介电常数_的物理诠释.pdf

第 01 卷 第 2 期 湖北 大学学报 自然科学版 V o l 01 J uoran l o fH u b e i U n i vers i t y N a t ura lS e i enee N o 912 88 中 醚独衅川 介 电常数 C 的物理诊释 韦 群 物理 系 摘典 介电常数 是一不重要而又复杂的物质常量 本文甘介电常数 己 的物 理意义进 行了详尽的论述 并在引进经典振子模 型的基拙上 对介电常数的色散特性和张量 特 性作了充分的讨论 梦 笋 1 介电常数的物理意义 电介质的特征是 以感应而并非以传导 的方式传递电场的作用 和影响 在 电介 质中 起 主要作用的是束 缚着的电荷 在电场的作用下 它们以正 负电荷重心不重合的电极化方式 作出响应 介电常数正是综合反映介质内部电极化行为的一个主要的宏观物理 量 各类电介质介电常数的大小和性质不尽相同 造成这种差异的根本原因是介质内部结构 以 及分子构造 极化机理 的区别 从微观上看 极化机理有四种 一是组成介质的原子 或 离子 中的电子壳层在电场作用下发生畸变 从而产生感应电矩的电子位移极化 二是组成 介质的正负离子 在电场作用下发生相对位移 从而产生感应电矩 的离子 位移极化 三 是组 成介质的分子 或原胞 中由不对称性所引起的固有电矩 在外电场作用下 发生沿外场的 定向排列 从而在介质中产生宏观电偶极矩的取向极化 四是介质中的空间电荷在外电场作 用下 发生移动 于界面处受阻 从而产生感应 电矩的空间电荷 或界面 极化 这四种极 化机理中前三种是主要的 下面我们以线性固体电介质为例 分三种情况 二来分析介电常数与分 子构 造 极化 机理 的关系 1 1 仅具有电子位移极化的 固体电介质 这类介质大都属于原子晶体 元素晶体 由 于 电场的影响 其任一原子产生的感应 电矩为 P 二a E x o 1 式中E 为该原子位盆处的局部电场 a 是电子位移极化率 它包含着电荷极化作用的 本文t T年12月2 日收到 一 35一 信息 是表征原子的性质的微观 量 而晶体电介质的极化强度为 P n P a E r o t 2 计算证 明 使原子极化的局部电场若 与介质内平均宏观电场而关系为 E 一 E 女万 3 将 3 式代入 2 式 可得 P n a E 但是从宏观上看 我们有 尸 二 一 E 将 5 式代入 4 式 消去E u s一 M a s sotti 公式 4 5 整理后得到表示介电常数的克劳修斯一莫索提 C la u卜 君一君 e Ze o 弄 J乙 O 6 这个公式将宏观量 与微观量 a 联系起来 同时 指明介电常数与原子浓度 n 的依赖关系 1 2 只具有电 子位移极化和离子位移极化的固体电介质 离子 晶体属 于 此类电介质 在外加电场作用下 正 负离子分别产生电子位移极化和离子位移极化 根据两种极化的特 征 仿上面 的推导 可得到介电常数满足 的关系式 e一e 1 e 气 云不不百 不不 个 一 宁 万 7 其中 为单位体积中的正离子 或负离子 数 a 十 和 a 一 分别代表正负离子的电子位移极化 率 k为准弹性常数 7 式的形式与克劳修斯一莫索提公式类似 只是多了一项离子位移 极化贡献的极化率 零 它与电子极化率 一样 是表征离子性质的微观量 一 一 一 一 M 一 k 矽 一 动 一 一 一 动 一户 H J护 1 3 同时具有电子位移极化 离子位移极化和取向极化的电介质 这类介质情况比较复 杂 缺乏介电常数的定量理论 一般而言 存在固有电矩的电介质 在外电场中可以同时 产生位移极化和取向极化 对于固态电介质 由于其结构紧密 粒子间相互作用很强 因此 其固有电 矩不能象液态和气态介质中那样容易转向 然而在固态电介质的熔点附近或者 更多 情形是当晶体电介质中存在缺陷时 均可使电矩发生转动 如离子晶体 由于空穴的存在 电场可以导致离子位置 的跃迁 从而产生取向极化 确定这类介质介电常数的公式称为德拜 D o by 公式 其形式为 巴一君 e 2 o 式中n为单位体积的分子数多 1 3己 二 斋 8 P 为分子 的固有电矩 k 为玻耳兹曼 常数 比较 8 