拉普拉斯表变换在求解微分方程中的应用.doc

目 录 引言 1 1 拉普拉斯变换以及性质 1 1 1 拉普拉斯变换的定义 1 1 2 拉普拉斯变换的性质 2 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 2 3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用 3 3 1 初值问题与边值问题 3 3 2 常系数与变系数微分方程 4 3 3 含函数的微分方程 4 3 4 常微分方程组 5 3 5 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 6 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 8 4 1 齐次与非齐次偏微分方程 8 4 2 有界问题与无界问题 9 4 3 多维偏微分方程的求解 11 结束语 13 参考文献 13 英文摘要 14 致谢 14 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 1 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系 0801 班 学 生 岳艳林 指导老师 韩新华 摘摘 要 要 拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用 本文以讨论拉普拉斯变 换在求解微分方程中的应用为目的 首先 介绍拉普拉斯变换的定义及性质 其次 给出 拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 随后 举例拉普拉斯变换在求解微分方程与典型 偏微分方程中的应用 最后 总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性 关键词 关键词 线性微分方程 特解 偏微分方程 多维拉普拉斯变换 引言引言 拉普拉斯变换在许多科学技术和工程领域有着广泛的应用 特别是在力学 系统 电学系统 自动控制系统 可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中 都起着非常重要的作用 人们在研究这些系统时 往往是从实际问题出发 将 研究的对象归结为一个数学模型 在许多场合下 这个数学模型是线性的 换 句话说 它可以用线性的微分方程 微分积分方程乃至于偏微分方程等来描述 用拉普拉斯变换法去分析和求解这类线性方程是十分有效的 甚至是不可缺少 的 1 拉普拉斯变换以及性质拉普拉斯变换以及性质 1 1 拉普拉斯变换的定义 设函数当时有定义 而且积分 f t0t 0 是复参量sdtetf st 在 的某一区域内收敛 则此积分所确定的函数可写为s dtetfsF st 0 我们称此式为函数的 Laplace 变换式 若是的 Laplace 变换 f t F s f t 则称为的 Laplace 逆变换 f t F s 拉普拉斯变换是存在一定条件的 Laplace 变换存在定理如下 若函数满足下列条件 f t 1 在的任一有限区间上分段连续 0t 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 2 2 当时 的增长速度不超过某一指数函数 亦即存在常数t f t 及 使得 成立 0M 0c ct f tMe 0t 则的 Laplace 变换 f t dtetfsF st 0 在半平面上一定存在 右端的积分在上绝对收敛且一致Re sc 1 Re scc 收敛 并且在的半平面内 为解析函数 1 cs Re F s 1 2 拉普拉斯变换的性质 1 2 1 线性性质 若 是常数 则 11 L f tF s 22 L f tF s 1212 Lf tf tF sF s 2 微分性质 若 则 L f tF s 12 2 1 0 0 0 0 nnnnnn L fts F ssfsfsff 3 积分性质 若 则 L f tF s 0 1 t Lf t dtL F s s 4 位移性质 若 则 L f tF s Re at L e f tF sasac 5 延迟性质 若 且时 则 L f tF s 0t 0f t 对于任一非负实数 s L f teF s 6 相似性性质 若 则 L f tF s 1 s L f atF aa 7 卷积性质 若 则 11 L f tF s 22 L f tF s 11212 L f tf tF s F s 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 像其他方法求解微分方程一样 应用拉普拉斯变换求解微分方程也有规范 的步骤 其一般步骤如下 1 对线性微分方程中每一项取拉普拉斯变换 