第二章-弹性力学的基本方程.pdf

LOGO 第二章 弹性力学的基本方程 LOGO 弹性力学的基本方程 一 位移 应变 应力 二 平衡方程 三 边界条件和圣维南原理 四 几何方程 五 物理方程 六 虚功原理 七 平面问题 八 轴对称问题 LOGO 近近50年来 有限单元法的应用已由弹性力 学平面问题扩展到空间问题 板壳问题 由静 力问题扩展到稳定问题 动力问题和波动问题 分析对象从弹性材料扩展到塑性 黏弹性 黏塑性和复合材料等 从固体力学扩展到流体 力学 热传导等连续介质力学领域 在工程应 用中已从分析和校核扩展到优化设计和计算机 辅助设计技术相结合的图形输入输出功能和计 算机动画显示技术相结合的仿真功能 年来 有限单元法的应用已由弹性力 学平面问题扩展到空间问题 板壳问题 由静 力问题扩展到稳定问题 动力问题和波动问题 分析对象从弹性材料扩展到塑性 黏弹性 黏塑性和复合材料等 从固体力学扩展到流体 力学 热传导等连续介质力学领域 在工程应 用中已从分析和校核扩展到优化设计和计算机 辅助设计技术相结合的图形输入输出功能和计 算机动画显示技术相结合的仿真功能 课程的学习目的 LOGO 有限单元法这门课程及内容非常广泛 我 们不可能都一一加以介绍 学习 本门课的基 本出发点是土木工程中如何应用有限单元法去 解决结构设计中的力学分析问题 重点是掌握 弹性力学有限单元法的基本原理和基本方法 为此下面先简单回顾和介绍弹性力学中的一些 基本方程 弹性力学有限单元法是基于这些基 本方程产生相应的计算格式 有限单元法这门课程及内容非常广泛 我 们不可能都一一加以介绍 学习 本门课的基 本出发点是土木工程中如何应用有限单元法去 解决结构设计中的力学分析问题 重点是掌握 弹性力学有限单元法的基本原理和基本方法 为此下面先简单回顾和介绍弹性力学中的一些 基本方程 弹性力学有限单元法是基于这些基 本方程产生相应的计算格式 课程的学习目的 LOGO 物理假设物理假设 1 假设物体是连续的 假设物体是连续的 2 假设物体是均质和各向同性的 假设物体是均质和各向同性的 3 假设物体是完全弹性的且服从虎克 定律 假设物体是完全弹性的且服从虎克 定律 4 假设物体内无初应力 几何假设 假设物体内无初应力 几何假设 5 假设物体的位移和变形是很小的 假设物体的位移和变形是很小的 弹性力学的基本假设 LOGO 一 位移 应变 应力 1 位移位移 线位移 角位移 可用线位移表示 线位移 角位移 可用线位移表示 2 应变 正应变 剪应变 互等定理 应变 正应变 剪应变 互等定理 3 应力 正应力 剪应力 应力 正应力 剪应力 u v w xyz xyz xyyzzx xyz xyyzzx xyyx LOGO 位移 应变 应力的矩阵形式位移 应变 应力的矩阵形式 u v w x y z xy yz zx x y z xy yz zx 位移应力应变位移应力应变 LOGO 弹性体内微小的平行六面体弹性体内微小的平行六面体PABC 称为体素 称为体素 PA dx PB dy PC dz 每一个面上的应力 分解为一个正应力 和两个剪应力 分 别与三个坐标轴平 行 每一个面上的应力 分解为一个正应力 和两个剪应力 分 别与三个坐标轴平 行 正应力正应力 剪应力剪应力 应力 B A C LOGO 为了表明这个正应力的作用面和作用方向 加上 一个角码 例如 正应力是作用在垂直于 为了表明这个正应力的作用面和作用方向 加上 一个角码 例如 正应力是作用在垂直于x轴的 面上同时也沿着 轴的 面上同时也沿着x轴方向作用的 加上两个角码 前一个角码表明作用面垂直于哪 一个坐标轴 后一个角码表明作用方向沿着哪一 个坐标轴 例如 剪应力是作用在垂直于 轴方向作用的 加上两个角码 前一个角码表明作用面垂直于哪 