江苏省南京金陵中学2014-2015学年高一第一学期期中考试数学试题(wordf版,含解析).docx

金陵中学 2014-2015 学年度第一学期期中考试高一数学试卷命题：高一数学备课组审核：陶兆龙 张松年注意 事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.2.本试卷共 2 页，包含填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）两部分。本试卷满分 100 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答卷纸上交。答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填在指定位置。3. 作答非选择题必须用黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答卷纸上的指定位置，在其他位置作答一律无效。一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分，请将答案填在答卷纸上)1. 已知集合 m = - 1,0,1， n = 0,1, 2，则 m【答案】 0,1.【解析】直接利用交集定义求解.n =.2. 在平面直角坐标系 xoy 中，若角35的终边经过点 p(3,- 4) ，则 cos 的值等于.【解析】 cos =xr=232=35.3. 函数 f (x) =1x - 2+x + 3 的定义域为.【答案】 - 3, 2)(2,+ ) . x - 2 0【解析】定义域要求 x + 3 0，解得定义域为 - 3, 2)(2,+ ) .4. 在平面直角坐标系 xoy 中，若幂函数 f (x) 的图像经过点 (2,22) ，则 f (9) 的值为.13【解析】设 f (x) = x，由过点 (2,221 1 1)得 2 = 2 2，因此 f (x) = x 2，则 f (9) = 9 2 =13.【答案】.3 + (- 4)【答案】.-5. 设 a = 0.32 ， b = 20.3 ， c = log0.5 3 ，则 a, b, c 的大小关系为【答案】 c a b.【解析】 0 a 1， c 0，因此 c a 0时递增， u在 (- ,1上递减，因此 f (x)在 (- ,1上递减.10. 若关于 x 的方程 x2 + (k - 2)x + 2k - 1= 0 的一个根在区间 (0,1) 上，另一个根在区间 (1, 2) 上，则实数 k 的取值范围为1 22 3.【解析】令 f (x) = x2 + (k - 2)x + 2k - 1 ，由图像可得只需 f (0) 0, f (1) 0， 1 k 2 2 1 2即 1+ k - 2+ 2k - 1 0，解得 k 0 4+ 2(k - 2) + 2k - 1 0 k 11. 已知函数 f (x) = log2 (x2 - mx - 2m) 在区间 2,+ ) 上是单调增函数，则实数 m 的取值范围是【答案】 (- ,1).【解析】由题意 u(x) = x2 - mx - 2m在 2,+ )上单调递增，且大于 0，.u(x) = x2 - mx - 2m对称轴m2 2，且 u(2) 0， m 4即 4- 2m - 2m 0，解得 m 1，即 m的取值范围是 (- ,1).12. 设 f (x) 是定义在实数集 r 上的偶函数，且在区间 0,+ ) 上是单调增函数，若 f (- 1) = 0 ，则满足不等式 (x - 1) f (ln x) 0 的 x 的取值范围是.1e(1, e).y【解析】 f (x)的图像大致如右图，则 x 1时 f (x) 0，- 1 x 1时 f (x) 0，x考虑 (x - 1) f (ln x) 0，-1o1 x 0，则 ln x 1，则 0 x e，而由 x 1得 0 x 1时，需要 f (ln x) 0，则- 1 ln x 1，1e1e(1, e).13. 已知函数 f (x) = 2x - 1 ，若 a b f (c) f (b) ，则下列四个结论中，一定成立的是.(写出所有正确结论的序号) a 0, b 0, c 0 ；【答案】. a 0 ； 2a + 2c 2 .y【解析】 f (x)的图像大致如右图， a, c的位置可确定大致如图， a 0而 b的正负无法确定，因此均不对，a由 f (a) f (c)可得 2a + 2c 0，则 2b + 2c 2，b【答案】 (0, )则 x e，因此1 x e；综上所述 x的取值范围是 (0, )由 a 0， f (a) = 1- 2 , f (c) = 2c - 1，若 b 0，则 f (b) = 1- 2 , f (c) = 2c - 1，由 f (c) f (b)得 2b + 2c 2，因此对.14. 若函数 f (x) =x1的定义域为实数集 r ，则实数 a 的取值范围为.【答案】 (- ,3).【解析】 f (x)的定义域要求 2x + 4 2- x - a 0，且 lg(2x + 4 2- x - a) 0，因此 2x + 4 2- x - a 0且 2x + 4 2- x - a 1，由定义域为 r，得任意 x r，有 2x + 4 2- x - a 0且 1，令 u = 2x，则对任意 u 0， u +4u- a 0且不等于1，u 0时， u +4u4u因此 4- a 0，且1 4- a,+ )，因此 4- a 1，则 a 3，因此 a的取值范围 (- ,3).二、解答题(本大题共 6 小题，共 58 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. 若集合 a= x | 2 x 10 ， b = x |1 x 8 ， c = y | y = 2x + a, x r ，求： ab ， (ra)b ； 若 a c ，求实数 a 的取值范围.【答案】 (1,10)， (1, 2)； (- ,10) .【解析】 a= 2,10)， b = (1,8)，因此 ab = (1,10)， (ra)b = (1, 2)； c = (a,+ )，由 a c ，得 a 0 ，且 a 1) . 若 f (3) = 2 ，求 a 的值； 若 a = 2 ，且 f (x) 3 ，求 x 的取值范围； 判断函数 f (x) 在区间 (2,+ ) 内的单调性，并给出证明.【答案】 3； (- ,- 2)(4,+ )； 0 a 1时递减.