2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷解析版.doc

2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1（4分）设集合A=x|x2|1，xR，集合B=Z，则AB=2（4分）函数y=sin（x）（0）的最小正周期是，则=3（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为4（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=5（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种7若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270的扇形，则这个圆锥的体积为cm38若数列an的所有项都是正数，且+=n2+3n（nN*），则（）=9如图，在ABC中，B=45，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为10有以下命题：若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为0；若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；若函数f（x）存在反函数f1（x），且f1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）11设向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中O为坐标原点，a0，b0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为12如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13“x2”是“x24”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件14若无穷等差数列an的首项a10，公差d0，an的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是（）ASn单调递增BSn单调递减CSn有最小值DSn有最大值15给出下列命题：（1）存在实数使（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴（3）y=cos（cosx）（xR）的值域是cos1，1（4）若，都是第一象限角，且，则tantan其中正确命题的题号为（）A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（1）（4）16如果对一切实数x、y，不等式cos2xasinx恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，B3，+）C2，2D3，3三、解答题（共5小题，满分76分）17（14分）如图，已知AB平面BCD，BCCD，AD与平面BCD所成的角为30，且AB=BC=2；（1）求三棱锥ABCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18（14分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2（I）求角A的大小；（II） 若a=，b+c=3，求b和c的值19（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=；（2）设点P的横坐标为t，用t表示M、N两点坐标；将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值20（16分）已知函数f（x）=9x2a3x+3：（1）若a=1，x0，1时，求f（x）的值域；（2）当x1，1时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：nm3；当h（a）的定义域为m，n时，其值域为m2，n2，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由21（18分）已知无穷数列an的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+11，其中a1，常数rN；（1）求证：an+2an是一个定值；（2）若数列an是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意nN*，都有an+T=an成立，则称an为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列an是各项均为有理数的等差数列，cn=23n1（nN*），问：数列cn中的所有项是否都是数列an中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1设集合A=x|x2|1，xR，集合B=Z，则AB=2【考点】交集及其运算【分析】利用交集定义求解【解答】解：|x2|1，即1x21，解得1x3，即A=（1，3），集合B=Z，则AB=2，故答案为：2【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用2函数y=sin（x）（0）的最小正周期是，则=2【考点】正弦函数的图象【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值【解答】解：y=sin（x）（0），T=，=2故答案是：2【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题3设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出【解答】解：复数=对应的点到原点的距离=故答案为：【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3【考点】反函数【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），4=log2（1+1）+a4=1+a，a=3故答案为：3【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题5已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6【考点】二项式系数的性质【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n属于基础题6甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】间接法：先求所有两人各选修2门的种数，再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案【解答】解：根据题意，采用间接法：由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有1001030=60种故答案为60【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题7若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270的扇形，则这个圆锥的体积为cm3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2r=2，解得r=故圆锥的高h=，圆锥的体积V=r2h=cm3故答案为：【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解8若数列an的所有项都是正数，且+=n2+3n（nN*），则（）=2【考点】数列的求和；极限及其运算【分析】利用数列递推关系可得an，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出【解答】解： +=n2+3n（nN*），n=1时， =4，解得a1=16n2时，且+=（n1）2+3（n1），可得： =2n+2，an=4（n+1）2=4（n+1）（）=2故答案为：2【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9如图，在ABC中，B=45，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为【考点】余弦定理【分析】先根据余弦定理求出ADC的值，即可得到ADB的值，最后根据正弦定理可得答案【解答】解：在ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cosADC=，ADC=120，ADB=60在ABD中，AD=5，B=45，ADB=60，由正弦定理得，AB=故答案为：【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理属基础题10有以下命题：若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为0；若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；若函数f（x）存在反函数f1（x），且f1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0利用偶函数的定义和性质判断利用单调函数的定义进行判断利用反函数的性质进行判断【解答】解：若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是0，所以正确若函数为偶函数，则f（x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以正确因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以错误原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=与其反函数y=x21（x0）的交点坐标有（1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以错误故答案为：【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强11设向