数学：第12讲《燕尾模型》讲义.pdf

五年级数学星队秋季第十二讲 燕尾模型 例 1 1 已知在下面两幅图中 三 角形 ABD 的面积都是 15 三角 形 ACD 的面积都是 20 三角形 CDE 的面积都是 8 求三角形 BDE 的面积 2 已知在下面两幅图中 三 角形 ABD 的面积都是 15 三角 形 ACD 的面积都是 20 三角形 1520 8 E DCB A 8 E DCB A CDE 的面积都是 8 求三角形 BDE 的面积 请注意图中条件的 变化 3 若已知 1ABD SS 2ACD SS BEa CEb 请 填空 左图中 12 SS 右 图中 12 SS 你能用 自己的话叙述一下证明过程 吗 8 D ECB A 1520 8 D ECB A 答案 1 都是 6 2 都是 6 3 a b a b 分析 1 根据等高模型 153 204 ABD ACD BDS CDS 所以 3 4 EBD ECD S S 所以 3 86 4 EBD S 1 注意不再是 D 点在 BC 上 而是 E 点在 BC 上 左图中 根 据风筝模型 S1S2 ba D ECB A ba S2S1 D ECB A 153 204 ABD ACD BES CES 所以 3 4 EBD ECD S S 所以 3 86 4 EBD S 右图中 由于 ABE ACE SBE SCE DBE DCE SBE SCE 根据分比定理 ABEDBE ACEDCE SSBE SSCE 即 ABD ACD SBE SCE 这正是燕尾模型的 最重要结论 故 153 204 BE CE 所以 33 86 44 DBEDCE SS 2 左图即为风筝模型的一般结 论 12 SSa b 右图即为燕尾 模型的一般结论 12 SSa b 右图证明过程 其实正是第 2 问的过程 由于 ABE ACE Sa Sb DBE DCE Sa Sb 根据分比定理 ABEDBE ACEDCE SSa SSb 即 1 2 Sa Sb 练一练 如图 已知三角形 ABD 的面积 是 35 平方厘米 三角形 ACD 的 面积是 25 平方厘米 三角形 BCD 的面积是 24 平方厘米 求 三角形 CDE 的面积是多少 答案 10 平方厘米 分析 根据燕尾模型 357 255 ABD ACD BES CES 根据等高 模型 5 2410 75 CDEBCD EC SS BC 3525 E D CB A 例 2 如图 在三角形 ABC 中 D E F 分别是 BC CA AB 上的点 AD BE CF 相交于一点 O 这 样三角形 ABC 被分成 6 个三角 形 其中 4 个三角形的面积已经 给出 请问三角形 ABC 的面积 是多少 答案 1365 分析 设 AOF Sx COE Sy 由燕尾 O F E DCB A 360 189 140 126 模型 有 140 360 126 189 360 126 189 140 xyABOC yxACBO 燕尾 燕尾 化简得 30023 144049 yx yx 解得 280 270 x y 故总面积为 280360 140 126270 1891365 例 3 如图 在三角形 ABC 中 D E F 分别是 BC CA AB 上的点 AD BE CF 相交于一点 O 1 2AF FB 4 3BD DC 请问 1 你能在图中找到几个 燕 尾 把它们写出来 2 利用燕尾模型求出 CE EA 答案 1 三个燕尾 凹四边形 ABOC ABCO ACBO 2 3 2 分析 1 略 2 如下图 设 1ABO SS 2BCO SS 3ACO SS 根据燕 尾模型 在燕尾 ABCO 中可以知 道 我们要求的 CE EA正是 21 SS 在燕尾 ABOC 中 O F E DCB A 13 4 3SSBD DC 在燕尾 ACBO中 3 2 1 2SSAF FB 故化连比可得 132 4 3 6SSS 故 21 3 2SS 例 4 如图 ABC 中 2CDDB 3CEEA AD 与 BE 相交于点 O 连接 CO 1 在燕尾 ABOC 中 ABOACO SS 2 在燕尾 BCOA 中 BCOBAO SS S3 S2 S1 O F E DCB A 3 结合之前我们学过的等高 模型 设ABO 的面积是 2x 思 考这里为什么不设 x 如果设 x 会对运算带来什么麻烦 请用 含有 x 的式子表示其它 4 个三角 形的面积 4 若36 ABC S 平方厘米 求 这5个部分的面积分别是多少 答案 1 1 2 2 3 1 3 2 BOD Sx 4 COD Sx 3 COE