信号与系统分析第五章部分答案 许信玉.pdf

第五章离散时间系统的时域分析 35 习题五习题五 5 6试求下列差分方程所描述系统的零输入响应 零状态响应和全响应 1 1 2 kekyky 2 kke k 1 1 y 解 求零输入响应 根据差分方程 可写出零输入响应的函数表达式为 k zi cky 2 1 因为1 1 y 所以 21 2 1 1 11 ccy 即 0 2 2 2 1 kky kk zi 求零状态响应 因为激励信号为 2 kke k 设特解 2 kpky k p 将 2 kpky k p 和 2 kke k 代入原差分方程中 在0 k时有 2 1 2222 1 ppp kkk 故 2 2 2 1 1 kkky kk p 根据差分方程和特解 可写出零状态响应的函数表达式为 02 2 1 1 kdky kk zs 下面需要根据差分方程和激励信号 在零输入情况下推导出 0 zs y 当0 k时 根据差分方程和激励信号有 1 0 1 0 0 1 2 0 yyeyy 确定 kyzs中的待定系数 1 d 当0 k时 根据 1 1 2 2 kk zs dky有 2 1 1 2 1 0 11 ddyzs 故 02 2 2 1 1 kky kk zs 信号与系统分析 36 全响应 02 2 2 5 2 2 2 1 2 111 k kykyky kkkkk zszi 2 2 2 1 3 kekykyky kke 1 1 y 0 2 y 解 求零输入响应 根据差分方程 可写出零输入响应的函数表达式为 kk zi ccky 2 1 21 因为1 1 y 0 2 y 所以 4 1 0 4 1 2 1 2 1 1 2 1 21 21 c c ccy ccy 即 0 2 4 1 kky kk zi 求零状态响应 因为激励信号为 kke 设特解 kpkyp 将 kpkyp 和 kke 代入原差分方程中 在0 k时有 6 1 123 pppp 故 6 1 kkyp 根据差分方程和特解 可写出零状态响应的函数表达式为 0 6 1 2 1 21 kddky kk zs 下面需要根据差分方程和激励信号 在零输入情况下推导出 0 zs y和 1 zs y 当0 k和1 k时 根据差分方程和激励信号有 第五章离散时间系统的时域分析 37 1 0 0 0 2 2 1 3 0 eyeyyy zs 2 1 13 1 1 1 2 0 3 1 zszs yyeyyy 确定 kyzs中的待定系数 1 d 根据 6 1 2 1 21 kk zs ddky及1 0 zs y 2 1 zs y 可得 3 4 2 1 2 6 1 2 1 1 6 1 0 2 1 21 21 d d ddy ddy zs zs 故 0 6 1 2 3 4 1 2 1 kky kk zs 全响应 0 6 1 2 3 8 1 2 1 6 1 2 3 4 1 2 1 2 4 1 k kykyky kk kkkk zszi 3 1 2 2 1 3 kekekykyky 2 kke k 0 1 0 yy 解 求零状态响应 因为激励信号为 2 kke k 且系统差分方程的一个特征根为 2 所以 设特解为 2 kkpky k p 将 2 kkpky k p 和 2 kke k 代入原差分方程中 在0 k 时有 信号与系统分析 38 1 2 1 2 2 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 3 2 121 p pkpkpk kppkkp kkkkk 故 2 kkky k p 根据差分方程和特解 可写出零状态响应的函数表达式为 0 2 2 1 21 kkddky kkk zs 下面需要根据差分方程和激励信号 在零输入情况下推导出 0 zs y和 1 zs y 当0 k和1 k时 根据差分方程和激励信号有 1 0 0 0 2 2 1 3 0 eyeyyy zs 5 1 23 1 1 1 2 0 3 1 zszs yyeyyy 确定 kyzs中的待定系数 1 d 根据 2 2 1 21 kddky kk zs 及1 0 zs y 5 1 zs y 可得 1 2 222 1 1 0 2 1 21 21 d d ddy ddy zs zs 故 0 2 2 1 2 kkky kkk zs 求零输入响应 根据差分方程 可写出零输入响应的函数表达式为 kk zi ccky 2 1 21 因为0 1 0 yy 而在前面我们已求出1 0 zs y 5 1 zs y 所以 1 0 0 0 zszi yyy 5 1 1 1 zszi yyy 第五章离散时间系统的时域分析 39 将1 0 zi y 5 1 zi y代入 kyzi的表达式中 有 4 3 52 1 1 0 2 1 21 21 c c ccy ccy zi zi 即 0 2 4 1 3 kky kk zi 全响应 0 2 2 5 1 2 2 1 2 2 4 1 3 kk k kykyky kkk kkkkk zszi 4 1 2 kekykyky kke 1 0 y 2 1 y 略 5 7试求下列差分方程所描述系统的单位序列响应 kh 2 2 4 1 1 kekykyky 解 根据差分方程 可写出单位序列响应 kh的函数表达式为 0 2 1 2 1 21 kkcckh kk 下面需要根据差分方程 在零输入情况下推导出 0 h和 1 h 当0 k和1 k时 根据差分方程和激励信号 k 有 1 0 0 2 4 1 1 0 hhhh 1 1 01 1 1 1 4 1 0 1 hhhhh 确定 kh中的待定系数 1 c 2 c 信号与系统分析 40 根据1 0 h 1 1 h及 kk kcckh 2 1 2 1 21 可得 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 2 1 21 1 c c cch ch 故 0 2 1 2 1 kkkh kk 或写为 2 1 2 1 kkkh kk 4 2 1 2 2 4 1 1 kekekykyky 解 根据差分方程 