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中O为坐标原点，a0，b0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8【考点】基本不等式【分析】A、B、C三点共线，则=，化简可得2a+b=1根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中O为坐标原点，a0，b0，=（a1，1），=（b1，2），A、B、C三点共线，=，解得2a+b=1，+=（+）（2a+b）=2+2+4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题12如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径【解答】解：将正三棱柱ABCA1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值由已知求得矩形的长等于62=12，宽等于5，由勾股定理d=13故答案为：13【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13“x2”是“x24”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先求出x24的充要条件，结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由x24，解得：2x2，故x2是x24的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题14若无穷等差数列an的首项a10，公差d0，an的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是（）ASn单调递增BSn单调递减CSn有最小值DSn有最大值【考点】等差数列的前n项和【分析】Sn=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论【解答】解：Sn=na1+d=n2+n，0，Sn有最小值故选：C【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15给出下列命题：（1）存在实数使（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴（3）y=cos（cosx）（xR）的值域是cos1，1（4）若，都是第一象限角，且，则tantan其中正确命题的题号为（）A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（xR）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令，都是第一象限角，且，可判断（4）【解答】解：（1），（1）错误；（2）y=sinx图象的对称轴方程为，k=1，（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为ymax=cos0=1，ymin=cos（cos1），其值域是cos1，1，（3）正确；（4）不妨令，满足，都是第一象限角，且，但tantan，（4）错误；故选B【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题16如果对一切实数x、y，不等式cos2xasinx恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，B3，+）C2，2D3，3【考点】函数恒成立问题【分析】将不等式cos2xasinx恒成立转化为+asinx+1sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinxsin2x2恒成立通过对sinx0、sinx0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案【解答】解：实数x、y，不等式cos2xasinx恒成立+asinx+1sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1sin2xf（y）min，当y0时，f（y）=+2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y0时，f（y）=+2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）max=3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3所以，asinx+1sin2x3，即asinxsin2x2恒成立若sinx0，asinx+恒成立，令sinx=t，则0t1，再令g（t）=t+（0t1），则ag（t）min由于g（t）=10，所以，g（t）=t+在区间（0，1上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a3；若sinx0，则asinx+恒成立，同理可得a3；若sinx=0，02恒成立，故aR；综合，3a3故选：D【点评】本题考查恒成立问题，将不等式cos2xasinx恒成立转化为+asinx+1sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f（y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题三、解答题（共5小题，满分76分）17（14分）（2017上海一模）如图，已知AB平面BCD，BCCD，AD与平面BCD所成的角为30，且AB=BC=2；（1）求三棱锥ABCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）由AB平面BCD，得CD平面ABC，由此能求出三棱锥ABCD的体积（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小【解答】解：（1）如图，因为AB平面BCD，所以ABCD，又BCCD，所以CD平面ABC，因为AB平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30，故ADB=30，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，BD=2，CD=2，则VABCD=（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，2，2），=（），设异面直线AD与CM所成角为，则cos=arccos异面直线AD与CM所成角的大小为arccos【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题18（14分）（2017上海一模）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2（I）求角A的大小；（II） 若a=，b+c=3，求b和c的值【考点】余弦定理；解三角形【分析】（I）在ABC中有B+C=A，由条件可得：41cos（B+C）4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值【解答】解：（I）在ABC中有B+C=A，由条件可得：41cos（B+C）4cos2A+2=7，（1分） 又cos（B+C）=cosA，4cos2A4cosA+1=0 （4分）解得，（6分）（II）由（8分）又 （10分）由（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题19（14分）（2017上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=；（2）设点P的横坐标为t，用t表示M、N两点坐标；将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得=0即可证明b=；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，y=2x2；由，消去y得2x2kxb=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得=（k）242b=0，解得b=；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx过点P，kt=2t2，解得k=4t；y=4tx2t2令y=0，解得x=，M（，0）；令y=2，解得x=+，N（+，2）；将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=222+（+）=4（t+）；由t+2=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S42；即S的最大值是4【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目20（16分）（2017上海一模）已知函数f（x）=9x2a3x+3：（1）若a=1，x0，1时，求f（x）的值域；（2）当x1，1时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：nm3；当h（a）的定义域为m，n时，其值域为m2，n2，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域【分析】（1）设t=3x，则（t）=t22at+3=（ta）2+3a2，（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a时，当a3时，当a3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论【解答】解：（1）函数f（x）=9x2a3x+3，设t=3x，t1，3，则（t）=t22at+3=（ta）2+3a2，对称轴为t=a当a=1时，（t）=（t1）2+2在1，3递增，（t）（1），（3），函数f（x）的值域是：2，6；（）函数（t）的对称轴为t=a，当x1，1时，t，3，当a时，ymin=h（a）=（）=；当a3时，ymin=h（a）=（a）=3a2；当a3时，ymin=h（a）=（3）=126a故h（a）=；（）假设满足题意的m，n存在，nm3，h（a）=126a，函数h（a）在（3，+）上是减函数又h（a）的定义域为m，n，值域为m2，n2，则，两式相减得6（nm）=（nm）（m+n），又nm3，mn0，m+n=6，与nm3矛盾满足题意的m，n不存在