一个坐标轴 后一个角码表明作用方向沿着哪一 个坐标轴 例如 剪应力是作用在垂直于x轴 的面上而沿着 轴 的面上而沿着y轴方向作用的 轴方向作用的 x 正应力正应力 xy 剪应力剪应力 LOGO 应力的正负应力的正负 如果某一个面上的外法 线是沿着坐标轴的正方向 这个面上的应力就以沿坐 标轴正方向为正 沿坐标 轴负方向为负 相反 如果某一个面上 的外法线是沿着坐标轴的 负方向 这个面上的应力 就以沿坐标轴的负方向为 正 沿坐标轴正方向为负 如果某一个面上的外法 线是沿着坐标轴的正方向 这个面上的应力就以沿坐 标轴正方向为正 沿坐标 轴负方向为负 相反 如果某一个面上 的外法线是沿着坐标轴的 负方向 这个面上的应力 就以沿坐标轴的负方向为 正 沿坐标轴正方向为负 y y x x yx yx xy xy zOx y LOGO 弹性体在受外力以后 还将发生变形 物体的变 形状态 一般有两种方式来描述 弹性体在受外力以后 还将发生变形 物体的变 形状态 一般有两种方式来描述 1 给出各点的位移 给出各点的位移 2 给出各体素的变形 给出各体素的变形 弹性体内任一点的位移 用此位移在弹性体内任一点的位移 用此位移在x y z三个 坐标轴上的投影 三个 坐标轴上的投影u v w来表示 以沿坐标轴正方向 为正 沿坐标轴负方向为负 这三个投影称为位移分 量 一般情况下 弹性体受力以后 各点的位移并不 是定值 而是坐标的函数 来表示 以沿坐标轴正方向 为正 沿坐标轴负方向为负 这三个投影称为位移分 量 一般情况下 弹性体受力以后 各点的位移并不 是定值 而是坐标的函数 位移 LOGO 物体发生变形后 物体内各点的位置改变称为物体 内点的位移 物体发生变形后 物体内各点的位置改变称为物体 内点的位移 LOGO 体素的变形可以分为两类 一类是 体素的变形可以分为两类 一类是长度的变化长度的变化 一类是 一类是角度的变化角度的变化 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变 或称或称正应变正应变 用符号来表示 沿坐标轴的线应变 则加 上相应的角码 分别用来表示 当线素伸长时 其 线应变为正 反之 线素缩短时 其线应变为负 这与正应 力的正负号规定相对应 用符号来表示 沿坐标轴的线应变 则加 上相应的角码 分别用来表示 当线素伸长时 其 线应变为正 反之 线素缩短时 其线应变为负 这与正应 力的正负号规定相对应 xyz 应变 x y O z dx dy dz y x y O z dx dy dz yz LOGO 任意两个原来彼此正交的线素 在变形后其夹角的变化值 称为角应变或 任意两个原来彼此正交的线素 在变形后其夹角的变化值 称为角应变或剪应变剪应变 用符号来表示 两坐标轴之间的 角应变 则加上相应的角码 分别用来表示 规定当夹角变小时为正 变大时为负 与剪应力的正负 号规定相对应 用符号来表示 两坐标轴之间的 角应变 则加上相应的角码 分别用来表示 规定当夹角变小时为正 变大时为负 与剪应力的正负 号规定相对应 正的引起正的 等等正的引起正的 等等 xyyzzx xy xy x y O z y x z y z xy xz yx yz zx zy LOGO 二 平衡方程 从物体中取出一个平衡六面微分体来研究 该 微分体应满足以下六个平衡条件 从物体中取出一个平衡六面微分体来研究 该 微分体应满足以下六个平衡条件 LOGO LOGO LOGO 0 x xx yx yxyx zx zxzx dx dydzdydz x dy dxdzdxdz y dz dxdydxdyXdxdydz z LOGO 0 yx xzx X xyz 简化后可得 简化后可得 LOGO 0 0 0 yx xzx xyyzy yz xzz X