高考数学第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的基本性质第3课时函数性质的综合问题教案文新人教A版.docx

第3课时函数性质的综合问题函数的奇偶性与单调性(师生共研) 已知函数yf(x)是R上的偶函数，对任意x1，x2(0，)，都有(x1x2)f(x1)f(x2)f(b)f(c) Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(a)f(b) Df(c)f(b)f(a)【解析】由题意易知f(x)在(0，)上是减函数，又因为|a|ln 31，b(ln 3)2|a|，0cf(|a|)f(b)又由题意知f(a)f(|a|)，所以f(c)f(a)f(b)故选C.【答案】C函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响已知定义域为(1，1)的奇函数f(x)是减函数，且f(a3)f(9a2)0，则实数a的取值范围是()A(2，3) B(3，)C(2，4) D(2，3)解析：选A.由f(a3)f(9a2)0得f(a3)f(9a2)又由奇函数性质得f(a3)f(a29)因为f(x)是定义域为(1，1)的减函数，所以解得2a3.函数的奇偶性与周期性(典例迁移) (一题多解)(2020武昌区调研考试)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数yf(x1)为偶函数，当0x1时，f(x)x3，则f 【解析】法一：因为f(x)是R上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即f(x)的周期T4，因为0x1时，f(x)x3，所以fffffff.法二：因为f(x)是R上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，由题意知，当1x0时，f(x)x3，故当1x1时，f(x)x3，当1x3时，1x21，f(x)(x2)3，所以f.【答案】【迁移探究】(变条件)本例变为：已知f(x)是定义域为R的偶函数，且函数yf(x1)为奇函数，当0x1时，f(x)x2，则f 解析：因为f(x)是R上的偶函数，yf(x1)为奇函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即f(x)的周期T4，因为0x1时，f(x)x2，所以ffffff.答案：周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解(2020广东六校第一次联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(2x)及f(x)f(x)，且在0，1上有f(x)x2，则f()A. B.C D解析：选D.函数f(x)的定义域是R，f(x)f(x)，所以函数f(x)是奇函数又f(x)f(2x)，所以f(x)f(2x)f(x)，所以f(4x)f(2x)f(x)，故函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以ffff.因为在0，1上有f(x)x2，所以f，故f，故选D.函数的综合性应用(师生共研) (1)(2020石家庄市模拟(一)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)f(2x)，当x0，1时，f(x)4x1，则在(1，3)上，f(x)1的解集是()A. B.C. D2，3)(2)(2020陕西榆林一中模拟)已知偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，现给出下列命题：函数f(x)是以2为周期的周期函数；函数f(x)是以4为周期的周期函数；函数f(x1)为奇函数；函数f(x3)为偶函数，其中真命题的个数是()A1 B2C3 D4【解析】(1)因为0x1时，f(x)4x1，所以f(x)在区间0，1上是增函数，又函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间1，1上是增函数，因为f(x)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称，所以函数f(x)在区间(1，3)上是减函数，又f1，所以f1，所以在区间(1，3)上不等式f(x)1的解集为，故选C.(2)偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，所以f(x)f(x)f(2x)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故错误，正确；由f(x2)f(x)，可得f(x1)f(x1)又f(x1)f(x1)，所以f(x1)f(x1)，故f(x1)为奇函数，正确；若f(x3)为偶函数，则f(x3)f(x3)，又f(x3)f(x3)，所以f(x3)f(x3)，即f(x6)f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故错误，故选B.【答案】(1)C(2)B求解函数的综合性应用的策略(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一特别注意“奇函数若在x0处有定义，则一定有f(0)0；偶函数一定有f(|x|)f(x)”在解题中的应用(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解1函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)f(2x)若f(x)在区间1，2上是减函数，则f(x)()A在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数B在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是减函数解析：选B.由f(x)f(2x)得f(x)的图象关于直线x1对称又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数2(2020甘肃甘谷一中第一次质检)已知定义在R上的函数f(x)满足条件：对任意的xR，都有f(x4)f(x)；对任意的x1，x20，2且x1x2，都有f(x1)f(x2)；函数f(x2)的图象关于y轴对称，则下列结论正确的是()Af(7)f(6.5)f(4.5)Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(4.5)f(7)f(6.5)Df(4.5)f(6.5)f(7)解析：选C.