人教版高数必修四第4讲：三角函数的图像与性质(教师版).doc

三角函数的图像与性质一、三角函数的图像：1 正弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有，向线段MP叫做角的正弦线， 2用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx，x0，2的图象（几何法）： 把y=sinx，x0，2的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=sinx，xR叫做正弦曲线 3用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x0，2的图象中，五个关键点是：1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识2、余弦函数yxo1-1y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到y=cosx，xR的图象，3、正切函数的图象：我们可选择的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)二、三角函数的性质: 函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴类型一、三角函数的图像： 例1. 作出函数的图象 分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。 解析：化为 即 其图象如图： 点评：画的图象可分为两步完成，第一步先画出和，的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。 例2： 解析：类型二、三角函数的性质：例3. 求下列函数的周期 （1）（2） 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。 解析：（1）如果令，则是周期函数，且周期为 即 的周期是 （2） 即 的周期是。 练习：求下列三角函数的周期：1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+) 4 y=tan3x 例:4. 比较下列各组数的大小。 （1）sin194和cos160；（2）和； （3）和 分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。 解析：（1） ， 从而 即 （2） 又 在上是减函数 即 （3） 而在内递增 点评： （1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。 （2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。 练习：比较下列各组数的大小(1)sin()、sin()； (2)cos()、cos()解：(1) (2)cos()coscos且函数ysinx，x，是增函数 cos()coscossin()sin() 0即sin()sin()0 且函数ycosx，x0，是减函数coscos即coscos0cos()cos()0 例5. 求下列函数的最大值和最小值 （1） （2） （3）分析：可利用sinx与cosx的值域求解，求解过程中要注意自变量的取值范围。解析：（1） 当时， 当时， （2） 当时，； 当时，。 （3）， 当时，； 当时，。点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性，以及复合函数的有关性质。练习：求下列函数的定义域和值域：（1） （2） （3）例6：求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性解：由得，所求定义域为 值域为R，周期，是非奇非偶函数在区间上是增函数例6求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）。分析：（1）要将原函数化为y=sin（x）再求之。（2）可画出y=|sin（x+）|的图象。解：（1）y=sin（）=sin（）。故由2k2k+。3kx3k+（kZ），为单调减区间；由2k+2k+。3k+x3k+（kZ），为单调增区间。递减区间为3k，3k+，递增区间为3k+，3k+（kZ）。（2）y=|sin（x+）|的图象的增区间为k+，k+，减区间为k，k+。一、选择题1函数ysinax(a0)的最小正周期为，则a的值为()A2B2C2D答案C解析由题意，得，a2.2函数ysin(x)的一条对称轴可以是直线()AxBxCxDx答案B解析解法一：令xk，kZ，xk，kZ.当k1时，x，故选B.解法二：当x时，ysin()sin1，x是函数ysin(x)的一条对称轴3函数ysin2x的单调减区间是()A(kZ)B(kZ)C2k，32k(kZ)D(kZ)答案B解析由2k2x2k，kZ得ysin2x的单调减区间是k，k(kZ)4函数f(x)x3sinx1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3B0C1D2答案B解析f(a)a3sina12.f(a)a3sina1f(a)20.5ysinx|sinx|的值域是()A1,0B0,1C1,1D2,0答案D解析当sinx0即2kx2k，kZ时，y0；当sinx0，即2kx2k2，kZ时，y2sinx，2y0时，f(x)x2sinx，则当x0时，f(x)_.答案x2sinx解析x0，f(x)(x)2sin(x)x2sinx，f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x2sinx.8函数f(x)coscos(x)是_函数(奇、偶性)答案偶函数解析f(x)sin2xsinxf(x)sin(2x)sin(x)sin2xsinxf(x)，f(x)为偶函数三、解答题9求函数y76sinx2cos2x的最值解析y76sinx2cos2x2sin2x6sinx522.由于二次函数y22的二次项系数为20，所以抛物线开口向上，顶点坐标为.又sinx1,1，故当x2k(kZ)，即sinx1时，y有最大值13；当x2k(kZ)，即sinx1时，y有最小值1._基础巩固1函数y5sin的最小正周期是()ABC5D答案C解析T5.2曲线ysin(2x)的一条对称轴是()ABxCxDx答案D解析令2xk，kZ，x，kZ.当k2时，x，故选D.3下列表示最值是，周期是6的三角函数的表达式是()Aysin()Bysin(3x)Cy2sin()Dysin(x)答案A解析函数ysin()的最大值为，周期为6，初相为，故选A.4下列四个函数中，最小正周期是且图象关于x对称的是()Aysin()Bysin(2x)Cysin(2x)Dysin(2x)答案D解析函数的最小正周期为，排除A，又函数图象关于x对称，当x时，函数取最大值或最小值，只有选项D满足，故选D.5函数ysin在区间0，内的一个单调递减区间是()ABCD答案B解析由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，选B.6设点P是函数f(x)sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是()A2BCD答案B解析由题意知，T，故选B.二、填空题7已知函数f(x)2sin(x)的图象如图所示，则f_.答案0解析由图象知，T，f0，ffff0.8函数ysin(x)(xR，0,02)的部分图象如图，则y_.答案sin解析2，T8，将点(1,1)代入ysin中得2k，00,0)的部分图象如图所示，求函数f(x)的解析式解析由图象知，周期T2()，所以2.因为点(，0)在函数图象上，所以Asin(2)0，即sin()0.又因为0，所以.从而，即.又点(0,1)在函数图象上，所以Asin1，解得A2.故函数f(x)的解析式为f(x)2sin(2x)Error! No bookmark name given.能力提升一、选择题1若函数f(x)sin(0,2)是偶函数，则()ABCD答案C解析本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式由ysin是偶函数知k，即3k，又0,2，适合本题也可用偶函数定义求解2若A、B是钝角ABC的两个锐角，则点P(cosBsinA，sinBcosA)在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案D解析A、B是钝角ABC的两个锐角，AB，0AB，0BA.ysinx在上是增函数，sinAsin，sinBsin，sinAcosB，sinB0