老师初二上第三章第3-4节生活中的旋转;简单的旋转作图.doc

维思达教育 We start here We make start 数学初二上第三章第3-4节生活中的旋转；简单的旋转作图【本讲教育信息】一、教学内容旋转 1. 旋转的概念2. 旋转的特征3. 旋转后新图形的画法二、教学目标1. 理解旋转的概念，会判断生活中的旋转现象。2. 掌握旋转的特征，能利用旋转的特征解决问题。3. 掌握旋转后新图形的画法，并能画出简单的旋转图形。三、知识要点分析1. 旋转的概念（这是重点）在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转（circumrotate）.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的大小和形状。注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方向（顺时针或逆时针）转动相同的角度。同时，与平移的情况类似，“旋转不改变图形的大小和形状”是对旋转定义的补充。旋转角的概念：一个图形在旋转前后，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。2. 旋转的特征（这是重难点）旋转前后，两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的旋转角彼此相等。旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，旋转不改变图形的大小和形状。3. 旋转后新图形的画法（这是重、难点）（1）简单的旋转作图，可先在方格纸上画图，体会旋转的关键是确定旋转中心和旋转角，在自己动手画图的过程中，自己归纳总结出旋转的关键.作简单平面图形旋转后的图形，要明确旋转中心在哪里，旋转的角度是多少，是顺时针旋转还是逆时针旋转等.另外，尺规作法的要求，仅限于作三角形等基本图形.（2）注重旋转作图的常见的考查形式，把握作图的基本原则.旋转作图的考查形式有三种：一是已知原图、旋转中心和一对对应点，求作旋转后的图形；二是已知原图、旋转中心和一对对应线段，求作旋转后的图形；三是已知原图、旋转中心和旋转角，求作旋转后的图形，这三种考查形式，都是根据定义和性质进行作图.特别地，对于给出原图和一对对应边的作图问题，除可按一般的方法作图外，如果求作的是三角形，还可以用三角形全等的方法作出旋转图形（3）旋转作图的方法是：先找出图形中的关键点；分别作出这几个关键点绕旋转中心旋转后的位置；按原来位置依次连接各点即得要求下旋转后的图形.【典型例题】考点一：旋转的概念例1：将左边的图形按顺时针方向旋转90度后的图形是图中的（ ）.【思路分析】分析将所给图形按顺时针方向旋转90度后与哪个图形重合，就选哪一答案。解：D方法与规律：本题主要考查的是旋转的概念，解决此类问题可以动手操作，也可以根据旋转方向及旋转角抽象出旋转后的图形。例2：如图，已知ABA、BMM都是正三角形，AMB与AMB是全等三角形，问AMB经过怎样的变换后得出AMB【思路分析】这类问题的关键，就是搞清楚“对应元素”之间的关系，不难发现BA与BA、BM与BM作为对应线段，所夹的角都是60，而两个三角形又是全等的，问题便自然解决了.解：已知ABA、BMM都是正三角形，ABA=MBM=60.又ABM与AMB是全等三角形.故AMB绕着点B按逆时针方向旋转60后得出ABM.方法与规律：解决此类问题的关键是掌握旋转的相关概念。例3：如图，图形围绕自己的旋转中心最少需旋转（ ）之后，才能够与它自身相重合. A. 60 B. 20 C. 90 D. 120【思路分析】上图案由六个形状、大小完全相同的三角形构成，故其至少旋转3606=60才能与自身重合。解：A方法与规律：先观察图案由几个相同的图形构成，然后根据圆周角360与基本图形的个数的商就是所要求的答案。 考点二：旋转的特征例4：如图，ABC是直角三角形，BC是斜边.将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，已知AP=3，则PP的长度为（ ）A. 3 B. 3 C. 5 D. 4【思路分析】由ABC是直角三角形，BC是斜边知BAC=90。经过旋转，点B的对应点是点C，故BAC是旋转角。由于点P的对应点是点P，故PAP也是旋转角，所以PAP=90。由旋转的特征知AP=AP=3。在RtPAP中，根据勾股定理得，。解：B友情提示：解决此类题的关键就是掌握旋转的特征，然后把题目转化为直角三角形的问题进行求解。