基于UG的三元整体叶轮的曲面造型设计.doc

南昌航空大学科技学院学士学位论文 1 基于基于ugug的三元整体叶轮的曲面造型的三元整体叶轮的曲面造型 学生姓名 陈 丽 班级 0681053 指导老师 于 斐 摘要摘要 叶轮类零件是一类具有代表性且造型比较规范的 典型的通道类复杂零件 其 形状特征明显 工作型面的设计涉及到空气动力学 流体力学等多个学科 因此曲面 加工手段 加工精度和加工表面质量对其性能参数都有很大影响 故叶轮的设计与制 造密不可分 随着航空航天事业的发展 整体叶轮作为发动机的关键部件 对发动机性能影响大 它 的加工成为提高发动机性能的一个关键环节 而叶轮的精密几何实体造型是叶轮加工 的必要前提 文章以典型的cad cam软件 ug cad 及应用实例 整体叶轮的三维 cad 建模 为背景 说明ug cad软件三维造型的基本步骤 思路 为整体叶轮的三维 cad 造型提供参考 本文讨论了利用b样条曲线插值反求直纹面叶片型线的方法 进而借助ug完成 了直纹面形式的整体叶轮几何造型 结果表明针对一组空间坐标点和各点处的厚度 值 采用累加弦长参数化对其进行三次s样条曲线插值 可保证该空间曲线c2连续 同 时各点处的厚度值也连续 这种方法可用于多维数据的插值与逼近 分析了三元整体叶轮叶片曲面的局部特征 在此基础上 利用微分几何学知识 生成了五坐标线接触法粗 精加工用的刀具运动轨迹 结果表明对于三元整体叶轮的 侧铣加工 在规划刀具路径时 可根据中性面上的盖盘曲线 轴盘曲线和相应点处的 叶片厚度构造叶片曲面 进而生成刀具轴迹面 刀具沿轴迹面的运动则包络出叶片曲 面 关键词 整体叶轮 ug cad 造型 b样条曲线插值 直纹面 指导老师签名 based on ug three yuan integral wheel surface modeling 南昌航空大学科技学院学士学位论文 2 student name chen li class 0681053 supervisor yu fei abstract impellers are a type of representative parts with relatively normal sculpture and marked shape the design of the working surface relates to several subjects such as aerodynamics hydrodynamics and so on so machining means machining precision and machining quality of the surface all have large efect on the capability parameters anyhow impellers design and manufacture are inseparable as the development of the aerospace the integral impeller which is the key component of the engine has a great effect on engine s performance the manufacturing of the integral impeller has become the key to improve the performance of engine and the precise cad model creation of integral impeller is the prerequisite to machining integral impeller the typical cad cam software ug cad and application example cad model creation of integral impeller in this article explain the basic procedure of modeling work using ug cad software and give reference to the cad model creation of integral impeller the inverse calculating method of the curves on ruled blade surface by using b spline interpolation is discussed and fatherly geometric modeling of the integral impeller with ruled blade surface by ug is accomplished the results indicate that one cubic b spline interpolating curve using cumulative chord length parametrization of a group of dimensional points and thickness values at each point and the thickness