使微分方程变为象函数的 代数方程 2 解象函数的代数方程 得到有关变量的拉普拉斯变换表达式 即象函 数 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 3 3 对象函数取拉普拉斯逆变换 得到微分方程的解 流程图如下 3 象函数的代数方程 象函数原函数 微分方程 解代数方程 取拉普拉斯变换 取拉普拉斯逆变换 图 2 1 拉普拉斯变换求解微分方程的流程图 3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用 对于线性微分方程 无论是初值问题还是边值问题 无论是常系数微分方 程还是变系数微分方程以及含有函数的微分方程和微分方程组 应用拉普拉 斯变换求解比起其他解法具有不可替代的优越性 3 1 初值问题与边值问题 例 求解初值问题 43 t yyye 0 0 1y y 解 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 Y sL y t 2 1 0 0 4 0 3 1 s Y ssyysY syY s s 结合初始条件 得出象函数 整理展开成部分分式 有 2 22 66711131 1 3 412 1 43 ss Y s sssss 对方程两边同时求反演 整理可得方程的解为 133 7131 72 3 4244 ttttt y tLY seteet ee 例 求解边值问题 0yy 0 0y 2 1y 解 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 Y sL y t 2 0 0 0s Y ssyyY s 代入初始条件 得 2 0 111 0 1211 y Y sy sss 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 4 求反演 得 1 1 0 0 sinh 2 tt y tLY syeeyt 将条件代入上式可得1 2 y 1 0 sinh2 y 所以 方程的解为 sinh sinh2 t y t 3 2 常系数与变系数微分方程 例 求解常系数微分方程 20yyy 0 0y 1 2y 解 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 Y sL y t 2 0 0 2 0 0s Y ssyysY syY s 结合初始条件 得出象函数 22 0 0 21 1 yy Y s sss 对方程两边同时求反演 1 0 t y tLY syte 将条件代入上式 可得2 1 y 2 0 y e 所以 方程的解为 11 2 2 tt y tLY stete e 例 求解变系数微分方程 20tyyty 0 1y 00 0 ycc 为常数 解 设 对方程两边同时取拉普拉斯变换 Y sL y t 2 0L tyL yL ty 2 2 0 2 0 0 dd sY ssY sysY syY s dsds 结合初始条件整理 并且两边积分可得 arctanY ssc 利用 可得0 lim sY s 2 c 所以 s ssY 1 arctanarctan 2 对方程两边同时求反演 可得方程的解为 1 1 siny tLY st t 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 5 3 3 含函数的微分方程 例 质量为的物体挂在弹簧系数为的弹簧一端 当物体在时在方向mk0t x 受到冲击力 其中为常数 若物体自静止平衡位置处开始 f tAt A0 x 运动 求该物体的运动规律 1 x t 解 根据牛顿定律 有 mxf tkx 其中由胡克定律所得 是使物体回到平衡位置的弹簧的恢复力 所以 kx 物体运动的微分方程为 且 这是二阶常系 0 mxkxf t t 0 0 0 x x 数非齐次微分方程 对方程两边取拉普拉斯变换 设 并考虑到 L x tX s 初始条件 则得 2 ms X skX sA 如果记 有 2 0 k m 22 0 1 A X s m s 对方程两边同时取反演 从而方程的解为 0 0 sin A x tt m 可见 在冲击力作用下 运动为一正弦振动 振幅是 角频率是 0 A m 0 称为该系统的自然频率 或称固有频率 0 3 4 常微分方程组 例 求解三维常微分方程组 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zyxzy zzyx zyyx zyxx 解 设 对方程组的三个方程两 X sL x t Y sL y t Z sL z t 边分别取拉普拉斯变换并结合初始条件 有 2 2 2 1 0 1 0 1 0 sX sY sZ s X ssY sZ s X sY ssZ s 解该方程组 得 13 1 23 1 2 1 13 1 23 2 2 1 