三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析.doc

三角恒等变换【考纲说明】1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2、 能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明.3、 本部分在高考中约占5-10分.【趣味链接】1、 cos()有的时候蛮无聊的，把人家好好的和硬是弄得分居，结果上去调停的还是她；sin()也会做差不多的事，但他比较懒,不变号.2、 tan很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot陪陪他.【知识梳理】1、两角和与差的三角函数； 。2、二倍角公式；。3、半角公式 （）4、三角函数式的化简常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式；. （2）辅助角公式，.积化和差公式： 和差化积公式： 5、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。6、三角恒等式的证明（1）三角恒等式的证明思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。【经典例题】【例1】 求证【解析】左边右边原式成立.【例2】 已知：sinsin(2)，求证：tan()tan.【解析】由sinm sin(2)sin()m sin()sin()coscos()sinmsin()coscos()sin(1m)sin()cos(1m)cos()sintan()tan【例3】求tan70tan50tan50tan70的值.【解析】原式tan(7050)(1tan70tan50)tan50tan70(1tan70tan50)tan50tan70tan70tan50tan50tan70 原式的值为【例4】若A、B、C是ABC的内角，cosB, sinC, 求cosA的值.【解析】 cosB, sinB, 又sinC, cosC, 若cosC, 则角C是钝角,角B为锐角,C为锐角,而sin(C), sinB, 于是 sin(C)C, BC,矛盾, cosC, cosC, 故：cos Acos(BC)(cos B cos Csin B sin C).【例5】已知，且，求.【解析】由已知，得 又； 由，得又 由，得 .【例6】 化简：，其中.【解析】原式 原式【例7】求证：【解析】右边 原命题成立 【例8】平面直角坐标系内有点.（1）求向量与的夹角的余弦； （2）求的最值。【解析】（1） （2） 又，即 .【课堂练习】1、（2007全国）是第四象限角，cos，则sin=（ ）A. B. - C. D.- 2、（2009北京）对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ） A.sin(+)sin+sin B.sin(+)cos+cos C.cos(+)sinsin D.cos(+)coscos3、（2008北京）若角a满足条件sin2a0，cosasina0，则a在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4、（2009福建）已知(,)，sin=,则tan()等于（ ）A. B.7 C. D.75、(2008海南理)=（ ） A. B. C. 2 D. 6、（2010重庆）（ ）A B C D7、(2008安徽)若f(sinx)2cos2x，则f(cosx)（ ）A.2sin2x B.2sin2x C.2cos2x D.2cos2x8、（2010北京）在平面直角坐标系中，已知两点，则|AB|的值是（ ）A B C D19、（2009辽宁）已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（） 10、(2007海南)若，则的值为（ ） 11、（2009湖北）tan2010的值为 .12、（2008北京文）若角的终边经过点P(1,-2),则tan 2的值为.13、（2010重庆）已知均为锐角，且 .14、（2007浙江理）已知，且，则的值是 _ 15、（2010北京） 已知=2，求：（I）的值； （II）的值16、（2012全国）已知为第二象限角，且 sin=求的值.17、（2011福建）已知. （）求的值； （）求的值.18、（2010全国）已知求的值.19、(2008四川) 求函数的最大值与最小值.20、（2009四川）已知,()求的值.（）求.【课后作业】1、 的值为（ ）A. B. C. D. 2、可化为（ ）A. B. C. D. 3、若，且，则的值是（ ）A. B. C. D. 4、函数的周期为T，最大值为A，则（ ）A. B. C. D. 5、已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 6、已知，则（ ）A. B. C. D. 7、设，则（ ）A. 4B. C. D. 8、的值是（ ）A. B. C. D. 9、在ABC中，若，则ABC的形状一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形D. 等边三角形10、要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 正弦值为的锐角11、已知向量，向量，向量，则向量与的夹角范围为（ ）A. B. C. D. 12、已知：，则的值为（ ）A. B. 4C. D. 113、已知，则_.14、函数的最小正周期为_.15、已知，且满足关系式，则_.16、已知。若，则可化简为_.17、求值：18、已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合；（3）求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性.19、若已知，求的值.20、已知、为锐角，且.求证：【参考答案】【课堂练习】1、B 2、D 3、B 4、A 5、C 6、D 7、D 8、D 9、D 10、C11、 12、 13、1 14、15、解：（I）因为所以， 所以（I） （II） =16、解： 当为第二象限角，且时， ，所以=17、解：()由,得,得2sinxcosx=, (sinx-cosxx)2=1-2sinxcosx=, 又 sinx0, sinx cosx= () 18、解：19、解： 由于函数在中的最大值为 ；最小值为故当时取得最大值，当时取得最小值20、解：（）由，得，于是（）由 0，得又，由得：；所以.【课后作业】 1、D 2、A3