values ared the method also can be used in interpolation and approximation the side machining rough tool path and finish tool path in 5 axis nc machine tool after the local character of the 3 d integral impeller s blade surface by using diferential geometry knowledge is analyzed are created the results indicate that the blade surface can be constructed based on the shroud camber line the hub camber line and the corresponding blade thickness when the side machining tool path of a 3 d integral impeller is planned then the tool axis track surface will be created and the blade surface will be shaped as the tool moves along the surface keywords integral impeller ug cad modeling b spline interpolation ruled surface signature of supervisor 南昌航空大学科技学院学士学位论文 3 目目 录录 1 绪论 1 1 1 论文背景 1 1 2 文献综述 2 1 2 1 自由曲面的 cad cam 的发展及现状 2 1 2 2 自由曲面造型技术的发展及现状 4 1 3 论文的主要工作 6 2 自由曲面造型的技术 7 2 1 引言 7 2 2 曲面造型的几何基础 10 2 2 1 b 样条曲线和曲面 10 2 2 2 三次 b 样条曲线的主要性质 11 2 3 直纹面的几何特性 14 2 3 1 直纹面的定义 14 2 3 2 旋转 14 2 3 3 平移 15 2 3 4 螺旋运动 15 2 4 等距曲线和等距曲面 17 2 4 1 等距曲线 17 2 4 2 等距曲面 18 3 三元整体叶轮的曲面造型 20 3 1 叶轮的曲面造型方法研究 20 3 1 1 叶片的曲面构型原理及方法 20 3 1 2 离散点的插值 20 3 2 ug 软件概述 21 3 3 基于 ug 的整体叶轮造型 22 3 3 1 离散点插值的 ug open grip 实现 23 3 3 2 叶片曲面的直纹面生成 26 3 3 3 叶片实体的生成 27 3 3 4 轮毂实体的生成 28 3 3 5 三元整体叶轮实体的生成 28 参考文献 30 致 谢 31 附录 32 南昌航空大学科技学院学士学位论文 4 基于基于 ugug 三元整体叶轮曲面造型的研究三元整体叶轮曲面造型的研究 1 1 绪论绪论 1 11 1 论文背景论文背景 一些复杂的物体表面 如汽车车身 飞机机身 汽轮机叶片 模具型面等呈流 线型自由曲面 所谓自由曲面是指不能用基本立体要素 棱柱 棱锥 球 一般回转 体 有界平面等 描述的呈自然形状的曲面 必须根据空间自由曲线和自由曲面的理 论进行计算 自由曲面形状复杂 不能用简单的曲面数学模型来表示 许多年来人们不断的 探索方便 灵活 实用的自由曲面的造型方法 而且具有自由曲面的零件的生产 一般来说是单件或小批量生产 传统的加工方法是由毛坯制造 砂轮打磨 样件检 验等主要工序组成 这个过程周期一般较长 工人劳动强度大 而且不易保证加工 精度 材料和工装设备浪费现象严重近年来 随着大量进口数控机床的引进和国产 数控机床的研制 目前我国拥有的数控机床和加工中心中 三坐标机床占主流 四 轴或五轴联动的数控加工机床也在逐渐涌现 这些使得具有自由曲面的零件的加工 精度和加工效率都得到了很大的提高 而加工难度和劳动强度也随之大幅度减小 虽然目前出现了许多 cad cam 软件 但是其普及程度并不高 一方面是因为这些软 件所提供的通用模块并不完全符合实际生产的需要 另一方面一些数控机床附带软 件其各个模块大多都进行了封装 只能完成某些特定的功能 用户无法对其进行二 次开发以添加满足用户实际需要的功能 用户只能向软件开发公司定制 制约了对 核心技术的掌握和生产的发展 自由曲面的制造己开始迈入计算机辅助制造的行列 要进行自由曲面的数控加 工 首要任务是进行自由曲面的构造 这就对自由曲面的造型技术提出了较高的要 求 由于工程实际中给定型值点的自由曲面型面是典型的三维曲面 求解数控加工 此类曲面的关键在于构造满足数控加工需要的自由曲面 自由曲线曲面造型方法经 历了参数样条方法 孔斯曲面 贝塞尔曲面 b样条曲面 直到当前cad cam系统中 曲面造型的主流方法 nurbs曲面造型方法 nurbs造型方法通过控制点建立自由曲面 的数学模型 统一了有理曲面和非有理曲面的数学描述 而且可以通过调整局部的 南昌航空大学科技学院学士学位论文 5 控制点和权因子来局部修改自由曲面的形状 