【解析】由 f (3) = 2得 2 = loga (32 - 2 3)，解得 a =3；由 a = 2， f (x) 3，log2 (x2 - 2x) 3，则 x2 - 2x 8，则 (x - 4)(x + 2) 0，解得 x 4，因此 x的取值范围 (- ,- 2) f (x)在区间 (2,+ )上递增，任取 x1, x2 (2,+ ), x1 x2，(4,+ )；2 222，2 2由 2 x1 0, x1 - x2 0, x2 (x2 - 2) 0，2 222 1，因此 0 a f (x2 )， f (x)在 r上递减，a 1时 f (x1) f (x2 )， f (x)在 r上递增.17. 某厂家根据以往的生产销售经验，得到下面有关生产销售的统计规律：生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品，还需要增加投资 1 万元. 设年产量为 x(x n*) 件，当 x 20 时，年销售总收入为 (33x - x2 ) 万元；当 x 20 时，年销售总收入为 260 万元. 记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元. 假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题： 求利润函数 y = f (x) 的解析式； 工厂每年生产多少件该产品，可使盈利最多？【答案】 f (x) = - x + 160 x 20, x n *； 16.【解析】由题意， x 20时， f (x) = 33- x2 - (100+ x) = - x2 + 32x - 100，x 20时， f (x) = 260- (100+ x) = - x + 160，因此 f (x) = - x + 160 x 20, x n *； x 20时， f (x) = - (x - 16)2 + 156，则 x = 16时取到最大值156；x 20时， x = 20时取到最大值140；综上 x = 16时 f (x)最大值为156 .f (x1) - f (x2 ) = loga (x1 - 2x1) - loga (x2 - 2x2 ) = loga- 2xx1 1- 2xx2 2x1 - 2x1 - (x2 - 2x2 ) = (x1 + x2 - 2)(x1 - x2 )，因此 0 x1 - 2x1 x2 - 2x2，因此- 2xx1 1- 2xx2 2- x2 + 32x - 100 x 20, x n *- x2 + 32x - 100 x 0 时， f (x) = x2 + log3 x - 4 . 求函数 f (x) 的解析式； 求证：方程 f (x) = 0 的区间 (0,+ ) 内有唯一解.3【答案】 f (x) = 0 x = 0； 2证略.【解析】 x 0，因此 f (- x) = (- x)2 + log3 (- x) - 4，因此 f (x) = - f (- x) = - x2 - log3 (- x)+ 4，由题意， x 20时， f (x) = 33- x2 - (100+ x) = - x2 + 32x - 100，x = 0时， f (0) = - f (0)，则 f (0) = 0，3因此 f (x) = 0 x = 0； 2 f (1) = 12 + log3 1- 4 = - 3 0，因此 f (1) f (3) 0，又 f (x)在 1,3上连续，因此 f (x)在 (1,3)上有零点，设为 x0，即 f (x0 ) = 0任取 0 x1 x2， f (x1) - f (x2 ) = (x1 + x2 )(x1 - x2 ) + log2x1x2，由 0 x1 x2得 (x1 + x2 )(x1 - x2 ) 0,0 x1 x1x2 x2 0，因此 f (x1) f (x2 )，因此 f (x)在 (0,+ )上递增，因此 0 x x0时 f (x) x0时 f (x) f (x0 ) = 0，因此 f (x) = 0在 (0,+ )上只有一解. x2 + log x - 4 x 0- x - log3 (- x) + 4 x 0- x - log3 (- x) + 4 x 0 0 ，函数 f (x) 在区间 1, 2 上的取值范围是区间 5,9 ，求 f (x) 的解析式； 若关于 x 的方程 f (x) = 2m+ 1有实数解，求实数 m 的取值范围.【答案】 m+ n = 0； f (x) =15 2x - 15x13【解析】对任意 x r， f (x)+ f (- x) = 0，+ = 0，因此m 2x + n m+ n 2x2x + 1 1+ 2x因此(m + n)(2x + 1)2x + 1= 0，因此 m+ n = 0；由 m+ n = 0得 f (x) =m 2x - m 2mx x，任取 x1 1，则-2u取值范围为 (- 2,0)，因此只需1+1m1 1m m因此 m 0，- 1 m -13.2 + 1； (- 1,- ) .m 2x + n m 2- x + n2x + 1 2- x + 1+ = 0，= m-2 + 1 2 + 1- (m-) =由 x1 x2得 2x1 0, 2x2 + 1 0，因此 f (x1) f (x2 )，= 5,= 2m+ 1有解，因此- x= 1+ (- 2,0)，- 2 1+ 0，- 3 0 ，对任意的 x1, x2 r ， x1 x2 ，比较 f (x1 + x2212 已知集合 p = x | 0 x 1，若关于 x 的不等式 f (x) 1的解集为 m ，且 p m ，求 a 的取值范围.【答案】 a = 0为奇函数， a 0时非奇非偶； f (x1 + x22) 0, x1 x2得-(x - x )2 0，因此 f ( ) 0时， f (1) = 1+ a 1不满足条件； a 0时，若-12a 1，即 a -12，则 f (x)在 0,-12a上递增， -12a,1上单调递减，则需要 f (0) - 1, f (-12a) 1, f (1) - 1，则 0 - 1,-14a 1, a + 1 - 1，解得- 2 a -14，又 a -12，则- 2 x -12；若-12a 1，即 a -12，则 f (x)在 0,1上递增，则需要 f (0) - 1, f (1) 1，则 0 - 1, a + 1 1，则 a 0，又 a 0，则-综上 a的取值范围为 - 2,0；12 a 0；) + f (x) 与 ( f (x1 2 ) 的大小；) -x1 + x2 2 x1 + x2 1x1 + 2x1x2 + x221 2 21(x - x )2a x1 + x2 1方法二（分离参数）：即 0 x 1时- x - 1 ax2 1- x恒成立，x = 0时显然成立，因此只需 0 x 1时