xyz Y xyz Z xyz 平衡方程 LOGO 0 22 22 dz dxdy dz dxdydz z dy dxdz dy dxdzdy y zy zy zy yz yz yz 整理上式 得整理上式 得 LOGO 0 2 1 2 1 dz z dy y zy zy yz yz 略去微量项 得略去微量项 得 zyyz 同理可得同理可得 yxxyxzzx 以上几式即为以上几式即为剪应力互等定律 剪应力互等定律 LOGO 三 边界条件和圣维南原理 1 位移边界条件 边界位移可以描述 位移边界条件 边界位移可以描述 2 应力边界条件 边界力可以描述 应力边界条件 边界力可以描述 LOGO sss wvu wvu wwvvuu sss 式中为位移分量的边界值 为 该边界上的位移分量已知值 式中为位移分量的边界值 为 该边界上的位移分量已知值 位移边界条件 LOGO 应力边界条件 LOGO 0 0 xyxzx xyxzx xyyzy xzyzz X XdAdA ldA mdA n lmnX lmnY lmnZ LOGO l h 2 h 2 q y xo y yx xy y yx x 例例1 列出边界条件 列出边界条件 1 q LOGO 0 0 0 0 0 0 0 1 q 2 h y l x q 2 h y lx v u x 2 h y yx 2 h y y 2 h y yx 2 h y y lxxylxx 0 x0 x 边界 边界 边界 边界 LOGO y xo q q q q b b aa 例例2 列出边界条件 列出边界条件 xy y yx x LOGO 显然 边界条件要求在上 成 抛物线分布 显然 边界条件要求在上 成 抛物线分布 0 0 0 2 b axxyaxx byyxyy b y q ax by 边界 边界 xa x LOGO 混合边界条件 混合边界条件 1 部分边界上为位移边界条件 另一部 分边界上为应力边界条件 部分边界上为位移边界条件 另一部 分边界上为应力边界条件 2 同一边界上 一个为位移边界条件 另一个为应力边界条件 同一边界上 一个为位移边界条件 另一个为应力边界条件 LOGO 例例3 列出的边界条件 列出的边界条件 ax 0 0 axxy ax u ax y x o a LOGO 圣维南原理 如果把物体的如果把物体的一小部分边界一小部分边界上的面力 变换为分布不同但 上的面力 变换为分布不同但静力等效的面力静力等效的面力 主矢 量相同 对同一点的主矩也相同 那么 主矢 量相同 对同一点的主矩也相同 那么 近处近处的应力分量将有显著的改变 但的应力分量将有显著的改变 但远处远处 所受的影响可以不计 所受的影响可以不计 LOGO 1 圣维南原理只能应用于 圣维南原理只能应用于一小部分边 界 一小部分边 界 小边界 次要边界或局部边界 小边界 次要边界或局部边界 圣维南原理的说明 圣维南原理的说明 4 远处远处 指 近处 之外 指 近处 之外 3 近处近处 指面力变换范围的一 二倍 的局部区域 指面力变换范围的一 二倍 的局部区域 2 静力等效静力等效 指两者主矢量相同 对 同一点主矩也相同 指两者主矢量相同 对 同一点主矩也相同 LOGO 圣维南原理表明 在小边界上进行面 力的静力等效变换后 只影响近处 局部 区域 的应力 对绝大部分弹性体区域的 应力没有明显影响 圣维南原理推广 圣维南原理表明 在小边界上进行面 力的静力等效变换后 只影响近处 局部 区域 的应力 对绝大部分弹性体区域的 应力没有明显影响 圣维南原理推广 如果物体一小部分 边界上的面力是 如果物体一小部分 边界上的面力是一个平衡力系一个平衡力系 主矢量及 主矩都等于零 那么 这个面力就只会 使近处产生显著的应力 而远处的应力可 以不计 主矢量及 主矩都等于零 那么 