有利于方便的对曲面进行部分修改 所以逐渐成为自由曲面造型理论的主流方法 2 为后续的自由曲面的数控加工创造 便利条件 正是在这种前提下 对基于 ug 三元整体叶轮曲面造型的研究意义重大 而且我 国在这个领域起步较晚 具有很大的研究发展空间 因此本文选此课题进行设计与 研究 1 21 2 文献综述文献综述 1 2 11 2 1 自由曲面的自由曲面的 cad camcad cam 的发展及现状的发展及现状 自由曲面形状复杂 不能用简单的曲面数学模型来表示 许多年来人们不断的 探索方便 灵活 实用的自由曲面的造型方法 而且具有自由曲面的零件的生产 一般来说是单件或小批量生产 传统的加工方法是由毛坯制造 砂轮打磨 样件检 验等主要工序组成 这个过程周期一般较长 工人劳动强度大 而且不易保证加工 精度 材料和工装设备浪费现象严重近年来 随着大量进口数控机床的引进和国产 数控机床的研制 目前我国拥有的数控机床和加工中心中 三坐标机床占主流 四 轴或五轴联动的数控加工机床也在逐渐涌现 这些使得具有自由曲面的零件的加工 精度和加工效率都得到了很大的提高 而加工难度和劳动强度也随之大幅度减小 虽然目前出现了许多 cad cam 软件 但是其普及程度并不高 一方面是因为这些软 件所提供的通用模块并不完全符合实际生产的需要 另一方面一些数控机床附带软 件其各个模块大多都进行了封装 只能完成某些特定的功能 用户无法对其进行二 次开发以添加满足用户实际需要的功能 用户只能向软件开发公司定制 制约了对 核心技术的掌握和生产的发展 自由曲面的制造己开始迈入计算机辅助制造的行列 要进行自由曲面的数控加 工 首要任务是进行自由曲面的构造 这就对自由曲面的造型技术提出了较高的要 求 由于工程实际中给定型值点的自由曲面型面是典型的三维曲面 求解数控加工 此类曲面的关键在于构造满足数控加工需要的自由曲面 自由曲线曲面造型方法经 历了参数样条方法 孔斯曲面 贝塞尔曲面 b样条曲面 直到当前cad cam系统中 曲面造型的主流方法 nurbs曲面造型方法 nurbs造型方法通过控制点建立自由曲面 南昌航空大学科技学院学士学位论文 6 的数学模型 统一了有理曲面和非有理曲面的数学描述 而且可以通过调整局部的 控制点和权因子来局部修改自由曲面的形状 有利于方便的对曲面进行部分修改 所以逐渐成为自由曲面造型理论的主流方法 2 为后续的自由曲面的数控加工创造 便利条件 美 法等国的cad技术一直以来走在世界的前沿 他们拥有许多世界闻名的 cad cam系统 这些系统具备十分强大的功能 美国sdrc公司的i deas master series软件采用vgx 超变量化 技术 用户可以直观 实时地进行三维产品的设计和 修改 vgx有如下好处 不必像参数化造型系统那样要求模型 全约束 在全约束及 非全约束的情况下均可顺利地完成造型 模型修改不必拘泥于造型历史树 修改可 基于造型树 亦可超越造型历史树 可直接编辑任意3d实体特征 无须回到生成此 特征的2d线框初始状态 可就地以拖动方式随意修改3d实体模型 而无须仅以 尺寸 驱动 一种方式来修改模型 模型修改许可形状及拓扑关系发生变化 而并非像参 数技术那样仅仅是尺寸的数据发生变化 所有操作均为 一拖一放 方式 操作简 单 美国unigraphics solutions公司的ug源于航空业 汽车业 以 parasolid几何 造型核心为基础 采用基于约束的特征建模和传统儿何建模为一体的复合建摸技术 其曲面功能包含于freeform modeling模块之中 采用了nurbs b样条 bezier数学 基础 同时保留解析几何实体模型方法 造型能力较强 其曲面建模完全集成在实 体建模之中 并可独立生成自由形状形体 以备实体设计时使用 而许多曲面建模 操作可直接产生或修改实体模型 曲面壳体 实体与定义他们的几何体完全相关 ug软件实现了面与体的完美集成 可将无厚度曲面壳缝合到实体上 总体上 ug的实 体化曲面处理能力是其主要特征和优势 6 美国ptc公司的pro engineer以其参数化 基于特征 全相关等概念闻名于cad 界 其曲面造型集中在pro surface模块 其曲面生成 编辑能力覆盖了曲面造型中 的主要问题 主要用于构造表面模型 实体模型 并且可以在实体上生成任意凹下或 凸起物等 尤其是可以将特殊的曲面造型实例作为一种特征加入特征库中 pro eng ineer自带的特征库就含有如下特征 复杂拱形表面 三维扫描外形 复杂 的非平行或旋转混合 混合 扫描 管道等等 该软件的曲面处理能力仅适合于通用 的机械设计中较常见的曲面造型间题 7 美国ibm公司的catia cadam dassault svstem公司开发 是一个广泛的cad dam cae pdm应用系统 该系统有关曲面的模块包括 曲面设计 surface design 高级 南昌航空大学科技学院学士学位论文 7 曲面设计 advanced surface design 自由外形设计 free form design 整体外 形修形 global shape deformation 创成式外形修形 generative shape modeling 和白车身设计 bodywhite templates 等 catia外形设计和风格设计解决 方案对零件提供了广泛的集成化工具 该系统具有很强的曲面造型功能 还有法国 