2222 2222 3 s s s s ss s sZsY s s s s ss s sX 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 6 取其逆变换 可得原方程组的解 cos 3 1 2cosh 3 1 cos 3 1 2cosh 3 2 tttzty tttx 3 5 求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 非齐次微分方程求特解的方法通常有比较系数法 常数变易法 算子法等 用拉普拉斯变换法求解微分方程的特解也比较方便 形如的二阶常系数非齐次线性微分方程 其中主要 yaybyf x f x 有三种形式 4 x f xe 2 12 xn n f xep xp xp xp xp x 其中 sin cosf xxf xx 利用拉普拉斯变换求三种形式下的特解方法举例 f x 设 令初始条件为零 对方程两边同时取拉 Y sL y t F sL f x 普拉斯变换 得到 2 F s Y s sasb 例 1 求微分方程的特解 2x yye 解 设 初始条件为零 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 Y sL y t 2 1 2 1 Y s ss 令 则该齐次微分方程特解的形式与变换项有关 2 2 1 AB Y s ss 2 A s 对应的齐次微分方程的通解由决定 此时该项分母中不含有特解因子 2 1 B s 2s 特解只取决于 5 于是 2 A s 2 2 11 2 15 s AsYx s 相应的拉普拉斯变换特解为 111 2 55 2 Ys ss 对方程两边同时求反演 整理可得原微分方程的特解为 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 7 112 11 5 2 5 x yxLYsLe s 例 2 求微分方程的特解 2 56 x yyyxe 解 设 设初始条件为零 对方程两边同时取拉普拉斯变换 有 Y sL y t 22 1 2 56 Y s sss 令 则 22 2 56 AB Y s sss 2 2 AY ss 442 2 65 1 ss ss 44 2 1 2 1 ss ss s 2 1 s s 则相应的拉普拉斯变换特解为 2223 1111 2 2 2 2 2 As Ys sssss 对方程两边同时求反演 整理可得原微分方程的特解为 2 1 1 2 1 2 1 2 32 11 xxe ss LsYLxy x 例 3 求微分方程的特解 45sin2yyyx 解 设 设初始条件为零 方程两边同时取拉普拉斯变换 有 Y sL y t 4 54 2 22 sss sY 令 则 22 445 AB Y s sss 2 4 AYs s 42 2 54 2 s ss 4 2 14 14 14 2 s ss s 65 14 2 s 相应的拉普拉斯变换特解为 2222 2 41 12 8 465 4 6544 Ass Ys ssss 对方程两边同时求反演 整理可得原微分方程的特解为 2sin2cos8 65 1 4 2 4 1 8 22 11 xx ss LsYLxy 从以上的例题可以看出 用拉普拉斯变换求解微分方程 微分方程组以及 二阶常系数非齐次方程的特解时具有以下特点 1 用拉普拉斯变换方法求解微分方程 由于同时考虑初始条件 求出的 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 8 结果便是需要的特解 而微分方程的一般解法中 先求通解 再考虑初始条件 确定任意常数 从而求出特解的过程比较复杂 2 零初始条件 零边界条件使得拉普拉斯变换方法求解微分方程更加简 单 而在微分方程的一般解法中 不会因此而有任何简化 3 对于一个非齐次的线性微分方程来说 当非齐次项是函数时 用拉 普拉斯变换求解没有任何困难 而用微分方程的一般解法就会困难很多 4 用拉普拉斯变换方法求解微分方程组 不仅比微分方程组的一般解法 要简便得多 而且可以在不知道其余未知函数的情况下单独求出某一个未知函 数 但在微分方程的一般解法中通常是不可能的 5 用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程的特解非常有效 且有助于问 题的简化 而高等数学中先由自由项的形式设出特解的相应形式 再回到原方 程的左边用待定系数法的方法求解 求法较繁 6 拉普拉斯变换对象函数要求比傅里叶变换弱 其使用面更宽 但拉普 拉斯变换像其他变换一样都有其局限性 只有满足其存在定理时才可以使用拉 普拉斯变换 6 而在微分方程的一般解法中 并没有任何限制 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 一些偏微分方程来自物理问题 