高级运筹学-第3章：模煳关系.ppt

1 第三章模糊关系3 1模糊关系的定义从普通集合A到普通集合B的一个模糊关系R是指 以笛卡尔积A B a b a A b B 为论域的一个模糊子集R 记作R A B 或R A B 其隶属函数为 R a b 称为 a b 具有模糊关系R的程度 R A B 0 1 a b A a b 若A B 则称 R A A 0 1 a1 a2 A a1 a2 为A上的模糊关系 例3 1设A 质量好 质量一般 质量差 B 价格高 价格中等 价格低 是两个普通集合 则表示 质价相符 这个模糊关系R 就是笛卡尔积A B上的一个模糊子集 其隶属函数为 2 例3 3设X Y为两个坐标轴 则表示 x远远大于y 这个模糊关系R 就是笛卡尔积X Y上的一个模糊子集 其隶属函数为 若取x 101 y 1 则x远远大于y的程度是 例3 2设A 直线 园 椭圆 双曲线 抛物线 则表示这五种几何图形 相似关系 R 就是笛卡尔积A A上的一个模糊子集 其隶属函数为 3 3 2模糊矩阵一 概念当论域A B为有限集时 模糊关系R可用矩阵表示 记为R rij 0 rij 1 i 1 2 m j 1 2 n例如 质价相符 这个模糊关系的模糊矩阵为 五种几何图形 相似 这个模糊关系的模糊矩阵为 特例 当隶属度为0和1时 模糊矩阵变为普通矩阵 如 4 二 几种特殊的模糊矩阵 表示A B上的 零关系 的零矩阵O a b A B o a b 0 即A与B中任意元素之间具有关系O的程度为0 表示A A上的 恒等关系 的恒等矩阵I a b A A 当a b时 I a b 1 当a b时 I a b 0 即A中任意元素自己与自己具有关系I的程度为1 与其余元素具有关系I的程度为0 表示A B上的 全称关系 的全矩阵E a b A B E a b 1 即A与B中任意元素之间具有关系E的程度均为1 5 三 模糊矩阵的运算 设有模糊矩阵R rij n m S sij n m R与S的并 R S rij sij R与S的交 R S rij sij R的余 Rc 1 rij R与S相等 R S i j 均有rij sij R包含于S R S i j 均有rij sij 例如 6 四 模糊矩阵的运算性质 幂等律 R R R R R R 交换律 R S S R R S S R 结合律 R S T R S T R S T R S T 分配律 R S T R T S T R S T R T S T 吸收律 R S S S R S S S 两极律 O R R O R O E R E E R R 还原律 Rc c R R S R S S R S R R S Rc Sc R1 S1 R2 S2 R1 R2 S1 S2 R1 R2 S1 S2 O R E 五 模糊矩阵R的 截矩阵R 是一个普通矩阵设R rij 对 0 1 称R rij 为R的 截矩阵 六 R 的运算性质 对 0 1 有R S R S R S R S R S R S 7 例3 4设有模糊矩阵 则 例3 5商品 质价相符 模糊关系的模糊矩阵为 若参加者都认为 质价相符 则记为100 1 无人认为 质价相符 则记为0 0 有70 的人认为 质价相符 则记为70 0 7 而质检和物价部门确定商品 质价关系 时 把全部的人认为 质价相符 定为 完全相符 80 以上的人认为 质价相符 定为 相符 50 以上的人认为 质价相符 定为 基本相符 取 1 0 8 0 5得 截矩阵 8 3 3模糊关系的合成1 模糊关系合成的概念 设有论域X Y Z Q X Y R Y Z 则Q对R的合成Q R X Z 即Q R是一个由X到Z的模糊关系 其隶属函数定义为 特例 若X Y Z 则对X上的一个模糊关系R 记R R R22 对有限论域 模糊关系的合成可用模糊矩阵的运算表示 设论域X x1 x2 xn Y y1 y2 ym Z z1 z2 zl Q qij n m X Y R rjk