这个面力就只会 使近处产生显著的应力 而远处的应力可 以不计 LOGO 例例1 比较下列问题的应力解答 比较下列问题的应力解答 h F F 2 F 2 F 2F 2F F b 34654 21321 bh 654 321 43 21 b LOGO 例例2 比较下列问题的应力解答 比较下列问题的应力解答 0 0 0 0 34 112 0 0 2 0 1 LOGO 四 几何方程 几何方程的意义即 用位移描述应变几何方程的意义即 用位移描述应变 x y z xy yz zx u x v y w z uv yx vw zy wu xz 3个正应变个正应变 3个剪应变个剪应变 LOGO 位移与应变的关系 LOGO 线段线段AB的正应变为的正应变为 x u dx dx x u dx udx x u u AB ABBA x 11 x 在小变形情况下在小变形情况下 x u x v udx x u udx vdx x v v BA BB tg 1 21 12 11 LOGO 上式分母中的正应变 可以略去 从而上式可简写为 同样可得 上式分母中的正应变 可以略去 从而上式可简写为 同样可得 x v 1 y u 2 而线段而线段AB与与AC间的剪应变等于 与之和 间的剪应变等于 与之和 y u x v xy 21 xy 1 2 1 x x u LOGO 同理可以得到六个应 变分量与三个位移分量间 的全部关系式 即 同理可以得到六个应 变分量与三个位移分量间 的全部关系式 即几何方 程 几何方 程 x y z xy yz zx u x v y w z uv yx vw zy wu xz LOGO 1 适用于区域内任何点 因为 适用于区域内任何点 因为 x y A 对几何方程的说明 对几何方程的说明 3 适用条件 适用条件 a 连续性 连续性 b 小变形 小变形 2 应用小变形假定 略去了高阶小量应用小变形假定 略去了高阶小量 线性的几何方程 线性的几何方程 LOGO 4 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果 5 应变和位移之间的关系 位移确定应变完全确定 应变和位移之间的关系 位移确定应变完全确定 从物理概念看 各点的位置确定 则 微分线段上的应变确定 从数学推导看 位移函数确定 则其 导数 应变 确定 从物理概念看 各点的位置确定 则 微分线段上的应变确定 从数学推导看 位移函数确定 则其 导数 应变 确定 LOGO 从物理概念看 确定 物体还 可作刚体位移 从数学推导看 确定 求位移 是积分运算 出现待定函数 从物理概念看 确定 物体还 可作刚体位移 从数学推导看 确定 求位移 是积分运算 出现待定函数 应变确定 位移不完全确定应变确定 位移不完全确定 LOGO 由两边对由两边对y积分 代入第三式 由两边对 积分 代入第三式 由两边对x积分 例 若 求位移 积分 例 若 求位移 0 xyyx 0 a y u x v xy 0 x x u 0 y y v 1 0 u x yf y 2 0 v x yfx LOGO 分开变量 分开变量 21 b dx xdf dy ydf 因为几何方程第三式对任意的 因为几何方程第三式对任意的 x y 均应满足 当 均应满足 当x y 变化时 式 变化时 式 b 的左 右均应 的左 右均应 常数 由此解出 得常数 由此解出 得 21 ff cx vvyuu oo LOGO 物理意义 物理意义 00 vu 表示物体绕原点的刚体转动 表示物体绕原点的刚体转动 表示表示x y向的刚体平移 向的刚体平移 LOGO 结论 结论 应变确定 则与应变有关的位移可以确 定 而与应变无关的刚体位移 则未定 应变确定 则与应变有关的位移可以确 定 而与应变无关的刚体位移 则未定 