又称为数学物理方程 求解数学物理方程 定解问题的方法有分离变量法 行波法 格林函数法 积分变换法等 拉普拉 斯变换法是积分变换法的一种 其适用范围更广 用之求解的定解问题可以是 有界的也可以是无界的 方程和边界条件可以是齐次的也可以是非齐次的 当 然 它一般适用于波动方程和输运方程 因为稳定方程不含有时间变量 4 1 齐次与非齐次偏微分方程 例 求解齐次偏微分方程 0 0 0 lim 0 0 0 00 2 2 2 2 2 tx txutu t u u x u a t u x x tt 解 对该定解问题关于 取拉普拉斯变换 这样 原定解问题转化为含参数 的ts 二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 9 22 22 0 0 lim 0 x ds U x sU x s dxa UssU x s 解此微分方程 可得其通解为 其中 为常数 12 ss xx aa U x sc ec e 1 c 2 c 将边界条件 代入上式 可得 0 0 L utUss lim 0 x U x s 1 cs 2 0c 所以 s x a U x ss e 方程两边取反演 从而原定解问题的解为 11 a x tesLsxULtxu x a s 例 求解非齐次偏微分方程 0 0 0 0 0 0 00 2 2 2 2 2 txg u t u u g x u a t u x tt 为常数 解 对该问题关于 取拉普拉斯变换 这样 原定解问题转化为含参数 的二阶ts 常系数线性非齐次微分方程的边值问题 0 lim 0 11 0 2 2 22 2 UU s g a Us adx Ud s x 解此微分方程 可得其通解为 其中 为常数 12 3 ss xx aa g U x sc ec e s 1 c 2 c 将边界条件 代入上式 可得 0 0 x U lim0 s U 12 3 0 g cc s 所以 333 1 sx xs aa ggg U x see sss 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 10 方程两边取反演 从而原定解问题的解为 221 22 a x t g t g sxULtxu 4 2 有界问题与无界问题 例 求解有界偏微分方程 0 0 0 0 0 00 0 2 2 2 2 2 tlx t u u tuu x u a t u tt lxx 解 对该定解问题关于 取拉普拉斯变换 这样 原定解问题转化为含参数 的ts 二阶常系数线性齐次微分方程的边值问题 0 0 0 2 2 2 2 sUU U a s dx Ud lx x 解此微分方程 可得其通解为 其中 是常数 12 ss xx aa U x sc ec e 1 c 2 c 将边界条件 代入上式 可得 0 0 x U sU lx 12 ss ll aa s cc ee 从而 3 3 44 11 ssss l xl xl xl a aaaa ll ss aa eeee U x ss ee 方程两边取反演 从而原定解问题的解为 1 sxULtxu a xl tu a xl t a xl tu a xl t 3 3 3 3 a xl tu a xl t a xl tu a xl t 例 求解无界偏微分方程 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 11 0 0 0 00 2 2 2 为常数uh u uu hu x u a t u t x 解 对该问题关于 取拉普拉斯变换 这样 原定界问题转化为含参数 的二阶ts 常系数线性齐次微分方程的边值问题 0lim 0 0 0 22 2 为自然定解条件 U s u U U a hs dx Ud x x 解此微分方程可得通解为 其中 为常数 12 s hs h xx aa U x sc ec e 1 c 2 c 将边界条件 代入上式 可得 s u U x 0 0 0lim U x 1 0c 0 2 u c s 从而 0 s h x a u U x se s 方程两边取反演 从而原定解问题的解为 2 2 22 0 4 2 2 hx a x a t u u x ted 4 3 多维偏微分方程的求解 利用多维拉普拉斯变换可以求解多维偏微分方程 多维拉普拉斯变换是一 维拉普拉斯变换的拓展 多维拉普拉斯变换的定义为 7 设元函数在上有定义 且积分n 21n tttf 0 0 0 21 n ttt n tststs n dtdtdtetttf nn 21 21 000 2211 1 在的某一区域内收敛 是维复数域 则此积分 n C n n Csnss 21 n Cn 的维拉普拉斯变换 记为 21n tttf n 2121 fLtttfLsssF nn nn dtdtdttttf 2121 00 称为的维拉普拉斯逆变换 21n tttf 