因为对任意的xR，都有f(x4)f(x)，所以函数是以4为周期的周期函数，因为函数f(x2)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于x2对称，因为x1，x20，2且x1x2，都有f(x1)f(x2)所以函数f(x)在0，2上为增函数，所以函数f(x)在2，4上为减函数易知f(7)f(3)，f(6.5)f(2.5)，f(4.5)f(0.5)f(3.5)，则f(3.5)f(3)f(2.5)，即f(4.5)f(7)0的条件为 解析：由f(x)x38(x0)，知f(x)在0，)上单调递增，且f(2)0.所以，由已知条件可知f(x2)0f(|x2|)f(2)所以|x2|2，解得x4.答案：x|x4基础题组练1已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0，2)时，f(x)2x2，则f(2 019)()A2B2C98 D98解析：选A.由f(x4)f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)f(50443)f(3)f(1)由f(1)2122得f(1)f(1)2，所以f(2 019)2.故选A.2已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A.因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上单调递增，f(2x1)f，所以|2x1|，所以x.3若f(x)是定义在(，)上的偶函数，x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(1)f(2)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(2)f(1)解析：选D.因为x1，x20，)(x1x2)，有0，所以当x0时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以f(3)f(2)f(1)，即f(3)f(2)f(1)4(2020黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f(x)是偶函数，定义域为R，单调增区间为0，)，且f(1)0，则(x1)f(x1)0的解集为()A2，0 B1，1C(，01，2 D(，10，1解析：选C.由题意可知，函数f(x)在(，0上单调递减，且f(1)0，令x1t，则tf(t)0，当t0时，f(t)0，解得0t1；当t0时，f(t)0，解得t1，所以0x11或x11，所以x0或1x2.故选C.5(2020甘肃静宁一中一模)函数yf(x)在0，2上单调递增，且函数f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是()Af(1)ffBfff(1)Cff(1)fDff(1)f解析：选C.函数f(x2)是偶函数，则其图象关于y轴对称，所以函数yf(x)的图象关于x2对称，则ff，ff，函数yf(x)在0，2上单调递增，则有ff(1)f，所以ff(1)f.故选C.6偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1) 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)又f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(1)f(3)所以f(1)3.答案：37设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为 解析：因为f(x)为奇函数，且在(0，)上是增函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0，且在(，0)上也是增函数因为21时，求函数g(x)的最小值解：(1)f(x)在y轴右侧的图象如图所示若x0，则x0)，所以f(x)(2)由(1)知g(x)x22x2ax2，其图象的对称轴方程为xa1，当a1时，a12，g(x)x22x2ax2在1，2上单调递减，则g(x)在1，2上的最小值为g(2)24a.综合题组练1已知f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(2x)的解集为()A. B.C. 1，1 D.解析：选B.因为f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，所以2b1b0，所以b1，因为f(x)在2b，0上为增函数，即函数f(x)在2，0上为增函数，故函数f(x)在(0，2上为减函数，则由f(x1)f(2x)，可得|x1|2x|，即(x1)24x2，解得1x.又因为定义域为2，2，所以解得综上，所求不等式的解集为.故选B.2(2020辽宁沈阳东北育才学校联考(二)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)0，若对任意x1，x2(，0)，且x1x2，都有0成立，则不等式f(x)0的解集为()A(，1)(1，) B(1，0)(0，1)C(，1)(0，1) D(1，0)(1，)解析：选C.令F(x)xf(x)，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以F(x)xf(x)xf(x)F(x)，所以F(x)是偶函数，因为f(1)0，所以F(1)0，则F(1)0，因为对任意x1，x2(，0)，且x1x2时，都 有0成立，所以F(x)在(，0)上单调递减，所以F(x)在(0，)上单调递增，所以不等式f(x)0的解集为(，1)(0，1)，故选C.3函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论解：(1)因为对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明如下：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，所以f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数4已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数又是减函数(1)求证：对任意x1，x21，1，有f(x1)f(x2)(x1x2)0；(2)若f(1a)f(1a2)0，求实数a的取值范围解：(1)证明：若x1x20，显然不等式成立