须通过边界上的约束条件来 确定 须通过边界上的约束条件来 确定 00 u v 00 u v LOGO 五 物理方程 意义 描述应力与应变之间的关系意义 描述应力与应变之间的关系 1 用应力表达应变用应力表达应变 yxzz xzyy zyxx E E E 1 1 1 zxzx yzyz xyxy G G G 1 1 1 12 E G 并且有 并且有 LOGO 五 物理方程 写成矩阵形式写成矩阵形式 C 柔度矩阵柔度矩阵 x z 1 000 1 000 1 000 1 00000 1 00000 1 00000 x yy z xyxy yzyz zxzx EEE EEE EEE G G G LOGO 五 物理方程 2 用应变表达应力用应变表达应力 zxzx yzyz xyxy zyxz zyxy zyxx E E E E E E 12 12 12 11211 1 11211 1 11211 1 LOGO 以上方程可写成矩阵形式以上方程可写成矩阵形式 D T zxyzxyzyx T zxyzxyzyx 其中其中 12 21 00000 0 12 21 0000 00 12 21 000 0001 11 000 1 1 1 000 11 1 211 1E D 弹性矩阵 弹性矩阵 LOGO 物理方程的说明 物理方程的说明 4 正应力只与正应变有关 切应力只与切 应变有关 正应力只与正应变有关 切应力只与切 应变有关 3 是线性的代数方程 是线性的代数方程 2 是总结实验规律得出的 是总结实验规律得出的 1 适用条件适用条件 理想弹性体 理想弹性体 LOGO 六 虚功原理 dvP T v T 将虚功原理用于弹性变形时 总功将虚功原理用于弹性变形时 总功W要包括外力功要包括外力功 T 和 内力功 和 内力功 U 两部分 即 两部分 即 W T U 内力功 内力功 U 前面有一负 号 是由于弹性体在变形过程中 内力是克服变形而产生的 所有内力的方向总是与变形的方向相反 所以内力功取负值 根据虚功原理 总功等于零得 前面有一负 号 是由于弹性体在变形过程中 内力是克服变形而产生的 所有内力的方向总是与变形的方向相反 所以内力功取负值 根据虚功原理 总功等于零得 T U 0 即 外力虚功即 外力虚功 T 内力虚功内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为 在外力作用下处于平 衡状态的弹性体 如果发生了虚位移 那么所有的外力在虚 位移上的虚功 弹性力学中的虚功原理可表达为 在外力作用下处于平 衡状态的弹性体 如果发生了虚位移 那么所有的外力在虚 位移上的虚功 外力功外力功 等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚 功 等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚 功 内力功内力功 LOGO 弹性力学问题的求解 弹性力学的全部弹性力学的全部15个基本方程 个基本方程 0 0 0 yx xzx xyyzy yz xzz X xyz Y xyz Z xyz x w z u z w z v y w y v y u x v x u zxz yzy xyx 六个几何方程 三个平衡微分方程 六个物理方程 六个几何方程 三个平衡微分方程 六个物理方程 yxzz xzyy zyxx E E E 1 1 1 zxzx yzyz xyxy G G G 1 1 1 LOGO 基本方程中含有基本方程中含有15个独立未知量 个独立未知量 六个应力分量六个应力分量 六个应变分量六个应变分量 三个位移分量 以数学观点来看 方程数等于未知 数问题可解 三个位移分量 以数学观点来看 方程数等于未知 数问题可解 