Sx AOE Sx 4 3 AOE S 平方厘米 6 AOB S 平方厘米 6 BOD S 平 O E D CB A 方厘米 12 COD S 平方厘米 9 COE S 平方厘米 分析 1 由燕尾模型 1 2 ABOACO SSBD CD 2 由燕尾模型 3 1 BCOBAO SSCE AE 3 6 BOC Sx 4 COA Sx 再 由等高模型 2 BOD Sx 4 COD Sx 3 COE Sx AOE Sx 4 根据面积可列方程 224336xxxxx 解得 3x 于是可得3 AOE S 平方厘 米 6 AOB S 平方厘米 6 BOD S 平方厘米 12 COD S 平 方厘米 9 COE S 平方厘米 练一练 如图 三角形 ABC 被线段 AD BE 分成了 4 个部分 1 2AE EC 1 2CD DB 已知三角形 AOE 的面积是 1 请 问三角形 ABC 的面积是多少 42 3 2 1 O E D CB A 1 O E DCB A 答案 21 分析 如图 连接 OC 则图中将会出 现燕尾模型 根据等高模型可知三角形 COE 的面积是 2 故三角形 AOC 的的 面积为 3 在燕尾 ABOC 中 2 1 AOB AOC SBD SDC 故三角形 AOB 的面积为3 26 在燕尾 ABCO 12 6 2 1 O E DCB A 中 2 1 BOC AOB SEC SEA 故三角形 BOC 的面积为6 212 故三角 形 ABC 的面积为36 1221 例 5 已知四边形 ABCD CHFG 为正 方形 1 8SS 甲乙 a 与 b 是两 个正方形的边长 求 a b 答案 1 2 分析 观察图形 感觉阴影部分像蝴蝶 乙 甲 O H G FE D C BA 模型 但是细细分析发现用蝴蝶 模型无法继续往下走 注意到题 目条件中给出了两个正方形的 边长 有边长就可以利用比例 再发现在连接辅助线后会出现 燕尾 故本题应当用燕尾模型来 求解 如图 连接 EO AF 根据燕尾 模型 AOEAOF SSa b AOFEOF SSa b 所以 22 AOEEOF SSab 作 OM AE ON EF N M 乙 甲 O H G FE D C BA AEEF 22 OM ONab 33 1 8SSab 甲乙 1 2a b 例 6 如图 三角形 ABC 中 点 E 在 AB 上 点 F 在 AC 上 BF 与 CE 相交于点P 如果四边形AEPF 三角形 BEP 三角形 CFP 的面 积都是 4 则三角形 BPC 的面积 是 P F AEB C 答案 12 分析 如图 连接 AP 则图中将会出 现燕尾模型 本题解决方法不唯 一 但关键都在于证明三角形 APE和三角形APF面积相等 下 面给出的是直接设所求三角形 面积为 x 的方法 设 BPC Sx 根据等高模型 有 44 448 BEC AEC SBExx AES 4 4 x P F AEB C 44 448 CFB AFB SCFxx AFS 从而 有 832 4 44 APEBPE AE SS BExx 同理 832 4 44 APFCPF AF SS CFxx 所以 1 2 2 APEAPFAEPF SSS 即 32 2 4x 解得12x 例 7 如图 三角形 ABC 的面积是 1 BDDEEC CFFGGA 三角形 ABC 被分成 9 部分 请 求出中心四边形 PQNM 的面积 答案 9 70 分析 连接 CP CQ CM CN 根据燕尾模型 1 2 ABPCBP SSAG GC N M Q P G F EDCB A N M Q P G F EDCB A 1 2 ABPACP SSBD CD 设 1 ABP S 份 则 1225 ABC S 份 所以 1 5 ABP S 同理可得 2 7 ABQ S 1 2 ABN S 所以 213 7535 APQ S 同理 2 7 ABM S 所以 1239 273570 PQMN S 四边形 即 所求四边形面积为 9 70 例 8 如图 面积为 1 的三角形 ABC 中 D E F G H I 分别是 AB BC CA 的三等分点 请 求出阴影部分的面积 答案 3 35 分析 图中的六个阴影三角形的形成 方式是轮换对称的 可知这六个 三角形的面积相等 故只需求出 其中一个的面积即可 如下图 单独研究 AF BI CD 所形成的 三角形 XYZ 依据整体减空白的 I H GF E D CB A 思想 只需求出三角形AYC BXC AZB 的面积即可 故连接 AX BY CZ 若设三角形 AYB 的面积为 1 份 考虑 1 2 BF