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第一讲 整除与整数的性质【知识点金】一整数的基本性质1.整数集关于加、减、乘运算的封闭性，即整数的和、差、积仍为整数（两个整数的商不一定是整数）。2.奇数和偶数的简单性质 能被2整除的整数称为偶数，可表示为形式；不能被2整除的整数称之为奇数，可表示为形式。 对于奇数和偶数有以下性质： （1）任意多个偶数的和、差、积仍为偶数； （2）奇数个奇数的和、差仍为奇数； （3）偶数个奇数的和、差为偶数； （4）奇数与偶数的和为奇数，其积为偶数； （5）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数； 3.整数集的离散性 两个连续整数之间不再有其他整数，两个连续整数的完全平方数之间不存在完全平方数。任一个整数有限集中必有最大数和最小数。二整除的定义和基本性质1定义：设、是整数，若存在整数，使，则称整除，或能被整除，记为，这时叫做的因数或约数，叫做的倍数。2.整除的基本性质（1）若，则，；（2）若，则；（3）若，且，则，。 事实上可推广到一般情形：若，且，则；（4）设，且，则对于任何，都有；反之，若，则。（5）若，且，则；（6）若、互素，且，则；（7）若是素数，且，则至少有一个，使得；（8）若两两互素，且，则；例1.求证：如果和都是大于3的素数，那么6是的因数。例2.求证：是正奇数时，能被60整除。（9）个连续整数的乘积一定能被整除；（10）为素数，对任意正整数，都有，此性质称之为费尔马小定理。它的一个推论是：若为素数，且不能整除，则。例1.求证：（为任意整数）。3一些数整除的判定方法 设是自然数，在十进制中的位数可表示为，即，其中称为数码，它们都是整数，且，而。 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； 提示：。（6）若，则； （9）若，则；（10）若，则。例1.由数码0，1，2，3，4，5，6能组成若干没有重复数字的七位数，其中有55的倍数，试在55的倍数的七位数中求出最大的和最小的数。三带余除法 如果、是两个整数，那么一定有且只有两个整数、，使得成立。 因此，当且仅当时，；当时，称为被除的商，称为被除的余数。 由此可得如下结论： （1）若有两个整数除以所得的余数相同，则它们的差能被整除。 （2）个连续整数中有且仅有一个是的倍数。 （3）设是整数，则在任意个整数中，至少有两个整数，它们被 除的余数相同。四算术基本定理 定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数都可以唯一分解成素因数乘积的形式，即，其中均为素数，为自然数。 从的素因数分解式中，我们又可以得到如下结论： 的约数个数为；例. 的正整数解的组数为（ ） A3组 B9组 C27组 D45组 【赛点直击】 整数的性质及整数性质的应用是数学竞赛中的热点问题之一，有关这方面的问题总可归纳如下：1平方数问题如判定一个式子是整数的完全平方，或证明一个式子是完全平方式，或证明一个根式是整数等。例1. 已知四个正整数中，被9除余1，被9除余3，被9除余5，被9除余7，则一定不是完全平方数的两个数是（ ） A， B ， C， D， 例2.求证：若正整数、使得，则是完全平方数。例3.某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有多少名同学？2整除问题判断或证一个整数（式）能整除另一个整数（式）。例1.对任意给定的自然数，若为正整数的立方，其中为正整数，则（ ） A这样的有无数多个 B这样的存在，但只有有限个C这样的存在且唯一 D这样的不存在例2.设、是正整数，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商为120，则，或，。例3.求证：，（个1个2）都是两个相邻的整数的积。例4.求所有能使为正整数的正整数。【闯关策略】与整数有关的问题（或可转化为整数问题）能否解决或解法是否简洁与选用整数的适当表示方法有关，处理这类问题常用奇偶性分析与反证法得出矛盾。构造方法、分解方法也是解决这类问题的基本方法。利用换元法转化问题的形式，是解决这一类问题的重要手段。把除数作质因数分解，然后，分别证明被除数可被其每一个质因数的最高次幂整除，这是证明整除问题的一般方法。1奇偶分析法通过奇偶性的分析得出矛盾等将问题求解。例1.若正整数与都是平方数，则。例2.（2005年上海交通大学自主招生试题） 若的三个根分别为、，并且、是不全为零的有理数，求、。2反证法例1.（2009年北京大学自主招生试题）是否存在实数，使得、都是有理数？例2.（2009年清华大学自主招生试题）当、都是奇数时，方程是否有有理数根？试证明之。3构造法例1设是集合的非空子集，中任何两个数之和不能被7整除，试求（集合的元素个数）的最大值。 例2.试确定，对于任意个正整数，其中至少有2个数的和或差能被21整除的最小正整数。例3.设，且具有下列性质：（1）对任何，恒有；（2）。 求证：中的奇数的个数是4的倍数，且中所有数字的平方和为一定数。4分解法例1.证明：对任意整数和所有的质数，均有为一个合数。例2.已知、都是质数，且使得关于的一元二次方程至少有一个正整数根，求所有的质数对。例3求所有的正整数，使得是一个完全平方数。5换元法例1求所有的实数，使得为整数，并予以证明。例2. 设是给定的奇质数，若正整数使得也是一个正整数，则。6不等式控制法 通过不等式控制变量的取值范围，能有效简化解题途径，达到轻松求解目的。例1求出所有的正整数，使得能整除。例2.求使表达式的值为整数的所有正整数，。例3.（2009年南京大学自主招生试题）求所有非，使得，其中，表示不超过实数的最大整数。例4（2006年清华大学自主招生试题） 求由正整数组成的至少两个元素的集合，使得中的所有元素之和等于所有元素之积。7数学归纳法 对与自然数有关的命题，可考虑运用数学归纳法予以求解。例1证明：对任意正整数，存在一个各位数码都是奇数且能被整除的位数。8变量缩小法讨论并尽量缩小变数的可能取值范围，是解决数论问题的最常用方法之一。这种方法既是解题的入手方法，同时也往往是解题的关键。一般通过讨论整除、互素、同余（包括奇偶性）、离散性等整数的特性与关系，来缩小变数的取