可写出单位序列响应 kh的函数表达式为 0 2 1 2 1 21 kkcckh kk 根据差分方程和激励信号 k 在零输入情况下推导出确定 kh中的代定系 数所需要的两个初始值 0 0 2 1 2 2 4 1 1 0 hhhh 2 1 1 0 2 1 4 1 0 1 hhhh 3 2 12 2 0 1 2 0 4 1 1 2 hhhhh 确定 kh中的待定系数 1 c 2 c 根据2 1 h 3 2 h及 kk kcckh 2 1 2 1 21 可得 8 4 3 2 1 4 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 21 21 c c cch cch 故 0 2 1 8 2 1 4 kkkh kk 第五章离散时间系统的时域分析 41 或写为 2 1 8 2 1 4 kkkh kk 5 8试求题 5 8 图所示各系统的单位序列响应 a b c d 题 5 8 图 解 a 根据系统框图 可写出系统的系统函数为 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 z z z z z z z zH H H H 系统的单位序列响应是系统函数的逆 Z 变换 故 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k kk k k kh h h h k k k k b 根据系统框图 可写出系统的系统函数为 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 z z z z z z z z z z z zH H H H 对系统函数求逆 Z 变换 可得 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k kk k k kk k k kh h h h k k k kk k k k 信号与系统分析 42 c 根据系统框图 可写出系统的系统函数为 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z zH H H H 对系统函数求逆 Z 变换 可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 k k k kk k k kh h h h k k k kk k k k d 根据系统框图 可写出系统的系统函数为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 z z z z z z z z z z z zz z z zz z z z z z z z z z z zH H H H 对系统函数求逆 Z 变换 可得 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k kk k k kk k k kk k k kh h h h k k k k 5 12试求下列卷积和 1 2 kkk 解 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k kk k k kk k k kk k k kk k k k 提示 公式 0 0 0 00 0 0 0 k k k kk k k kf f f fk k k kk k k kk k k kf f f f 2 2kk k 解 1 1 1 12 2 2 2 8 8 8 84 4 4 42 2 2 21 1 1 1 4 4 4 42 2 2 21 1 1 1 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2k k k kk k k kk k k k k k k kk k k k 7 cos 2 3 1 kkk k 解 原式 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 k k k kk k k k k k k k k k k k 5 13已知各序列的图形如题 5 13 图所示 试求下列卷积和 1 21 kfkf 2 31 kfkf 第五章离散时间系统的时域分析 43 3 43 kfkf 题 5 13 图 解 利用不进位乘法 可得 2 2 2 2 4 4 4 45 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 21 1 1 1 k k k k k k k kf f f fk k k kf f f f 其它题均可利用不进位乘法方便地得到结果 5 16已知 LTI 离散系统的单位序列响应为 kh 输入为 ke 试求下列系统的零状 态响应 kyzs 1 为其它值k k kh 0 2 1 01 为其它值k k ke 0 3 2 12 2 00 01 k k kh 为其它值k k k k k ke 0 76 53 32 11 解 利用不进位乘法方便地得到结果 参看教材中的答案 信号与系统分析 44 5 18题 5 18 图所示系统是由两个子系统级联组成的 其中 2 sin4 1 k kh 1 2 kakkh 试求当激励 kake k 时的零状态响应 题 5 18 图 解 根据系统框图可得 2 2 2 21 1 1 1 k k k kh h h hk k k kh h h hk k k kh h h h 系统的零状态响应为 k k k kh h h hk k k ke e e ek k k ky y y yzs zs zs zs 所以 1 1 1 1 2 2 2 2 sinsinsinsin4 4 4 4 k k k ka a a ak k k k k k k k k k k ka a a ak k k ky y y y k k k k zs zs zs zs 2 sin4 2 sin4 1 2 sin4 1 2 sin4 1 k k k kka k kaaka k k kk 5 19题 5 19 图所示的复合系