13章 能量方法.ppt

第十三章能量方法 13 1轴向拉压的应变能 应变能 变形能 弹性体在外力作用下 因变形而储存的能量称为应变能 对于始终处于静力平衡状态的物体 如果物体的变形处于弹性范围内 则原来慢慢施加的外力对变形体所作的外力功几乎全部转化为物体的弹性应变能V 由能量守恒原理 拉力从零缓慢增至F 伸长变形相应为 l 如果拉力继续有一个增量 F 相应变形增量为d l 则外力F因位移做功功dw Fd l 为图中阴影线微面积 依此累加 当拉力到达F1 相应伸长为 l1 时 相应外力功为 13 1轴向拉压的应变能 如果F引起的应力小于材料的比例极限 则即为图中斜直线下三角形面积 由胡克定律 13 1轴向拉压的应变能 定义比能 或应变能密度 v 为单位体积的应变能 即由胡克定律 焦 米3 J m3 13 1轴向拉压的应变能 13 2纯剪切应变能 设单元体左侧面固定右侧面上剪力 由于剪切变形 右侧面向下错动的距离若右侧面切应力增量则位移增量右侧面剪力做功 在应力从零开始逐渐增加的过程中 右侧面剪力总共完成的功应为 可得单位体积内剪切应变能密度为相当于曲线下的面积 在应力小于比例极限情况下 图像为斜直线 因此由剪切胡克定律 可得 13 2纯剪切应变能 13 3扭转应变能 我们在讨论薄壁圆轴时 通过实验得到推导切应力的计算公式式 有图示情况下T Me 积分后可得与拉伸类似 扭转力偶矩做功 则扭转应变能为若扭矩T沿轴线为变量时 13 3扭转应变能 13 4弯曲应变能 对于弹性纯弯曲梁 其两端受弯曲力偶矩Me作用 Me由零开始逐渐增加到最终值 则两端截面的相对转角为 则弯曲力偶矩所做的功为即纯弯曲的应变能 横力弯曲时 梁横截面存在弯矩和剪力 且随截面位置变化 应分别计算其相应的应变能 但对细长梁 剪切应变能与弯曲应变能相比很小 忽略不计 对横力弯曲梁 取微段dx 两截面弯矩分别为M x 和M x dM x dM x 很小 计算应变能时省略不计 则可以看成是纯弯曲 因此 微段应变能 13 4弯曲应变能 微段应变能积分可得全梁的应变能若梁不同段 弯矩不同 应分段积分 再求总和 13 4弯曲应变能 轴向拉压扭转弯曲统一写成其中 F为广义力 为对应广义力的广义位移 更一般地说 广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功 13 4弯曲应变能 例题13 1轴线为半圆形平面曲杆如图 作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面 求P力作用点的垂直位移 解 杆的任一截面mn位置可用圆心角 来表示 曲杆在P力作用下 mn截面上有弯矩与扭矩为 例题 对于截面尺寸远小于半径R的曲杆 常称小曲率曲杆 可按直杆计算其变形能 微段内的变形能是 例题13 1轴线为半圆形平面曲杆如图 作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面 求P力作用点的垂直位移 例题 例题13 1轴线为半圆形平面曲杆如图 作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面 求P力作用点的垂直位移 整个曲杆变形能可在杆上积分 即 若P作用点沿P的方向位移为 A 则P做的功W为 13 5非线性弹性材料的构件应变能 对图 a 的拉杆 F在d 上所作微功为dW Fd F作的总功为 F 曲线与横坐标轴间的面积 由能量守恒得应变能 此为由外力功计算应变能的表达式 类似 可得其余变形下的应变能 13 5非线性弹性材料的构件应变能 例题13 2原为水平位置的杆系如图a所示 试计算在荷载F1作用的应变能 两杆的长度均为l 横截面面积均为A 其材料相同 弹性模量为E 且均为线弹性的 解 设两杆的轴力为FN 则两杆的伸长量均为 两杆伸长后的长度均为 13 5非线性弹性材料的构件应变能 由图a的几何关系可知 13 5非线性弹性材料的构件应变能 代入前一式得 或 几何非线性弹性问题 其F 间的非线性关系曲线为 应变能为 13 5非线性弹性材料的构件应变能 练习 