matra一data vision公司的euclid集成系统是一个集机械设计与工厂 设计于一身的企业级并行工程解决方案 其曲面功能在 asd高级曲面设计 之中 美国cv公司的cadds5软件的nurbs曲面设计模块是cv公司用以完成大型复杂曲面造型 的专用工具 nurbs集成于清晰造型的数据库结构中 但其强大的曲面裁减使得曲面 构成的实体可贯穿参数设计 详细设计 加工 分析的全过程 预计在不久的将来 微机cad cam系统将以其良好的2d设计 绘图 3d实体 曲面 造型 数控加工 工程数据管理 物性分析的集成化优势而得到广泛的应用和发展 1 2 21 2 2 自由曲面造型技术的发展及现状自由曲面造型技术的发展及现状 从研究的领域来看 曲面造型技术已从传统的研究曲面表示 曲面求交和曲面 拼接 扩充到曲面变形 曲面重建 曲面简化 曲面转换和曲面等距性 1 曲面变形 deformation or shape blending 传统的nurbs曲面模型仅允许调整控制顶点或权因子来局部改变曲面形状 最多 利用层次细化模型在曲面特定点进行直接操作 一些简单的基厂参数曲线的曲面设计 方法 如扫掠法 sweeping 蒙皮法 skinning 旋转法和拉伸法也仅允许调整生成 曲线来改变曲面形状 计算机动画业和实体造型业迫切需要发展与曲面表示方式无 关的变形方法或形状调配方法 于是产生了自由变形 ffd 基于弹性变形或热弹性 力学等物理模型的变形法 基于求解约束的变形法 基于几何约束的变形法等曲面 变形技术 以及基于多面体对应关系或基于图像形态学中minkowski和操作的曲面形 状调配技术 2 曲面重建 reconstuction 在精致的轿车车身设计或人脸类雕塑曲面的动画制作中 常先用油泥制模 再 作三维型值点采样 在医学图像可视化中 也常用ct切片来得到人体脏器表面的三 维数据点 从曲面上的部分采样信息来恢复原始曲面的几何模型 称为曲面重建 采样工具为激光测距扫描器 医学成像仪 接触探测数字转换器 雷达或地震勘探 南昌航空大学科技学院学士学位论文 8 仪器等 根据重建的形式 其可以分为函数型曲面重建和离散型曲面重建 前者代 表工作有eck于1996年建立的任意拓扑b样条曲面重建法和sapidis于1995年创造的离 散点集拟和法 后者的常用方法是建立离散点集的平面片逼近模型 如hoppcy于1992 年和1994年光后创建的分片线性或分片光滑的曲面模型 对于离散型重建 要求输 出曲面具有正确的拓扑结构 并且随着采样密度的增加而收敛到原始曲面 当重建 曲面为闭曲面时 willer等人发展出一种基于可变形模型的曲面重建算法 称为外 壳 crust 算法 这种算法的优点在于输出的离散曲面在细节区域具有密集点 而在 无特征的区域具有稀疏点 最近几年 曲面重建的研究形成了热潮 3 曲面简化 surfaces simplification 与曲面重建一样 这一研究领域目前也是国际热点之一 其基本思想在于从二 维重建后的离散曲而或造型软件的输出结果 主要是三角网络 中去除冗余信息而又 保证模型的准确度 以利于图形显示的实时性 数据存储的经济性和数据传输的快 速性 对于多分辨率曲面模型而言 这一技术还有利于建立曲面的层次逼近模型 进行曲面的分层显示 传输和编辑具休的曲面简化方法有网格顶点剔除法 网格边 界删除法 网格优化法 最大平面逼近多边形法以及参数化重新采样法 4 曲面转换 conversion 同一张曲面可以表示为不同的数学形式 这一思想不仅具有理论意义 而且具 有工业应用的现实意义 例如 nurbs这种参数有理多项式曲面虽然包括了参数多项 式曲面的一切优点 但也存在着微分运算繁琐费时 积分运算无法控制误差的局限 性 而在曲面拼接及物性计算中 这两种运算是不可避免的这就提出了将一张nurbs 曲面转化成近似的多项式曲面的问题 同样的要求更体现在nurbs曲面设计系统与多 项式曲面系统之间的数据传递和无纸化生产工艺中 再如 在两张参数曲面的求交 运算中 如果把其中一张曲面的nurbs形式转化为隐式 就容易得到方程的数值解 近几年来 国际图形界对曲面转换的研究主要集中在以下几点 nurbs曲面用多项式 曲面来逼近的算法及收敛性 bezier曲线曲面的隐式化及其反问题 consurf飞机设计 系统的ball曲线向高维推广的各种形式比较及相互转化 有理bezie曲线曲面的降价 逼近算法及误差估计 nurbs曲面在三角域上的互相快速转换 5 曲面等距性 offset 其在计算机图形及加工中有着广泛的应用 因而成为这几年的热门话题之一 例如 数控机床的刀具路径设计就要研究曲线的等距性 但从数学表达式中很容易 看出 一般而言 一条平面曲线的等距曲线不再是有理曲线 这就超越了通用nurbs 南昌航空大学科技学院学士学位论文 9 系统的使用范围 造成了软件设计的复杂性和数值计算的不稳定性 为解决这一问 题 十几年来国际图形界提出了用简单曲线来逼近等距曲线的种种算法 这又带来 了收敛性考核 计算不稳定 误差难控制等问题 那么 是否存在具有精确有理等 距曲线的某种参数曲线呢 1990年美国学者farouki首次找到某一类特殊的平面参数 多项式曲线具有这种性质 称之为ph曲线而到1993年 浙江大学的吕伟利用复分析 法 重新参数化和代数几何技术 完整地给出了or多项式和有理参数曲线的一般形 