例5：如图，将ABC绕着点C按顺时针方向旋转20，B点落在位置，A点落在位置，若ACAB，则BAC的度数是（ ）A. 50 B. 60 C. 70 D. 80.【思路分析】根据旋转的特征知BAC=A.由于A点落在位置，故点A的对应点是点A，ACA就是旋转角，所以ACA=20，可求出A=9020=70。所以BAC=A=70。解：C友情提示：根据旋转的特征，对应角相等，通过确定旋转角利用直角三角形锐角互余来进行求解. 考点三：旋转作图例6：如图，在ABC中，C=90，以B为中心，按顺时针方向把ABC旋转90，请作出旋转后的三角形.【思路分析】显然，旋转后点B的对应点B就是点B，另外只需分别作出点A、C绕B旋转90后的对应点即可.解：（1）过点B作AB的垂线并在这条垂线上截取BA=BA，即得点A的对应点A.（2）过点B作BC的垂线，并在这条垂线上截取BC=BC，即得点C的对应点C.（3）连结AC.ABC就是所求作的三角形.规律与方法：明确旋转中心是点B和旋转角度是90是作图的关键，还要明确是顺时针旋转还是逆时针旋转，能够按要求先作出点的对应点，问题就可以解决.例7：如图，正方形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为A1，试确定B、C、D对应点的位置，以及旋转后的正方形.【思路分析】本题中没有明确给出旋转方向与旋转角，我们可以根据题意分析出旋转方向和旋转角.由点A的对应点是点A1，连接OA，OA1，则AOA1就是旋转角，同时作出可以确定旋转方向是按顺时针旋转。连接OB，以OB为一边，以O为顶点，沿顺时针方向作出BOB1，且使BOB1=AOA1，使OB=OB1，则点B1就是点B的对应点。同理，可作出其它两个顶点的对应点，然后顺次连接各对应点，得到的四边形就是旋转后的图形。解：（1）连接OA、OA1、OB、OC、OD；（2）如图，分别以OB、OC、OD为一边作BOB1、COC1、DOD1，使得BOB1=COC1=DOD1=AOA1；（3）分别在射线OB1、OC1、OD1上截取OB1=OB、OC1=OC、OD1=OD；（4）连接B1C1、C1D1、D1A1、A1B1.正方形A1B1C1D1就是正方形ABCD绕O点旋转后的图形.规律与方法：在没有给出旋转方向和旋转角的情况下，要先根据一对对应点来确定旋转方向和旋转角，然后确定关键点， 根据旋转方向和旋转角，确定各关键点的对应点，然后顺次连接即可。【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述了旋转的概念、特征，简单的旋转作图以及旋转的性质的应用。在学习旋转的概念、性质时，我们是通过类比平移的概念与特征来进行的，故运用了类比的数学思想；在学习旋转的作图时，要运用到旋转的特征，故这里体现了数形结合的思想方法。同学们在解决相同的问题时，要注意思想方法的应用。【模拟试题】（满分100分，答题时间60分钟）一、认认真真选1. ABC是等腰直角三角形，如图，AB=AC，BAC=90，D是BC上一点，ACD经过旋转到达ABE的位置，则其旋转角的度数为（ ）A. 90 B. 120 C. 60 D. 452. 如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有（ ）个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 从10点到10点40分，分针转过的角度为（ ）A. 60 B. 30 C. 120 D. 240.4. 下列说法不正确的是（ ）A. 旋转后的图形与原来图形面积相等 B. 旋转后的图形改变了图形的大小C. 旋转不改变图形的大小 D. 旋转不改变图形的形状.*5. 如图，可以看做是正方形ABCD绕点O分别最少旋转_度前后的图形共同组成的.A. 30、45 B. 60、45 C. 45、90 D. 22.5、67.5.6. 如图的图案中，图（2）（3）（4）与图（1）的关系为（ ）A. 平移 B. 轴对称 C. 平移又旋转 D. 其他*7. 如图中，有四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的度数不同，它是（ ）8. 如图，点E在ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若1=2=3，AC=AE，则下列说法正确的是（ ）A. ABD可由AFD旋转所得 B. AFE可由ADC旋转所得C. AFE可由DFC旋转所得 D. ABC可由ADE旋转所得*9. 