式与 P含 又 式可知 8 式中多出一项取向极化贡献的极化率 aJ 石甲芍二 室温下 取向极化率 O尺刀I 二 一 36一 今 歹 i 远大于位移极化率 从 上述讨论可以看出 介电常数的大小与分子构造有关 不 同的分 子 构造 有不同 的极化 机理 从而对应大小不同 的介电常数 6 7 8 三式之间的差 别正 说明这 一 点 介电常数的性质 与 电介质的结 构有关 公式 6 7 8 用分子极化 的三个 微观 量 a a 来 表示介质 的宏观介电常数 分子 或离子 极 化率a a 和 a J 反映一 个分子 或离子 的性质 而介电常数 则依赖于分子 或 离子 集合 起来排 列 成晶 体的 方 式 介质的结构 排列方 式不同 其介电常 数的性质亦不相同 就 线性介质 来者 它可分 为各向同性和各向异性介质 在各向同性介质中存在关系式D E 式中介电 常 数 乙 是与 E D的方向无关的标量 如 果介质是均匀的 则 为一常 量 如果介质 是非 均匀的 则 是 空间点的坐标的函数 对于各向异性介质 如晶付 介电常数不再是标量 而 是一张 量 若是 色散介质 介电常数为电场频率 的函数 并且是复数 如 此 等等 一 可见 不同结 构 的介质 其介电响 应借助于不同性质的介电常数 2 介电常数的特性 2 1色散特性 介电常数 对 电场 变化须率 的依 赖关系便 是它 的 色故特性 对频幸的依赖 性 的物理基 础是什么 如 果考虑 一入射电磁波同组成介电材料的原子 阵 列之间 的 相 互作用 便可以得出这个问题的答案 当简谐 电磁波 射入 电介质 时 介质内部电荷结构将受 到随 时间变化的力和 或 力矩 的 作用 这些作用正比于波 的甩场分量 忽略磁 力效 应 对于极性 电介质 分子的取 向 需要 经 过快 速旋 转 由于惯性 在比较高的驱动频率下 有 极 分子 将跟不上场的交 替变 化 它们 对尸的贡 献将减小而 将显著 地下降 这时 电介质范取 向极化效 应 消 失 只剩下 电子位移 极 化 由于电子 的惯性小 所以即使在光 频 约5 x 1 0 毛 H 二 下也能跟 上场 的 变化仍 对一有 贡 献 可见 对频 率 的依赖关系是受到在具体频率 下作出 贡 献的各种不同的 电极化机制 相互 作用 的 制约 它体现了介质极化的惯 性 现在用谐振子作为原子内束缚电子 既模 型 导出 口 的解析表达式 设想价电子或最外 层 的 电子由一个准弹性力 一 飞x 与相应的原子或分子约束在一起 在交变电场E t 设沿 x 方向 驱动下 这个原子类似一个经典的受迫振子 图 1 b 便是各向同性介质中 这种振子的力学表示 其中带负电 的壳层用相同的弹簧固定在带正 电的核上 在频率为 的 简谐波的 电场刀 E e一 田 作用下 振子 的运动方程为 逮 1 巨 穿 十 餐 田 含 一 9 式中常 量 是振子的固有颇率 等于弹性常数与质量之比 的平方 根 第二项为阻尼力 川来概 括极化消耗能量的一般 特点 它正比 于速牢华 称为阻尼 常数 川 式 的特解 u 认 一 J 丁 dt 7 J 一 乃 一 产 一 为 q E 人 一 一 一 一 1 0 一 一一一一 卿 口 1 一 口 2 f口r 此式描述的是 电子所作的受迫 振 功 其振幅为复数则表明位 图 1 a 在外电场的 作用下电子云的变形 一 37一 移二与场 强方之间自位相差 电子的位移弓 起介质的极化 设单位体积中有 贡献的电子有N个 那 么电极化强度为 尸 二 q 戈N 因此 尸 二 吼 溯卜一 1 一 一 1 1 阴 e 含 一 口 f田 由方 程 5 得 c o P t E t 二 o 十 口二N 胡 1 2 乞一 io r 作为 的函数是一复数 其实部 和虚部 分别为 N g 忿 告一 么 图 1 b 力学振子模型 己 场 1 3 m 愁一 2 2 2 N g含 l 一 宁产 王 图 2 产 和扩衬 的关系 望了 一 14 飞 一 2 2 虚部 引起电磁波的吸收 尹和 对 的关系 曲线 如 图 2 所示 由图 可 知 在 远离 的区域 广随频率 的增加 而增加 这一部分 就是所谓 的正 常色散 而 在 接近 Q 的区 域内 