式 彻底解决了平面曲线的等距线的有理化问题 在曲线等距性问题上 吕伟于 1996年证明了常用二次曲面的有理等距线均可用有理参数样条精确表示的结论 同年 他与奥地利学者pottmann等揭示出有理直纹面的等距面可以有理参数化 同时证明 了脊线为有理样条曲线的管道曲面可以精确表示为有理样条曲面 曲线曲面的等距 性还与机械学中的形位公差理论及几何设计中的区间曲线曲面有着密切的关系 从表示方法来看 以网格细分 subdivision 为特征的离散造型与传统的连续 造型相比 大有后来居上的创新之势 例如用nurbs的修剪来对付 但是他们至少会 遇到以下困难 修剪是昂贵的 而且有数值误差 要在曲面的接缝处保持光滑 即使 是近似的光滑也很困难 因为模型是活动的 而细分曲面有潜力克服以上两个困难 其无须修剪 活动模型的平滑度被自动地保证 如果多面体的一个面有n条边 细分 一次后 这个面就会变成n个四边形 随着细分的不断进行 控制网格就被逐渐磨光 其极限状态就是一张自由曲面 其是无缝的 因而是平滑的 即使模型是活动的 这种方法显著地压缩了设计和建立一个原始模型的时间 更重要的是允许原始模型 局部地精致化 这就是其优于连续曲面造型方法之处 1 31 3 论文的主要工作论文的主要工作 三元整体叶轮曲面造型的研究关键在于如何由点生成曲线 由曲线生成曲面 由片体生成曲面 进而产生空间叶轮实体 本文主要工作内容如下 1 研究自由曲面造型方法 2 研究直纹面的几何特性 3 采用ug open grip编程构造的方法生成叶片的曲线 4 完成三元整体叶轮的曲面造型 南昌航空大学科技学院学士学位论文 10 2 2 自由曲面造型的技术自由曲面造型的技术 2 12 1 引言引言 1963年美国波音 boeing 飞机公司的弗格森 ferguson 首先提出了将曲线曲面 表示为参数的矢函数方法 他最早引入参数三次曲线 构造了组合曲线和由四点的 位置矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双三次曲面片 从此曲线曲面的参数化形 式成为形状数学描述的标准形式 1964年美国麻省理工学院 mit 的孔斯 coons 发 表了一个具有一般性的曲面描述方法 给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块 曲面片 1967年 孔斯进一步推广了他的这一思想 但是前述两种方法对曲线 曲 面的形状不易控制 修改任意一个型值点都会影响整条曲线和整张曲面的形状 且形 状变化难以预测 即不具备局部性 因此这两种方法都属于构造插值曲线和插值曲 面的方法 不适用于进行曲线或曲面的设计 1971年法国雷诺 renault 汽车公司的贝齐尔 bezier 提出一种由控制多边形设 计曲线的新方法 设计员只要移动控制定点就可方便地修改曲线的形状 而且形状 的变化完全在预料之中 贝齐尔方法简单易用 又漂亮地解决了整体形状控制问题 把曲线曲面的设计向前推进了一大步 为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础 但贝齐尔方法仍存在连接问题和局部修改问题 1972年 德布尔 de boor 总结给出了关于b样条的一套标准算法 1974年美国 通用汽车公司的戈登 gordon 和里森费尔德 riesenfeld 又把b样条理论引入曲线曲 面设计系统 b样条方法几乎继承了贝齐尔方法的一切优点 贝齐尔曲线曲面被看作 为b样条曲线曲面的一种特例 而b样条方法比贝齐尔方法更具一般性 即任何分段 光滑多项式曲线曲面均可用b样条曲线曲面表示 b样条基函数具有计算稳定 快速 的特点 同时b样条曲线曲面具有局部可修改性 较成功地解决了贝齐尔方法的局部 控制问题 并在参数连续性基础上解决了连接问题 具有较强几何造型能力 1975年美国锡拉丘兹 syracuse 大学的弗斯普里尔 versprille 在他的博士论 文里将b样条理论推广到有理情况 首先提出了非均匀有理b样 non uniform 南昌航空大学科技学院学士学位论文 11 rational b spline 简称nurbs 这个概念 后来主要由于皮格尔 piegi 和蒂勒 tiller 2 等人对非均匀有理b样条方法进行的深入研究 使这一方法在理论和实 用上逐步趋向成熟 至80年代后期 nurbs方法发展为曲线曲面造型方法中最为先进 的技术 但由于权因子与参数化问题至今还没有完全解决 nurbs方法存在数值不稳 定的问题 3 表1对这几种方法的优缺点作了一比较 表2 1 曲面造型方法的比较 方法特点缺点 coons曲面法简单易行 编辑方便 插值精度 高 设计曲面时 需要用到切 矢 扭矢 不直观 难于 控制 bezier曲面法 核体逼近 具有对称性 网格的 四个角点位于曲面上 控制多边形顶点数目决定 了曲面的阶次 缺乏局部 修改性 b样条曲面法 阶次与控制顶点数目无关 具有 局部可修改性 曲面片之间无条 件光滑拼接 曲面片一般不通过特征网 格的任意一个顶点 nurbs曲面法 对标准的解析曲线 如圆锥曲线等 和自由曲线提供了统一的数学描 述 保留了b样条曲线的节点插入 修改 分割以及修改控制点等强 有力的技术 而且还具有修改权 因子来修改曲线形状的能力 计算量较大 影响软件的 运行速度 耗费的存储量 较大 