zxyzxyzyx zxyzxyzyx wvu LOGO 七 平面问题 1 平面应力问题平面应力问题 对于一个方向的尺寸远小于其它两 个方向尺寸的等厚薄板 它在板边上受到平行于板面 并且不沿厚度变化的面力 体积力沿板厚不变 对于一个方向的尺寸远小于其它两 个方向尺寸的等厚薄板 它在板边上受到平行于板面 并且不沿厚度变化的面力 体积力沿板厚不变 平面内受力的板平面内受力的板 LOGO 简化为平面应力问题 简化为平面应力问题 故只有平面应力存在 故只有平面应力存在 0 2 z zyzxz 0 中在V zyzxz 由于薄板很薄 应力是连续变化的 又无 由于薄板很薄 应力是连续变化的 又无z向外力 可认为 向外力 可认为 1 两板面上无面力和约束作用 故两板面上无面力和约束作用 故 xyyx LOGO 归纳为平面应力问题 归纳为平面应力问题 a 应力中只有平面应力存在应力中只有平面应力存在 b 且仅为且仅为 yxf xyyx 2 由于板为等厚度 外力 约束沿由于板为等厚度 外力 约束沿z 向不变向不变 故应力仅为 故应力仅为 yxf xyyx LOGO 平面应力问题的独立未知分量为以下八个 平面应力问题的独立未知分量为以下八个 xyyx xyyx vu 3个应力分量 个应力分量 3个应变分量 个应变分量 2个位移分量 个位移分量 0 0 yx x xyy X xy Y xy y u x v y v x u xy yx xyy yxx E E 1 1 平衡微分方程 几何方程 物理方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 与以上与以上8个独立未知量相应的个独立未知量相应的8个基本方程为 个基本方程为 xyxyxy EG 121 LOGO 称应力矩阵称应力矩阵 D 式中式中 T xyxy T xyxy 2 1 00 01 01 1 2 E D 称应变矩阵 称弹性矩阵 称应变矩阵 称弹性矩阵 物理方程可改写为用应变分量来表示应力分量 并采用矩阵形式 有 物理方程可改写为用应变分量来表示应力分量 并采用矩阵形式 有 LOGO 2 平面应变问题平面应变问题 物体的纵向尺寸远大于横向尺寸 且 与纵轴垂直的各横截面都相同 所受面力垂直于纵轴且 不沿长度变化 同时体积力也与纵轴垂直且不沿长度变 化 而且约束条件也不沿长度变化 则有 物体的纵向尺寸远大于横向尺寸 且 与纵轴垂直的各横截面都相同 所受面力垂直于纵轴且 不沿长度变化 同时体积力也与纵轴垂直且不沿长度变 化 而且约束条件也不沿长度变化 则有 y x oz y z ox LOGO 故任何故任何 z 面 截面 均为对称面 面 截面 均为对称面 平面位移问题 只有 0u vw 平面应变问题 只有 0 0 00 xyyx zyzxzyzx z w 1 截面 外力 约束沿截面 外力 约束沿z向不变 外力 约 束 向不变 外力 约 束 xy面 柱体非常长 面 柱体非常长 简化为平面应变问题 简化为平面应变问题 LOGO 2 由于截面形状 体力 面力及约束 沿 由于截面形状 体力 面力及约束 沿z向均不变 故应力 应变 位移 均为 向均不变 故应力 应变 位移 均为 yxf 归纳平面应变问题归纳平面应变问题 a 应变中只有平面应变分量存 在 应变中只有平面应变分量存 在 b 且仅为 且仅为 yxf xyyx LOGO 例如 隧道 挡土墙 隧道 挡土墙 o y x y o x LOGO 平面应变问题的独立未知分量为以下八个 平面应变问题的独立未知分量为以下八个 xyyx xyyx vu 3个应力分量 个应力分量 3个应变分量 个应变分量 2个位移分量 个位移分量 0 0 Y yx X yx yxy yx x y u x v y v x u xy yx xyy