产则随频率 的增加而减小 这一部分 通 常 叫反常 色散 当 时 振子将开始共振 振 幅 将显著增大 并伴 随有入 射波能量 的哀减和强烈的 吸收 在 处有尖锐的极大值 离 较 远 处 二二 O 这表明能量 消耗主 要集中 在 附近 因为 的一个正 的虚部代表 能 量 从 电 磁波散逸 到介质 所以 大 的区域 叫共振 吸收区 上面 的讨 论认为介质中电子只有一个固有频率 其实更正确的模型应是 每个原子中有多 种 振 子 设它们 的 固有频半不 娜阻 尼常数分 别为 和 2 它们的数目为 f j 这样 式 12 应 推广为如下形式 g 忿N 一丽丁 乙 一一卫立一一一 毛j一 口 2 15 这里下标j是振子类型 的标号 乙是对一个原子中所有振子的类型求和 15 式仅对稀薄的 一38一 气体介质是精确的 若考虑固体电介质 则每个原子不能再当作孤立原子处理 它要受到同类 原子 引起的感生场的作用 因此 对一个原子来说 除了外场之外还有另一个场尸 l 3 可以证 明 15 式将变 成为 今 N q三 二 蕊 一二 军 以声 f 一 2 r 16 以上我们用弹性偶极子 的阻 尼受迫振 动模 拟介质 中电子对交变驱动电场的 响应 不难看 出 一个振 子对应一固有频率 这是反映电子极化惯性 的频率 在 15 式中 乞 相 当 于弹性常数k 它描述弹性束缚的强弱 在忽略吸 收 为实数 的情况下 反比于 这 意味 着 等效弹性常数 大 即强束缚 对 应于低介电常数 所以这再一次说明色散特性的实 质是介质电极化惯性 的表现 另外 极化与一 定的 能里共振吸收相 联系 原子 的 吸收 频率 正 是反映电子极化惯性的频 率 为了表明极化惯性和集中在 固有频 率 附近的共振吸收之间的内 在联系 则介电常数不仅 是电场频率 的函数而且还是一个复数 2 2 张里特征对于各向同性电介质 尸 D E之间存在如下关系式 D E 尸 P 一 E D 百 1 7 18 19 式中电场强 度E 尸的方向无关 电位移D 极化邢度 尸三者 是 同方l句的 介电常数 为标量 且 与E D 对于各向异性电介质 上述两个结论均不成立 实验发现 尸 D E之间的关系仍 可 用 1 7 18 19 式表 示 但 它们 的方向 是不相 同的 且 不再是标量 而是张 量 根据数学理论 一般连结两个矢量的系数应 该 是二阶张 量 当然介电常数也不能例外 因此 1 8 和 19 两式可写为 P E 一 占 E D 艺 E i J x i j x y 之 2 0 y 之 21 纵然 我们承认实验和理论 的结果 但现在的 问题是 需要对介电常数的张 量特性作出物理 解释 从电磁理论的观点来 看 介质各向异性 的特 征 表现在介质对入 射 电磁 波作用 的反应能 力于各个方 向有所不同 考虑介质的微观结构 可 对 引起介质各向异性的机理 得到定性的理 解 就晶体而论 其内部 的原子 通过 短程力紧紧束缚在一起 并以某种 规则 的重复点阵排 列 从而形 成周 期性的晶格 电子仍可想象成弹性地束缚在各自的平衡位置 上 属于某一原子 的 电子 也处在邻近原子的影 响之下 这 些晶格原子的排列可以不完全对 称 因而 电子在否 同方向上 的弹性束缚力 也就不相等 自然 这些 电子对于 入射电磁波的电场的 响应 也因E 的方向不同而不同 这种情况也可以用简单机械模型来模拟 对于各向同性为介质 前面曾 一 39一 用 谐振子模塑 它通过积同弹性常数的弹簧把带电球壳约束在一固定点上 性的介质 使用 的模型 则 应有所不 同 如 图3所示 它还是一个带电球壳 然而对子各向异 但却是 用不同弹 性常数的 弹簧来固结它 当一个沿某一 组弹簧方向的电子离 开平衡位置 时 它将以某一特征须率振动 此频率与另 一组 弹簧的特 征频卒不 同 假加电磁 波通过 姚个晶体 就会碰上 图 3那样 假想 的电子 若j j 于卜 行 于硬的 弹簧 即 i合强束缚的 方向 沿二轴 电子 均本征频 率就会很 高 反之 当百沿 着y轴 这个方 向束缚力较弱 木 征频 率就会低一 些 束 缚 力沁各向异性就表现为介电常数的各向异性 对 于E不平 行 于任 何弹簧方 