m l Y Z 则Q对R的合成S Q R sik n l X Z 并且 9 例3 7设有模糊矩阵 则 10 3 模糊矩阵合成的运算性质 Q R Q R 例4 8设有模糊矩阵 取 0 6 则 Q R S Q R S Rm n Rm Rn Q R Q S R S Q R S Q S R Q R Qn Rn O R R O O I R R I R 11 Q R S Q S R S S Q R S Q S R Q R S Q S R S S Q R S Q S R 例3 9设有模糊矩阵 则 Q R S Q S R S Q R S Q S R S Q R R Q 例3 10设有模糊矩阵 则 Q R R Q 12 3 4几种常见的模糊关系1 模糊倒置关系 设R X Y 即R是X到Y上的模糊关系 其隶属函数为 R x y 则RT Y X 是Y到X上的模糊关系 称为R的倒置关系 其隶属函数定义为 特例 对有限论域X Y 模糊关系R可表示为模糊矩阵R rij m n 则RT的模糊矩阵为RT rji n m 例3 11商品 质价相符 模糊矩阵为 则商品 价质相符 模糊矩阵为 2 模糊对称关系 设R X X 即R是X上的模糊关系 其隶属函数为 R x1 x2 若对 x1 x2 X 均满足 则称R是模糊对称关系 特例 对有限论域X 模糊关系R可表示为模糊矩阵R rij m n 若满足RT R 则R为模糊对称矩阵 例3 12模糊矩阵 则由RT R 知R为模糊对称矩阵 13 3 模糊自反关系 设R X X 即R是X上的模糊关系 其隶属函数为 R x1 x2 若对 x X 均满足 则称R是模糊自反关系 特例 对有限论域X 模糊关系R可表示为模糊矩阵R rij m n 若R主对角线上的元素均为1 则模糊矩阵R为模糊自反矩阵 例3 13模糊矩阵 则R为模糊自反矩阵 4 模糊相似关系 设R X X 即R是X上的模糊关系 其隶属函数为 R x1 x2 若R既是对称关系又是自反关系 则称R是X上的模糊相似关系 其隶属函数满足 对 x1 x2 x X 均有 特例 对有限论域X 模糊关系R可表示为模糊矩阵R rij m n 若R对称且主对角线上的元素均为1 则R为模糊相似矩阵 14 例3 14论域U 直线 园 椭圆 双曲线 抛物线 上的模糊矩阵 因为R既是模糊对称矩阵又是模糊自反矩阵 所以R为U上五种几何图形间的模糊相似矩阵 转置模糊矩阵运算性质 RT T R R Q T RT QT R Q T RT QT R Q RT QT RT R T Q R T QT RT Rn T RT n 对 模糊矩阵R R RT必是对称矩阵 且R RT被所有包含R的对称矩阵所包含 15 5 模糊传递关系 普通传递关系R 对 x y z X 若 x y R y z R x z R如几何中的平行关系 就普通传递关系 若a b b c a c 模糊传递关系R 设R X X 即R是X上的模糊关系 其隶属函数为 R x1 x2 若R R R 或R2 R 则称R是X上的模糊传递关系 其隶属函数满足 对 x1 x2 x3 X 均有 特例 对有限论域X 模糊关系R可表示为模糊矩阵R rij n n 其隶属度为rij 若R R R 或R2 R 则称R是X上的模糊传递矩阵 其隶属度满足 例3 15影响企业经济效益的主要因素构成论域U 销售额 X1 购销费用 X2 零售利润 X3 它们彼此影响的模糊关系矩阵为 即R R R 所以R为模糊传递矩阵 16 模糊关系R的 截关系R 设R X Y 即R是X到Y上的模糊关系 其隶属函数为 R x y 对 0 1 R的 截关系R 是X到Y上的普通关系 其特征函数为 特例 当X Y时 称R 是X上的 截关系 模糊传递关系与普通传递关系的联系 定理 设R X X 即R是X到X上的模糊关系 则 R是模糊传递关系 对 0 1 R的 截关系R 均是普通传递关系 17 6 模糊等价关系 普通等价关系R 若普通关系R同时具有自反性