214111.8B13211111.2B44211111.2A051111111A561111111B07111111B43111111B48111111B70111111该学院AB专业共141人，取其10%约等于14人。因此获得奖学金的学生编号为：B14，B31，A11，A18，A17，B71，A01，A19，B62，B83，B69，A26，B84，A293. 模型优缺点分析“十分点”排位模型相对较好的解决了公平性的问题，经过统一标准化处理使得各个课程具有可比性，解决了课程难易程度导致最终排名不公平的现象。但是根据“十分点”排位模型的初衷，每门课程的按照10%分段后，该课程所有学生的标准化成绩的综合应该为固定值，这样才能体现出该模型的公平性，但是由上题，我们可以求出，各个课程的标准成绩总分并不为一个定值，分析其原因应该归咎于：总人数的非整、等级分布的离散程度各异。因为在标准化的过程中，并不能使得各个10%的人数恰好等于各个等级的人数，若遇到一个区间横跨两个分数段的时候，上述方法采用按小值取分的方法，例如在专业B中，课程三获得A+的人数为11人，超过总人数的10%约等于8，又因为1117(17表示前17个人至少得到9分)，则按取小值的方法，所有获得A+等级的人均只能获得9分，这样原本前10%学生应该获得10分在总分上就相差了8分。出于这方面考虑，因此我们提出了新的模型。 五 新模型的建立，求解，优缺点分析1. 模型建立基于“十分点”排位模型的缺点，为了更加精确的反应学生相对的成绩，新模型主要控制各专业各门课程标准成绩之和为一个定值，最大程度上使得课程之间的差异导致不公平。为了控制标准化成绩总和为一个定值，如下建模：设总人数为P，各个课程等级段的人数分别为P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8，P9，P10,则SP=P，P0=0；Sn为前n项P之和，S0=0；设某一课程等级段的标准化成绩分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10,则有A1* P1+ A2* P2+ A3* P3+ A10* P10=P/10*55设各等级段之前剩余的分数为B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8,B9,B10设Q为下等级段的初始标准分，如上等级段是以10分为初始标准，则此时Q表示9.各课程标准化成绩总和=P/10*（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=P/10*55 若Pn（P/10-Sn-1），则分数档次剩余的人数为（P/10-Sn-1-Pn），即（P/10-Sn）；An=An-1若（P/10-Sn-1）Pn(2P/10- Sn-1),则An=Bn+Pn-（2P/10-Sn-1）*Q/Pn2. 模型求解专业A：统计各个成绩段的人数并通过模型求解得下表：等级A+AA-B+BB-C+CC-D课程1155736541011标准化成绩109.9497.9376.35.34.553.351.48课程241077467444标准化成绩108.917.446.265.1254.373.272.151.5751课程33131151083220标准化成绩108.856.725.34.012.451.43110课程4881351135022标准化成绩9.71258.4256.5753.552.21.66011课程502491168377标准化成绩0109.9258.66.95.424.262532.371.19课程62676678465标准化成绩109.628.497.356.35.213.76252.91.881根据以上表格，对所有A专业所有学生的成绩进行标准化转换，得下表：A019.948.918.858.4258.69.6254.345A025.37.445.36.575.423.762533.7925A0378.916.728.4258.67.3547.005A045.37.441.436.576.93.762531.4025A051.481111.1916.67A061.483.274.013.554.2625117.5725A077.935.125105106.344.355A084.555.1252.4552.372.922.395A093.351.5754.011.6635.2118.805A103.354.372.453.555.425.2124.35A11910109.71259.9258.4957.1275A121.482.152.452.231.8813.16A1397.448.858.4256.98.4949.105A141.484.371.433.554.26251.8816.9725A155.34.378.853.554.26255.2131.5425A161.483.274.013.554.26251.8818.4525A17108.918.858.4259.9259.6255.73A189.948.91109.71258.69.6256.7825A197.93108.859.7125106.352.7925A207.935.1256.723.556.96.336.525A214.556.266.726.574.26253.762532.125A224.556.264.016.576.93.762532.0525A236.32.154.012.22.378.4925.52A241.484.372.4556.91.8822.08A257.934.372.4552.377.3529.47A2698.918.859.71256.98.4951.8625A271.481.5756.721.668.6121.035A283.356.2616.5735.2125.39A299105.39.71254.26251048.275A304.551.5758.851.666.93.762527.2975A3197.446.726.572.379.6241.72A321.483.271.433.558.61.8820.21A333.356.264.016.572.372.925.46A341.486.266.726.576.91.8829.81A353.351.57511.665.425.2118.215A367.938.918.858.4251.196.341.605A377.938.915.38.4251.197.3539.105A386.36.268.856.575.428.4941.89A391.482.152.451.668.6117.34A406.38.918.858.4251.197.3541.025A415.33.274.013.558.63.762528.4925A429.947.448.856.572.379.6244.79A433.3514.0118.65.2123.17A443.353.272.453.551.192.916.71A456.38.918.859.71252.378.4944.6325A463.353.275.33.556.92.925.27A4778.916.729.71258.66.347.2425A489.943.278.853.559.9251045.535A495.37.442.458.4254.26253.762531.64A507.93104.019.71255.427.3544.4225A513.3515.314.26253.762518.675A526.35.1256.726.579.9257.3541.99A533.352.156.722.26.95.2126.53A549.947.446.726.576.99.6247.19A556.36.266.726.575.428.4939.76A561.481111.1916.67A5775.1254.0151.196.328.625同理得B专业表并融合两表得到综合排名表如下:学生编号课程1课程2课程3课程4课程5课程6总成绩/课程数B31109.389.76109.39.688B1410108.0510109.61A11910109.71259.9258.499.52125A189.948.91109.71258.69.629.46375B718.54109.768.34109.328A17108.918.858.4259.9259.629.288333B628.549.389.768.349.39.064A019.948.918.858.4258.69.629.0575B69108.289.768.347.928.86A197.93108.859.7125106.38.79875B848.549.388.058.349.38.722B83108.285.975109.38.711A2698.918.859.71256.98.498.64375B398.548.289.768.347.928.568B588.54105.9758.349.38.431B636.8109.765.39108.39A1397.448.858.4256.98.498.184167A299105.39.71254.2625108.045833B506.87.159.768.347.927.994A4778.916.729.71258.66.37.87375A549.947.446.726.576.99.627.865A0378.916.728.4258.67.357.834167B61105.6258.05105.437.821B048.548.285.9758.347.927.811A489.943.278.853.559.925107.589167B098.546.328.058.346.517.552A429.947.448.856.572.379.627.465A456.38.918.859.71252.378.497.43875B798.545.6258.058.346.517.413B568.545.6258.058.346.517.413A507.93104.019.71255.427.357.40375A077.935.125105106.37.3925B186.89.388.052.46107.338B331055.975105.437.281B194.937.158.058.347.927.278B088.548.2838.347.927.216B166.86.328.058.346.517.204B228.549.385.9755.396.517.159B551038.05104.47.09B266.87.158.055.397.927.062B036.87.158.055.397.927.062A526.35.1256.726.579.9257.356.998333A386.36.268.856.575.428.496.981667A3197.446.726.572.379.626.953333A367.938.918.858.4251.196.36.934167B384.938.288.055.397.926.914A406.38.918.858.4251.197.356.8375B028.545.6254.328.346.516.