P60题13 3 b 作业 P60题13 4 13 6应变能的普遍表达式 广义力F1 F2 Fn作用于物体 且设按同一比例系数 从零增长到终值 相应地物体产生变形 广义位移 1 2 n 对于线性弹性材料 则变形也将按相同比例 增加 如果外力在某一中间值 F1 F2 Fn时 外力有一增量d 此时外力将在位移增量上做功为 积分上式 可得物体的变形能为表示 线弹性体的应变能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和 该结论称为克拉贝依隆原理 13 6应变能的普遍表达式 13 7互等定律 对于线弹性体 第一组力在第二组力引起的位移上所做的功 等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功 这就是功互等定理 位移互等定律若第一组力只有F1 第二组力只有F2 则第一组力在第二组力引起的位移 1 上所做的功 等于第二组力在第一组力引起的位移 2 上所作的功 则 F1 1 F2 2 若F1 F2 则 1 2 此式即为位移互等定理 13 7互等定律 13 7互等定律 例题13 3装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图所示 试用互等定理求解 解 解除支座B 建立相当系统 则梁上作用有P和RB两个集中力 看成第一组力 在梁右端施加一单位力X 1 可看成第二组力 在力X 1作用下 可求出P和RB作用点的位移 分别为 13 7互等定律 则 第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为 由于右端B点是铰支座 在力X作用点方向上位移为0 因此第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于0 由功的互等定理 13 7互等定律 13 8卡氏定律 卡氏第一定理 设图中材料为非线性弹性 由于应变能只与最后荷载有关 而与加载顺序无关 不妨按比例方式加载 从而有 假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i 则应变能的变化为 因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量 而与其余各荷载相应的位移保持不变 因此 对于位移的微小增量d i 仅Fi作了外力功 外力功的变化为 注意到上式与下式在数值上相等 从而有 卡氏第一定理 13 8卡氏定律 注意 卡氏第一定理既适合于线弹性体 也适合于非线性弹性体 式中Fi及 i分别为广义力 广义位移 必须将V 写成给定位移的函数 才可求其变化率 13 8卡氏定律 卡氏第二定律弹性结构 在外力F1 F2 Fn作用下 其相应的位移为 1 2 n 结构的应变能是F1 F2 Fn的函数 即 设诸力中只有Fi有一个增量 Fi 其余不变 则相应产生位移增量 此时功的增量 亦即应变能增量为 略去高阶小量 13 8卡氏定律 原作用力F1 F2 Fi 作为第一组力 把 Fi看作第二组力 则由功互等定理 得 所以有或若 Fi趋近于零 则 这就是卡氏第二定理表达式 即 线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆件或杆系上的某一载荷的变化率等于该载荷相应的位移 13 8卡氏定律 对于横力弯曲 应变能用卡氏定理 有先求导再积分得对横截面高度远小于轴线半径的平面曲杆 受弯时也可用上式计算 13 8卡氏定律 对桁架 每根杆均受拉或受压 若共有n根杆件 则桁架整体应变能为 用卡氏定律得 13 8卡氏定律 例题13 4如图 外伸梁抗弯刚度EI 试求外伸端C的挠度 C和左端截面的转角 A 解 外伸端C作用有集中力P 截面A作用有集中力偶矩m 根据卡氏第二定理有 13 8卡氏定律 弯矩应分段表达 AB段 例题13 4如图 外伸梁抗弯刚度EI 试求外伸端C的挠度 C和左端截面的转角 A BC段 13 8卡氏定律 则 13 8卡氏定律 用卡氏定理求结构某处的位移时 