而且当权因子为零 和负值时容易引起计算的 不稳定 导致发生畸变 在形状设计领域中 设计人员通常是从二维的情况开始定义对象的关键形状 在构造好曲线的基础上 利用曲面生成方法产生复杂的三维形态 构造出精确的曲线 是生成最终物体形状的关键和基础 常用的曲线构造方法为 控制顶点输入法 插值点 输入法 从已知曲面上生成曲线法等 需要确定的参数有 曲线的次数 节点矢量及 控制顶点 80年代末至90年代初 曲面造型领域的发展又出现了新的特点 在某些 应用领域 因为力学的原因 人们不满足于现有数学模型下的曲面造型技术 开始 探索基于其它数学描述方法的新的曲面造型技术 例如 物理曲面造型 流线型曲 面造型等 工程实际中给定截面型值点的自由曲面是典型的三维曲面 求解数控加工此类 南昌航空大学科技学院学士学位论文 12 曲面的关键在于构造满足数控加工需要的自由曲面 1988年woodwardlw针对按截面 测量所得数据 提出了一种b样条曲面插值算法 即蒙皮法生成曲面 但这种方法要 求数据点呈拓扑矩形阵列 即各截面数据点数完全相同 由于测量得到的原始数据 点 本身就包含测量误差 采用插值算法容易出现波动 光顺性较差 因此采用曲 面逼近更接近工程实际 王国瑾等提出了b样条光顺准逼近的思想 即在有约束条件 处通过型值点 其它部分用逼近数据点来产生 蒋人为也提出了运用重顶点的方法来 解决有约束条件的曲面逼近问题 1999年 彭芳瑜等提出基于最小二乘法的曲面生成 算法 它在插值的思想上融合逼近的思想 解决了蒙皮法中因截面线族不均匀而导 致的曲面光顺性不好的问题 2002年 张丽艳 6 结合二分法和最小二乘法 对截面 曲线进行逼近 构造出b样条截面曲线 最后用截面曲线构造蒙皮曲山 即最终的b样 条曲面 目前 曲面造型领域的发展又出现了新的特点 9 10 在某些应用领域 人们 不满足于现有数学模型下的曲面造型技术 开始探索基于其它数学描述方法的新的 曲面造型技术 如物理曲面造型 流线型曲面造型等 新的造型方法得到广泛的研 究和探索 这些都将为曲线曲面的深入研究提供新的思想 为计算机辅助制造创造 更加便利的条件 通常来讲 双三次b样条曲面能满足设计者的要求 此时能保证曲面间连续 节 点矢量的选取对曲面的品质十分重要 选取节点参数的方法有均匀 等距 参数化法 积累弦长参数化 弦长参数化 法 向心参数化 弦长的平方根 法 修正弦长参数化 法等 通常采用积累弦长参数化方法求解节点矢量 形状设计中 设计人员头脑里 一般直接考虑的是曲线的大致形状 而非控制多边形的形状 因此通常是通过给出 曲线上的一些点 反算出曲线的控制顶点 再由控制点得到曲线 常用方法为插值 法和最小二乘逼近两种方法 插值法要求得到的曲线通过己知数据点 最小二乘逼 近法一般不要求曲线通过已知数据点 只要求数据点与得到的曲线上对应点距离的 平方和为最小 对曲线形状的控制有三个途径 1 通过移动控制顶点来改变曲线形状 2 修改节 点矢量 3 移动数据点并重新计算 常用的方法有节点插入与曲线升阶两种方法来对 曲线形状进行控制 插入节点算法是b样条方法配套技术中最重要的技术之一 通过 插入节点 可以进一步改善b样条曲线的局部性质 提高对b样条曲线形状控制的潜 在灵活性 可以实现对曲线的分割 可以在生成曲面时使不同的节点矢量统一起来等 1980年伯姆 boehm 5 给出了b样条曲线节点插入算法 给出了未知新顶点的计算公 南昌航空大学科技学院学士学位论文 13 式 提出可通过将同一节点插入k次 得到对应b样条曲线上的点 科恩 cohen 等人 6 也提出同时可以插入多个节点的奥斯陆 oslo 算法 伯姆算法简单 算法效率高 并且几何直观 易为工程实际所接受 b样条升阶是b样条方法配套技术中另一项重 要的技术 其重要性主要表现为 升阶可以增加几何造型的柔性 通过升阶 增加了 控制定点数 提高形状控制的灵活性 升阶是设计组合曲线时必不可少的工具和手段 升 阶是构造蒙皮 扫描曲面和组合曲面的重要t 具 1984年 普劳茨 prautzsch 提出 一个b样条曲线的升阶算法 7 给出了确定b样条曲线升阶后未知新顶点的算法 随后 在1991年又对该算法进行了改进 8 使它线性依赖于节点数和曲线阶次 速度更快 但算法复杂 cohen等在1988年提出了递归升阶方法 9 它基于离散b样条 无需调 用节点插入的算法 直接用递推公式进行升阶 易于实现 另外还有piegl等提出了 基于bezier曲线升阶的方法 10 秦开怀指出 11 12 13 传统的升阶方法只适用于端点 插值b样条曲线和周期性b样条曲线的升阶 对于其它的非端点插值的b样条曲线的升 阶问题却无法解决 他给出了解决传统b样条曲线升阶理论中的这些问题的一般算法 b样条基函数的递推算法 节点插入算法和升阶算法就构成了b样条曲线曲面的b样条 拟合曲曲造型的理论基础和基本算法体系 复杂形状零件是数控加工的主要对象 为了对这类零件的加工进行编程 首先 必须进行几何建模 曲面造型技术是复杂形状零件建模的基础及工具 也是几何造 型技术的重要分支之一 随着 cad cam 应用的不断深化 目前对曲线曲面已经形成 了一套较为完整的理论和方法体系 包括参数曲线曲面理论 bezier 方法 b 样条 方法等 三次b样条曲线具有c2级连续 通常它已能满足工程外形曲线连续阶的要求 因 此 在工程上所采用的b样条曲线 