向的一般倩况 电 场 区劝电子 但 由于束缚力 的各向异性 电 一子的 合成运 动方向将 与刀的方向 不同 这 样 刃与尸 与D的方向便不相同 因此介电常数必为一张 量 图3 机械模型 下 面我们以一种 设沙沟二维 晶体 如 图 4 为例 导出 20 21 式 魂 分 子排列为 结晶格子 构成晶体基人单元是 分子 当电场 与分子 轴平 行时 会引起 电荷沿 分子轴方 向的 移功 即引起沿分 子轴方向的极化澳度 当电场 与分子 轴垂 直 时 则会引起与分 子轴 垂直 的 极 化强度 由于晶体的各向异 性 不同方 向极 化的 难 易程度不同 所以 当上逐两方 向的 电场大小相 等浏 引起的极 化强度少 小并不相等 这就是说 这 一晶体有两个介电常数犷可以用 表示 如 果电场 取任念方向 见图4 可 应用 迭加原理 把 电场刀分解为平 行于 分子轴和垂 直于 分 子轴 的两 个分量 E 二 E o o 0 E 百 s i mo E E 引 起 的极化强度为 岁 e 罄罄 合 侧乡 缈缈 盯自 自户户 屏屏笋笋 今劝 0 P 二 临 一 坑 尸 区 一 E J 对各向 异性的晶体 式 17 仍 然 成立 因此有 D l 二 D 止 将 2 2 式代入 2 3 式 勺 万 l 尸 E I 尸工 得到 D E 办 D 上二eJ E J 图4一种二维晶体的极化 22 23 24 一 般 年 则极化强度矢量尸不平行于电场强度E 电位移矢量 D也不平行于电场强度E 即三者方向 一 40一 夕抽分钊平行和垂 普于分子轴 如口 峨所矛 贝 匕述 2约 l I J 芳UJ 厂召 产 产 二 二 一忍 今 是 不相同 污廿 知甲 取 坐标 24 式分别 与为 P 二二 尸 二 和 2 5 一忍 理 荡 任 刀 y 夕y乙y 26 梦 加 如果任取坐标 使 二轴与分子轴成a 角 如图 5 所示 设 电场 沿二方向 即只有E 二 而E 二 o 如 同 上面作法 把E 二 分解成 与分子 轴平 行及 垂 直 的 两 个分最E 和 E 二 得到 一 一一 户曰 工 一二 呀二 月5 取不同力 勺 坐标轴 产 月 曰 了 几 l l尸 扩二 一 刀 夕 P 二 一 刀 山 二 护一 刀 二 eo a 二 一 刀 二 5n a 和 D e l E I D 二 二 E 28 将尸 与尸 二 尸 二二 尸 二 不 日 D 与D 投影到 x P eos a P s i na E 二e os a 己山E 二5 i na y 方向 则有 多 一 P 5 1na P J一 eosa D 二 二 E 二 尸 二 D y 己 E y 十尸 e e os a 艺s i n a一 E 二 二一 5 i naeosa E eos a s in a 厅 1 又 二一己l 5Inac0Sa 尤 二 29 30 同理 尸 二 P 二 如果 电 场沿夕方 向 即只有刀 y 而万 二 0 可得 二一 5 1na eosa E o 1n Z a eos Za 一 o 一 5 i nae osa E 3 1 卜 J y E 和 D 二 D v 之 5 1n n Za 二cos a E 3 2 如果 电 场沿任意方 向 同时具有E 二 和E 则 I 二 二 夕eosZa 二 S n a一 万 二 一 5 1了la c osa l子 凡1nac a 刀 二 十 i n 一 c n 一 厂 33 找 e o s Za 上s i n a 刀 二 么一 Sinaeosa 百 一 51nac osa E 二 Sin 艺a cos 刃 34 几几瓜 畔咖 忿 二 33 尸 二二 P 艺 C O S 3峨 Za sn 二 二 儿一 a e os y二 yy 二 s i n a co sZa 式可 弓为 设 则 二二 一 E 二 二 刀 y y 二 刀 浅 一 刀 3 5 一 4未一 D 二二 二二 它 十 二 它 D 二 二 E y 1 I 36 由此可见 对于 一般的坐标 尸与E之间 D与E之间有较为复杂的关系 这里需要用四个 介电常数分量 二二 e 名 y 巴y x y 来描述介质的极化性质 当三维 晶体受到任意电场E E 二 E E 