该处需要有与所求位移相应的载荷 如果计算某处位移 而该处没有与此位移相应的载荷 该如何计算 可采用附加力法 13 8卡氏定律 例题13 5线弹性材料悬臂梁 自由端A作用有集中力 若P l EI已知 试求 1 加力点A的位移 2 非加力点B的位移 解 1 求加力点A的位移 用卡氏第二定理 13 8卡氏定律 2 求非加力点B的位移时 可在B点附加力 仍用卡氏定律 有附加力后弯矩为 例题13 5线弹性材料悬臂梁 自由端A作用有集中力 若P l EI已知 试求 1 加力点A的位移 2 非加力点B的位移 AB段 BC段 13 8卡氏定律 例题13 5线弹性材料悬臂梁 自由端A作用有集中力 若P l EI已知 试求 1 加力点A的位移 2 非加力点B的位移 13 8卡氏定律 因为实际上B处并无力作用 故应令上式中的 0才是实际情况下B处位移 故 例题13 5线弹性材料悬臂梁 自由端A作用有集中力 若P l EI已知 试求 1 加力点A的位移 2 非加力点B的位移 13 8卡氏定律 13 9虚功原理 基本概念虚位移 指的是弹性体 或结构系 的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移 所谓虚位移的 虚 字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关 而可能由于其它原因 如温度变化 或其它外力系 或是其它干扰 造成的满足位移约束 连续条件的几何可能位移 对于虚位移要求是微小位移 即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小 亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变 真实力在虚位移上做的功称为虚功 虚功原理又称虚位移原理 如果给在载荷系作用下处于平衡的可变形结构以微小虚位移 则外力系在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上所做的虚功 即 13 9虚功原理 梁受外力P1 P2 Pn及分布载荷q x 作用而处于平衡 在给此梁任一虚位移时 所有载荷作用点均有沿其作用方向的虚位移 于是外力在相应虚位移上的总虚功为 另一方面 可以计算出梁内力对于虚位移所做的虚功 从梁中取出任一微段dx来研究 微段左 右截面上内力有 剪力Q Q dQ 弯矩M M dM 轴力N N dN 扭矩T T dT 对微段 这些力可看作是外力 13 9虚功原理 微段的虚位移可分为 刚体虚位移和变形虚位移 在载荷作用下梁所有微段都会发生变形 所研究微段因其余各微段变形而发生虚位移 就是此微段的刚体虚位移 而由于该微段本身变形所引起的虚位移称为变形虚位移 由于微段处于平衡状态 由质点系虚位移原理知 所有外力对于该微段的刚体虚位移所做的总虚功必等于零 13 9虚功原理 该微段的变形虚位移如图所示 此时轴力 弯矩 剪力 扭矩在变形虚位移上所做的虚功为 略去高阶小量 根据能量守恒 这两个总虚功相等 有 说明 在导出虚功原理时 并没有涉及应力 应变关系 因此与材料性质无关 故这一原理可用于线性弹性材料 也可用于非线性应力 应变关系的材料 13 9虚功原理 13 10单位载荷法莫尔积分 单位载荷法 用于求结构上某一点某方向上位移的方法 如要求图示刚架A点a a方向的位移 可将该系统 图a 真实位移作为虚位移 而将单位力 广义力 作用于同一结构上A点a a方向的结构作为一个平衡力系 图b 则应用虚功原理有 13 10单位载荷法莫尔积分 对于拉压杆件 若杆的内力 常数 则上式改为 对于有n根杆组成的桁架 则有 对于杆以弯曲为主 可忽略轴力与剪力的影响 有 13 10单位载荷法莫尔积分 仿照上述推导 如要求受扭杆某一截面的扭转角 则以单位扭转力偶x作用于该截面 并引起扭矩 以原结构引起微段两端截面相对扭转角为虚位移 则 以上情况如求出的 为正 则表示原结构位移与所加单位力方向一致 13 10单位载荷法莫尔积分 若结构材料是线弹性的 则有 这些式子统称为莫尔定理 式中积分