一般指的是这种曲线 基于此 本文将采用以三 次b样条曲线为基础的双三次b样条曲面对自由曲面进行造型 2 22 2 曲面造型的几何基础曲面造型的几何基础 2 2 12 2 1 b b 样条曲线和曲面样条曲线和曲面 1 b 样条基函数的定义 14 在区间 a b 上 取分割为节点 knot 构造 b 样条bxxxa n 10 基函数为 南昌航空大学科技学院学士学位论文 14 2 1 0 1 1 1 11 1 1 0 xn xx xx xn xx xx xn n ki iki ki ki iki i ki i 在公式中第一项在当时取 1 在其他情况下取 0 规定 0 0 0 0 i n 1 ii xxx 其中 b 样条基函数的第一个 i 下标表示序号 第二个下标 k 表示基函数的次 xn ki 数 该递推公式表明 欲确定第 i 个 k 次 b 样条基 需要用到 xn ki 共 k 2 个节点 区间 为的支撑区间 也就是说 11 kiii xxx 1 kii xx xn ki 仅在这个区间内的值不为零 xn ki 2 b 样条曲线的定义 设有一组节点序列 由其确定的 b 样条基函数 有一 nixi 2 1 0 xn ki 顶点系列构成特征多边形 将与线性组合 得到 k 次 2 1 0 nivi xn kii v k 1 阶 b 样条曲线 其方程为 a x b 2 2 n i iki vxnxr 0 其中 r x 是参数 x 的 k 次分段多项式 3 b样条曲线的数学模型 设空间有k n 1个点 则称下列函数所决定的参数曲线 为第1段k次b样条曲线 2 3 由各段曲线 组成的整体曲线 称为k次b样条曲线 其中 2 4 4 b 样条曲面的定义 定义一张次张量积 b 样条曲面 其方程为 lk 0 1 jilj m i n j ki vnnr 00 2 5 其中是 m n n 1 阵列 构成一张特征网络 njmiv ji 1 0 1 0 分别是定义在节点矢量 ki n lj n 110 km u 上的 b 样条基函数 110 ln w 南昌航空大学科技学院学士学位论文 15 2 2 22 2 2 三次三次 b b 样条曲线的主要性质样条曲线的主要性质 由式 2 3 可知 每4个控制顶点定义一条三次样条曲线 通常特征多边形的顶 点数都多于4个 每增加一个顶点 相应地就增加一段b样条曲线 假定增加的点为 则就决定了新增加的三次b样条曲线 如果有n个顶点 那 么就有 n一3 段曲线 所以b样条曲线段的性质就是整体b样条曲线的性质 如下所 述 由 2 5 式得三次b样条曲线的矢值方程为 2 6 由 2 6 式得 代入 2 6 式得第i段的三次b样条曲线为 2 7 写成矩阵形式为 2 8 1 曲线的起点和终点 一般情况下不过起始控制顶点与终止控制顶点 对三次b样条曲线段式而言 2 9 南昌航空大学科技学院学士学位论文 16 图2 1 三次b样条曲线段 2 曲线在起点与终点处的切线 与控制多边形的起始边与终止边 有着密切的关 系 2 10 2 11 这表明三次b样条曲线段起点的切向量平行于 vivi 1vi 2的边vivi 2 长度为 它的二分之一 终点处的切向量平行于 vi 1vi 2vi 3的边vi 1vi 3 长度为它的二 分之一 如图2 1所示 3 用三次b样条曲线段能自然的连接成整体的三次b样条曲线 不需要任何附加条 件 这是因为在连结点处 一阶导数 二阶导数均连续 即前一曲线段 控制点为 vi vi 1 vi 2 vi 3 终点的切向量 恰好是下一曲线段 控制点为 vi 1 vi 2 vi 3 vi 4 起点的切向量 前一曲线段终点的二阶导向量 恰好是一曲 线段起点的二阶导向量 切线量相等可从 2 9 式看出 二阶导向量相等可从 2 10 式看出 将 2 10 对u再求导 得 南昌航空大学科技学院学士学位论文 17 2 12 4 具有局部可调性 三次b样条曲线的各段仅由相邻的四个顶点确定 因此改变特征多边形的某个顶 点 只会影响与该顶点有关的相邻四段曲线 其它地方的曲线不会引起变化 这体 现了b样条曲线的局部可修改性 5 曲线位于其控制顶点的凸包之内 所谓 凸包 是指由控制顶点的全部或一部分所张成的凸范围 若控制多边 形为凸时 则凸包就是此控制多边形 曲线的形状也是凸的 并位于凸包内 若控 制多边形有凸有凹时 则不计凹下去的顶点 由剩下的顶点构成凸包 尽管曲线的 形状也有凸有凹 但总位于凸包内 这一性质称为b样条曲线的凸包性 如图2 2所 示 图2 2 b样条曲线的凸包性 2 32 3 直纹面的几何特性直纹面的几何特性 2 3 12 3 1 直纹面的定义直纹面的定义 直线经过刚体运动后其 plvcker 坐标变为 用矩阵来表示就是 2 13 式中 o 为零矩阵 为所对应的反对称矩阵 4 下同 从微分几何学的观点看 直纹面根据其沿每一条母线的切平面是否唯一 可分 为可展曲面和非可展曲面 可展曲面是直纹面的一种重要类型 沿着它的每一条母 线只有一个切平面 比较具有代表性的如圆柱面和圆锥面 设直纹面的准线方程及每一点处的直母线单位方向矢量分别为和 aa 且分别有连续的一阶导数和 可以证明直纹面为可展曲面的充要条件 ll a l 为 0 lla 南昌航空大学科技学院学士学位论文 18 2 14 即满足上式 2 14 条件的的直纹面为可展直纹面 反之为非可展直纹面 