yxx E E 1 1 1 1 平衡微分方程 几何方程 物理方程 平衡微分方程 几何方程 物理方程 与以上与以上8个独立未知量相应的个独立未知量相应的8个基本方程为 个基本方程为 xyxyxy EG 121 LOGO 称应力矩阵称应力矩阵 用应变分量来表示应力分量 并采用矩阵形式 有 用应变分量来表示应力分量 并采用矩阵形式 有 D 式中式中 T xyxy T xyxy 称应变矩阵 称弹性矩阵 称应变矩阵 称弹性矩阵 12 21 00 01 1 0 1 1 121 1E D LOGO 八 轴对称问题 研究意义研究意义 例如 冷却塔 沿轴方向各向同性 例如 冷却塔 沿轴方向各向同性 LOGO 若按空间问题进行分析 往往需要划分很多单元 因此未知量庞大 若利用轴对称问题的特点 可将轴 对称分析由空间问题简化为平面问题 若按空间问题进行分析 往往需要划分很多单元 因此未知量庞大 若利用轴对称问题的特点 可将轴 对称分析由空间问题简化为平面问题 LOGO 轴对称条件 当分析结构同时满足以下三个条件时 可认为是轴对称问题 当分析结构同时满足以下三个条件时 可认为是轴对称问题 1 轴对称物体轴对称物体 轴对称物体是指它的几何形状是由物体的某一平面图形 绕平面上某一轴旋转而形成的回转体 此平面称为子午面 轴对称物体是指它的几何形状是由物体的某一平面图形 绕平面上某一轴旋转而形成的回转体 此平面称为子午面 LOGO 2 边界条件轴对称边界条件轴对称 要求结构受到的荷载和位移约束条件具有轴对称性 要求结构受到的荷载和位移约束条件具有轴对称性 若它所受荷载是因结构旋转而产生的惯性力 则旋转轴必 须是对称轴 若它所受荷载是因结构旋转而产生的惯性力 则旋转轴必 须是对称轴A A 若要考虑重力 轴线 若要考虑重力 轴线A A则必须处于垂直方向 否则重力 和惯性力就不会满足轴对称条件 则必须处于垂直方向 否则重力 和惯性力就不会满足轴对称条件 LOGO 3 材料轴对称材料轴对称 要求结构的材料特性具有轴对称性 当材料是各向同性 材料时 这种条件是自然满足的 在轴对称问题中 常以圆柱坐标来表示 为了方便 一 般取柱坐标系 要求结构的材料特性具有轴对称性 当材料是各向同性 材料时 这种条件是自然满足的 在轴对称问题中 常以圆柱坐标来表示 为了方便 一 般取柱坐标系 空间轴对称问题 一般来说是三维 问题 但由于对称性 在轴对称荷 载作用下所产生的位移 应力与应 变必然对 空间轴对称问题 一般来说是三维 问题 但由于对称性 在轴对称荷 载作用下所产生的位移 应力与应 变必然对 轴对称 与 轴对称 与 无关 在无关 在 方向上的位移为零 方向上的位移为零 LOGO 因而一个三维问题 就变成只与因而一个三维问题 就变成只与r z有关 由对称性可知道 位移 应变 应力都与 有关 由对称性可知道 位移 应变 应力都与 无关 就可取其对称面 子午面 来进行研究 无关 就可取其对称面 子午面 来进行研究 各节点的位移有两个独立分量 分别为 各节点的位移有两个独立分量 分别为r方向的径向位移 以及沿 方向的径向位移 以及沿z轴方向的位移轴方向的位移w LOGO 直角坐标与圆柱坐标的转换 直角坐标及其位移与圆柱坐标及其位移的转换如图所示 其 中 直角坐标及其位移与圆柱坐标及其位移的转换如图所示 其 中x轴方向变成圆柱的轴方向变成圆柱的r方向 方向 z轴方向保持不变 而轴方向保持不变 而xoz平面上的 像素围绕 平面上的 像素围绕z轴旋转轴旋转360度 成为轴对称的实体 度 成为轴对称的实体 2 1 3 r y z 因此对该轴对称物体在进行分析时 可以取其截面表示 因此对该轴对称物体在进行分析时 可以取其截面表示 uu vu ww xr y zz LOGO 空间轴轴对称问题的几何方程 直角坐标的位移