2021版高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教案文新人教A版.docx

第4讲基本不等式一、知识梳理1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数点拨应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”忽略某个条件，就会出错2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)点拨在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致常用结论几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号二、习题改编1(必修5P99例1(2)改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81 D82解析：选C.xy81，当且仅当xy9时等号成立，故选C.2(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则xy10，所以Sxy25，当且仅当xy5时取等号答案：25 m2一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)忽视不等式成立的条件a0且b0；(2)忽视定值存在；(3)忽视等号成立的条件1若x0，则x()A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2解析：选D.因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.2若x1，则x的最小值为 解析：xx11415.当且仅当x1，即x3时等号成立答案：53设0x1，则函数y2x(1x)的最大值为 解析：y2x(1x)2.当且仅当x1x，即x时，等号成立答案：利用基本不等式求最值(典例迁移)角度一通过配凑法求最值 (1)已知0x1，则x(43x)取得最大值时x的值为 (2)已知x，则f(x)4x2的最大值为 【解析】(1)x(43x)(3x)(43x)，当且仅当3x43x，即x时，取等号(2)因为x0，则f(x)4x232 3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.【答案】(1)(2)1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提角度二通过常数代换法求最值 已知a0，b0，ab1，则的最小值为 【解析】52549.当且仅当ab时，取等号【答案】9【迁移探究1】(变问法)若本例中的条件不变，则的最小值为 解析：因为a0，b0，ab1，所以2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立答案：4【迁移探究2】(变条件)若本例条件变为：已知a0，b0，4ab4，则的最小值为 解析：由4ab4得a1，2.当且仅当4ab时取等号答案：常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值角度三通过消元法求最值 若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是()A.B.C. D【解析】因为正数x，y满足x26xy10，所以y.由即解得0x0，y0，121413(当且仅当x3y时等号成立)3已知x0，y0，且x16yxy，则xy的最小值为 解析：已知x0，y0，且x16yxy.即1，则xy(xy)16117225，当且仅当x4y20时等号成立，所以xy的最小值为25.答案：25利用基本不等式解决实际问题(师生共研) 某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x2002200200，当且仅当x，即x400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(2)不获利设该单位每月获利为S元，则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因为x400，600，所以S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；(3)还原为实际问题，写出答案某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低解：设泳池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)4001006020080012 0001 60012 00036 000(元)，当且仅当x(x0)，即x15时等号成立即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低基础题组练1(2020安徽省六校联考)若正实数x，y满足xy2，则的最小值为()A1B2C3 D4解析：选A.因为正实数x，y满足xy2，所以xy1，所以1.2下列选项中，正确的是()Ax的最小值为2Bsin x的最小值为4，x(0，)Cx21的最小值为2D4x(1x)的最大值为1解析：选D.对于A，当x0时，x0，错误；对于B，当x(0，)时，0sin x1，由基本不等式可得sin x24，当且仅当sin x，即当sin x2时，等号成立，这与00，则函数yx的最小值为()A0 B.C1 D解析：选A.yx2220，当且仅当x，即x时等号成立所以函数的最小值为0.故选A.4若a0，b0，abab，则ab的最小值为()A2 B4C6 D8解析：选B.法一：由于abab，因此ab4或ab0(舍去)，当且仅当ab2时取等号，故选B.法二：由题意，得1，所以ab(ab)()2224，当且仅当ab2时取等号，故选B.法三：由题意知a(b1)，所以abb2b1224，当且仅当ab2时取等号，故选B.5某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：306函数y(x1)的最小值为 解析：因为yx1x12(x1)，所以y220，当且仅当x0时，等号成立答案：07(2020湖南岳阳期末改编)若a0，b0，且a2b40，则ab的最大值为 ，的最小值为 解析：因为a0，b0，且a2b40，所以a2b4，所以aba2b2，当且仅当a2b，即a2，b1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为，当且仅当ab时等号成立，所以的最小值为.答案：28已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 .得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.综合题组练1设a0，若关于x的不等式x5在(1，)上恒成立，则a的最小值为()A16 B9C4 D2解析：选C.在(1，)上，x(x1)12121(当且仅当x1时取等号)由题意知215，所以a4.2(2020福建龙岩一模)已知x0，y0，且，则xy的最小值为()A3 B5C7 D9解析：选C.因为x0，y0.且，所以x1y2(x1y)2(11)28，当且仅当，即x3，y4时取等号，所以xy7，故xy的最小值为7，故选C.3已知正实数x，y满足xy1，则x2y2的最小值为 ；若a恒成立，则实数a的取值范围是 解析：因为xy1，所以xy，所以x