的作用时 其中 二 晶体中的极化哪度尸 尸 尸 尸 电位移D D 二 D y D 二 与E E 二 它 百讼 的关系为 37 性 1 了le s P 二二 二 二 一 E 二 二 E 二 凡 P 二 E 二 yy 一 E y y E 尸 二 二 二二 E 二 十 E y 二 一 E D 二 二 二 E 二y E y 二 二 E 二 D 二 E 二 E y E D 二二 E 二 二 y E y 二二 E 二 也可写成如下形式 38 J l I 行 l 了 P 乙 一 d 玄 E D 艺 E i j 戈 y 之 了 x y 的 这便是我们 要推导的 1 2 Xy 名 EEE 产 1 1 20 和 2 1 式 一 二 y e 二 y 一 e 之名 巴 z y 其 矩阵形式为 s x 二 劣 劣 e 了 Z了 l 一一 I J ls e l JJs e 了 尸 二 尸 y 火 P 己夕 去 e 一 XV ZE E E l 少Xy之 巴巴巴 己劣x 忿y x 召z x 刀xy 召夕 y 巴考y 1 一一 J Xy言DDD 可见 在一般情况下 描述晶体极化的各向异性需 要九个介电常数分量 这九个分量组 成一 个二 阶张量 即通 常所称 的介电常数张量 由以上分析表明 介电常数的张量特性实质 上是 晶体电介质对电场响 应 的各向异性的反 映 分子 或离子 周期排 列产生了不同的晶体 然而分子分布的不完全对称 性导致了晶体 的各向异性 可想而 知 介电常数张量的独立分量数目与晶体的对称 性密切相关 对于所有 晶体都存在如 下关系 x 二 y 二 二 二 二 二 所以 介电常数张量为二阶对称张 量 其独立 的分量 最多有六个 七大晶系中 对称性最低 的三 斜晶系晶体 其介电常数独立 分量有六个 表 现为完全各向 异性 而对称 性最高的立方 晶系 晶体 其介电常数独立分 量只 有一个 表现为 各向同性 其它晶系则界于这两种晶系之间 它们的独立介电常数分量数目 是 在 1 6之 间 显然 独立介电 常数分量数越多 电介质的各向异性程度越高 反之 独 立介电常数分量数越 少 电介质的各向异性程度越 低 而各向 同性只不过是各向异性的特例 罢了 此 时的介电常数为零阶张 量一一标量 上面我们使用经典振子模型说 明了介电常数的色散特性和张量特性 这种 经典电子论所 一42一 勺 乡 硒喇 幼 给出的表达式在形式 土是正确的 与量子力学给出的结果相同 然而准弹性振子 的图象并不 拍合原子的有核模型 看来要止确说 明上述 问题 题需要 靠 量子力学 不过 就前而所论及的内 容 已足以说明介电常数既是 一个重要 的物质常 量 又是一个复杂的物质 常 量 参考文 献 l 孙慷 张福学 压电学 北京 国防工业 出版社 19 8 4 2AM P o R TIS E le cr ro水a夕 etie Ff e l d s S oolc e an d M e di a 19 75 3 方俊鑫 陆栋 固体物理学 上海 上海科学技术出版 社 198 5 4 徐游 电磁学 江 苏科学技术出版社 1 987 PHYSICALEXFLANA T10NOFTHEDIE L E CTRIC C O N S TANT仑 W ei Q un D e p art m en t o fP hy sies Ab stra et T h e diele e t r i ee ons t an 15 an impo r t an t an d eo mpli e a t e d f n a t er ial c ons t an t I n thisp a p er th e Phy s i e a 飞n r e an i ngo fith as b e en di s cus s e d th or ou gh ly on th e ba s i so f int ro d u e ing e l as siea l os e ill ator m o d e l an d th en th e disp ers io r一an d t en sor p r o p er tie so f 0 h ave b een di s