21n sssF n 多维拉普拉斯变换的性质及解题步骤跟一维情况相类似 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 12 例 求解三维偏微分方程 0 0 0 0 605040 302010 2 2 2 2 2 2 zyx yxf z u zxf y u zyf x u yxfuzxfuzyfu z u y u x u u zyx zyx 解 记 123 U s s sL u x y z 1231 F s sL f y z 2132 F s sL fx z 3123 F s sL fx y 4234 F s sL fy z 5135 F s sL fx z 6126 F s sL fx y 利用微分性质和边界条件在方程两边取三维拉普拉斯变换可得 222 111422253336 0s Us FFs Us FFs Us FF 解得 123112233456 222 123 1 U s s ss Fs Fs FFFF sss 取三维拉普拉斯逆变换便得所求边值问题的解为 1 112233456 222 123 1 uu x y zLs Fs Fs FFFF sss 特别地 若取 22 1 22f y zyz 2 2 2fx zxz 2 3 2fx yxy 则 4 1fy z 56 0fx zfx y 3 323 3 2 321 44 ssss ssF 213 23 131 3 14 F s s s ss s 312 23 121 2 14 F s s s ss s 423 23 1 F ss s s 513612 0F s sF s s 所以 123 222 12 31 231 2 3 141 U s s s s s ss s ss s s 故 122 123 22uu x y zL U s s sxyz 用拉普拉斯变换求解由偏微分方程构成的定解问题 对区域有界与否 对 方程和边界条件齐次与否并无特殊的要求 8 能用这种变换法求解的问题是相 当广泛的 用拉普拉斯变换求解定解问题有一定的优势 也有一定的局限性 1 用拉普拉斯变换求解偏微分方程 可以使解个自变量偏微分方程的n 问题 转化为解个自变量的微分方程的问题 9 逐次使用拉普拉斯变换 1n 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 13 自变量会逐个减少 有时还可将解个自变量偏微分方程的问题最终转化为解n 一个常微分方程的问题 比偏微分方程的一般解法更为简单 直接 2 用拉普拉斯变换求解偏分方程 如果对微分方程的某一自变量取拉氏 变换必须在定解条件中给出该自变量为零的未知函数值以及直到低于方程阶数 的各阶导数值 否则变换后的象函数的方程是不确定的 3 用拉普拉斯变换求解偏微分方程 对于无界空间和半无界空间的定解 问题求得的解是积分形式 因此便于理论上分析研究 10 但在求反演的过程中 往往会在计算上遇到较大的困难 对于有界空间的定解问题用拉氏变换法求解 显得繁杂 而用分离变数法会特别简单 4 对于一些用现有方法难于求解的多维偏微分方程 用多维拉普拉斯变 换均能简便地求解 多维拉普拉斯变换比一维拉普拉斯变换具有更大的广泛性 和优越性 结束语 拉普拉斯变换是用来求解线性微分方程和偏微分方程的一种非常适用的方 法 求解微分方程的步骤比较明确 规律性比较强 思路清晰且容易掌握 灵 活使用拉普拉斯变换 可以巧妙地推出一些复杂问题的答案 参考文献 1 张元林 工程数学积分变换 第四版 M 北京 高等教育出版社 2003 68 138 2 梁昆淼 数学物理方法 第三版 M 北京 高等教育出版社 1998 120 121 3 全生寅 论解 N 阶常微分方程的 Laplace 变换法 J 青海大学学报 2000 18 5 61 62 4 李曼生 陈莉 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 J 广西右江民族师专学报 2006 19 3 5 8 5 张刁民 拉普拉斯变换求二阶常系数非齐次微分方程的特解 J 河南教育学院学报 2005 14 1 27 28 6 胡嗣柱 倪光炯 数学物理方法 第二版 M 北京 高等教育出版社 2002 237 7 范洪福 多维 Laplace 变换及其应用 J 华东工业大学学报 1995 17 3 86 94 8 姜立新 Laplace 变换的应用研究 J 枣庄学院学报 2010 27 2 37 40 9 谢小良 基于 Laplace 变换下微分方程的解法及应用 J 湖南城市学院学报 自然科学版 2003 24 3 85 86 忻州师范学院物理系本科毕业论文 设计 14 10 郭本宏 数学物理方法 M 山西高校联合出版社 1994 721 733 Application of Laplace Transform to Solve Diffe