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃围成的，如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的四边形AEFG可以看成是把四边形ABCD以点A为中心（ ）A. 顺时针旋转60得到B. 顺时针旋转120得到C. 逆时针旋转60得到D. 逆时针旋转120得到 二、沉着冷静耐心填10. 经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向旋转了_的角，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是_，对应点到_的距离相等.11. 钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_.12. 图形的旋转只改变图形的_，而不改变图形的_.13. 在你所学过的大写字母中，通过旋转180可以与本身重合的字母有 ，通过适当的旋转可以互相重合的字母有 。14. 一个正三角形至少绕其中心旋转 度，就能与其自身重合，一个正六边形至少绕其中心旋转 度，就能与其自身重合。*15. 如图，P是正方形ABCD内一点，将ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP重合，若PB=3，则PP=_.16. 如图，ABO绕O点旋转得到CDO，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是_，旋转角是_或_；（2）经过旋转，点A、B分别移到了_；（3）若AO=3 cm，则CO=_；（4）若AOC=60，AOB=20，则BOD=_，DOC=_.三、神机妙算用心做17. 如图，训练场上，士兵小王在射击完毕后，发现子弹击中在靶子的阴影部分，你知道阴影部分的面积吗？（设靶子面积为S）. *18. 如图，ABC与ADE都是顶角为m的等腰三角形，BC与DE分别是底边， 请你仔细观察图形，是否存在两个三角形可以通过旋转而相互得到？若存在， 说明是怎样旋转的.*19. 菱形ABCD是菱形ABCD绕点O顺时针旋转90后得到的，你能作出旋转前的图形吗？20. 如图，你能分析出图中的旋转现象吗？【试题答案】一、1. A 【思路分析】经过旋转，点C与点B重合，点D与点E重合，故EAD与BAC都是旋转角，而BAC90，所以旋转角的度数为90。2. C 【思路分析】分别与点C、D以及边CD的中点旋转即可与正方形CDEF重合。3. D 【思路分析】从10点到10点40分，分针旋转了8个格，每个格30，共旋转了830=240.4. B 【思路分析】旋转不改变图形的形状和大小，故本题答案是B.5. D 【思路分析】根据对应点的位置进行判断.6. C 【思路分析】将图（1）按不同的角度旋转后平移可得到另外三个图形.7. B 【思路分析】A，C，D都是旋转60与自身重合；而B则是旋转120与自身重合.8. D 【思路分析】可以确定ABCADE，根据旋转不改变图形的形状和大小，故知ABC可由ADE旋转所得.9. D 【思路分析】根据一对对应点即可确定旋转方向和旋转角.二、10. 相同；旋转角，旋转中心【思路分析】根据旋转的特征解题。11. 旋转【思路分析】根据旋转的概念进行判断。12. 位置，形状和大小【思路分析】由旋转的概念求解。13. H、I、N、O、X、Z；M、W14. 120，60【思路分析】正三角形旋转3603=120，正六边形旋转3606=60.15. 【思路分析】由于点A的对应点是点C，点P的对应点是点P，所以ABC与PBP都是旋转角，所以PBP=ABC=90，且BP=BP=3.在RtPBP中，根据勾股定理可求PP的长.16. （1）O点 ，BOD ，AOC （2）C、D （3）3 cm （4）60， 20 【思路分析】旋转过程中，固定不动的点是旋转中心，通过确定对应点可以确定旋转角与旋转中心.三、17. 【思路分析】利用旋转，可以看出阴影部分的面积恰好是靶子面积的四分之一.18. ABD与ACE可以通过旋转相互得到，将ABD绕点A逆时针旋转m 得到ACE；也可将ACE顺时针旋转m得到ABD. 【思路分析】可以判断ABC与ADE是全等三角形，故ABC与ADE通过旋转可以相互得到.19. 如下图. 【思路分析】连接OA，以OA为一边，沿逆时针方向作AOA，使=90，且使OA=OA，则点A就是点A的对应点.同理，可以确定点B，C，D三个顶点的对应点