直线在三维空间中的运动有旋转 平移和螺旋3种特殊情形 利用klein映射分 别讨论直线在这3种特殊的运动形式下扫掠所得直纹面的klein像特点 2 3 22 3 2 旋转旋转 直线在三维空间中绕过点p的轴线旋转角度 相应的l 的plvcker坐标变换为 该变换矩阵写成指数形式为 2 15 容易证明 2 16 式 2 16 中根据 l 与 a 的关系有以下三种情况 1 当 l a 时 l 旋转 l t l l 属于六维空间的一维 线性子空间 就是轴线的 klein 像 2 当时 l 旋转后 l 属于六维空 间的二维线性子空间 此时正好是三维空间中的线列 其 klein 像为 klein 二次型上的直线 3 当时 l 旋转后 l 线性无关 属于 六维空间的三维线性子空间 且当 即 a 与 l 共面时 直线扫描形成锥面 或柱面 轴线 a 属于该子空间 当 即 a 与 l 异面时 直线扫描形成单叶 双曲面 轴线 a 不属于该子空间 以上表明三维空间中的直线绕定直线a旋转所得的所有直线t l的klein坐 标属于六维空间中的某一线性子空间 该子空间维数可能为一维 二维或三维 南昌航空大学科技学院学士学位论文 19 2 3 32 3 3 平移平移 直线l在三维空间中只作平移扫描时 设位移矢量为p t 相应的l的klein坐 标变换为 其klein像为一点 为常矢量时 是 六维空间的一维线性子空间 因工程实际中 与l 0 线 性无关 所以l t 属于六维空间的二维线性子空间 其klein像是直线 此时扫描 形成的是平面 否则 是六维空间的二维线性子空间 所以l t 属于六维 空间的三维线性子空间 其klein像共面 2 3 42 3 4 螺旋运动螺旋运动 螺旋运动是指刚体绕空间轴旋转和沿该轴的平移运动 一条异于轴 的直线在螺旋运动下扫描所得曲面就是螺旋直纹面 不失一般性 如图1所示建立坐标系 坐标原点为轴线a与直线l0的公垂线和轴线a的交点 若a与 l0相交 交点为坐标原点 以 为z轴 为x 轴 则扫描所形成的直纹面母 线族为 式中 p 为螺旋节距 容易证明由直线l旋转其klein坐标满足关系 在时刻t 直线l t 与轴线的公垂线分别交直线和轴线于点a t 与b t 当 时 点a t 与b t 重合 当 点a t 运动轨迹为螺旋线 设b t 在轴线上的坐标为d t 则其沿着轴线匀速平动 必满足条件 其中 t 为l t 的旋转角 常见的直纹面有圆锥面 圆柱面 单叶双曲面 抛物双曲面 螺旋面 它们的 klein像特征见表2 2 由于曲面具有几何不变性 即与坐标系的选取无关 所以刚 体运动不会改变上述几种常见直纹面的klein像的特性 共面性质 南昌航空大学科技学院学士学位论文 20 表2 2 几种特殊直纹面的klein像特征 南昌航空大学科技学院学士学位论文 21 2 42 4 等距曲线和等距曲面等距曲线和等距曲面 2 4 12 4 1 等距曲线等距曲线 在数控机床加工零件时 由机床控制刀具中心 使零件得到一定的形状 刀具 路径和被加工件的外型曲线是两条相互平行的曲线 这就是等距线的一种具体形式 等距线的定义 已知一条曲线 让上每一点沿在这点的法线的一定方向 或 法矢 移动一段距离 a 得到新的点 这些新的点的轨迹称为的等距曲线 1 等距线的方程 设曲线的矢函数为 南昌航空大学科技学院学士学位论文 22 2 17 tytxtr 可以计算它的单位法矢为 12 nn 和 2 18 1 2222 y tx t n x ty tx ty t 21 nn 双重符号的选取 可由图 2 3 决定 那么它的等距线方程为 11 2222 y tx t r tx ty tx tay ta x ty tx ty t 2 19 当同时取 号时 公式 2 18 表示等距线的方程 同时取 号时 则 1 2 18 表示的方程 2 图3 1 等距线示意图 图2 3 等距曲线示意图 2 4 22 4 2 等距曲面等距曲面 类似于等距曲线的概念的引入 也可以建立等距曲面的概念 例如在加工曲面 时 由球刀中心点的运动得到的轨迹形状也就是被加工曲面的平行曲面 若已知一张曲面 让上每一点沿这点法矢的一定方向移动一段距离 a 得到 新的点的轨迹就称为的法向等距面 以下推导等距面的方程 1 设曲面的矢量方程 2 20 rr u vx u vy u v z u v 故曲面在任一点的单位法矢为 0000 mxyz 南昌航空大学科技学院学士学位论文 23 2 21 0 uv uv rr n rr 这样 法向等距面 2 22 0 rr u vr u van 在实际应用中 公式 2 21 可以用来计算半径为 a 的刀具中心轨迹 南昌航空大学科技学院学士学位论文 24 3 3 三元整体叶轮的曲面造型三元整体叶轮的曲面造型 3 13 1 叶轮的曲面造型方法研究叶轮的曲面造型方法研究 3 1 13 1 1 叶片的曲面构型原理及方法叶片的曲面构型原理及方法 在实际生产过程中 叶轮叶片曲面的轮廓形状是由实验的方法来确定的 这种 以离散点来决定形状的零件曲面称为列表自由曲面 16 其特点是列表曲线上的各离 散点之间没有严格的连续规律 而在加工中往往要求曲面能平滑地通过各点 并满 足加工精度要求 在处理该类自由曲面时 首先要选择一个或多个插值方程来描述它 下面针对 叶片曲线构造设计中给出的离散点进行b样条曲线插值 3 1 23 1 2 离散点