T-模与分解定理.ppt

第三章T 模与分解定理 一 T 模 三角模 的概念 前面介绍了模糊集定义的各种拓广形式 本节是对模糊集运算进行拓广 就是将模糊集的并 交运算拓广到一般的t 模 s 模 1 从西瓜问题谈起考虑一堆西瓜 定义西瓜为 里红且外绿 的水果 这里 红 与 绿 是模糊概念 从而这里的 西瓜 也是一个模糊概念 假设某水果里红的程度是0 5 外绿的程度是0 8 它隶属于西瓜的程度如何 如果使用前述模糊集的交运算定义 则这个水果属于 西瓜 的程度0 5 0 8 0 5 然而 就直观的感觉而言 里红和外绿对于成为一个西瓜来说应该是互相加强的 证据单元 因此这个水果隶属于 西瓜 的程度大于0 5才合理 观点 当取两个模糊集的交集时 可能希望较大的模糊集对结果产生影响 但如果模糊交集选用min 则可能较大的模糊集无法产生影响 因为客观世界现象错综复杂 与 算子的选取也应具体问题具体分析 所举西瓜 证据强度 的例子说明min算子用此例不合适 但不能说采用别的算子就一定不合适 目前 与 算子除采用min外 还可以用有界积 乘积等算子 min算子作为 与 算子可用于许多论域 但不是所有论域 其它的 与 算子在一定条件下适用于一定的实际问题 数学的高度抽象性和客观世界的复杂多样性从来就是相辅相成的 T 模 triangularnorm 又称为三角模或T 范数 首先出现在K Menger于1942年发表的论文 Statisticalmetrics 统计度量 中 在这里 T 模是作为经典度量空间中三角不等式的自然推广而提出的 60年代 B Schweizer和A Sklar重新严格定义了T 模 即现在通用的定义 和统计度量空间 现称为概率度量空间 从而导致了这个领域的飞速发展 由于T 模较好地反映了 逻辑与 的性质 因此T 模作为一般的 模糊与 算子一致受到模糊逻辑学界的青睐 事实上 除了概率度量空间和模糊逻辑外 T 模还应用于决策支持 函数方程 测度理论 博弈理论等许多领域 2 T 模的定义定义T 模是单位区间 0 1 上的二元运算T 它满足交换律 结合律 单调性且带有单位元1 即T 0 1 0 1 0 1 满足以下条件 x y z 0 1 有 1 T x y T y x 2 T x T y z T T x y z 3 当y z时 有T x y T x z 4 T x 1 x 容易证明 T x 0 0 x 0 1 常用 表示T 并将T x y 记为x y 以下各式定义的 都是T 模 1 x y min x y 取小算子或G delT 模 2 x y xy 积算子或乘积T 模 3 x y max x y 1 0 LukasiewiczT 模 4 突变积或极端积当x y至少有一个是1时x y取最小者 否则 x y 0 5 R0T 模 王国俊 二 S 模 T 余模 的概念 1 S 模的定义定义S 模 三角余模或T 余模 是单位区间 0 1 上的二元运算S 它满足交换律 结合律 单调性且带有单位元0 即S 0 1 0 1 0 1 满足以下条件 x y z 0 1 有 1 S x y S y x 2 S x S y z S S x y z 3 当y z时 有S x y S x z 4 S x 0 x 容易证明 S x 1 1 x 0 1 常用 表示S 并将S x y 记为x y 以下各式定义的 都是S 模 1 x y max x y 2 x y x y xy 概率和 3 x y min x y 1 有界和 4 当x y至少有一个是0时x y取最大者 否则 x y 1 突变和 5 R0S 模 王国俊 2 T 模与S 模的对偶定义设h是 0 1 上的伪补 即h 0 1 0 1 是逆序对合映射 映射 0 1 0 1 0 1 的h对偶是指如下映射 h 0 1 0 1 0 1 x hy h h x h y 定理 是T 模当且仅当 的对偶 h是S 模 定义设A B F X T与S是关于伪补h对偶的T 模与S 模 则称 A SB x S A x B x 为A与B的模并 称 A TB x T A x B x 为A与B的模交 称Ah x A x h为A的补 模糊集的模运算是经典集合并交运算的一般化 如下算子是伪补 c x 1 xw 1 w w 0 Yager算子c x 1 x 1 x 1 Sugeno算子定理设 是T 模 是S 模 则Td x y x y x y x y x y Sd x y 这里Td Sd分别是突变积和突变和 三 分解定理 1 截集定义设A F X 0 1 记A x X A x 称A 为A的 截集 又记A x X A x 称A 为A的 强截集 定义设A F X 称A1 x X A x 1 为A的核 记为kerA 称A0 x X A x 0 为A的支集 记为suppA 称suppA kerA为A的边界 kerA A suppA X X 定理设A B F X 0 1 则截集有如下性质 1 A B A B A B A B 2 A B A B A B A B 3 A A 4 若A B 则A B A B 5 若 则A A A A 6 A A 0 A A 1 2 数积 截积 定义设A F X 0 1 与A的数积 截积 A定义为 A x A x x X 即 A仍为X上的模糊集 3 模糊集合的分解定理定理对任意的A F X 有A 0 1 A x 任取 0 1 将模糊集A切成经典集合A 再用 与A 作数积得模糊集 A 将所有的数 A 0 1 拼起来 组成 0 1 A 此模糊集就是A 证明欲证A 0 1 A 只需证明对任意的x X A x 0 1