阶微分方程的解的存在定理.docx

安徽理工大学一阶微分方程的解的存在定理数学文化徐正 20113051082013/4/9采用皮卡（Picard）的逐步逼近法证明一阶微分方程在满足一定的初值条件时的解的存在唯一性定理。一阶微分方程的解的存在定理数学文化的读书报告徐正数学11-2,2011305108摘要 采用皮卡（Picard）的逐步逼近法证明一阶微分方程在满足一定的初值条件时的解的存在唯一性定理。关键词 利普希茨条件 唯一 连续 初值条件引言存在唯一性定理可以明确地肯定微分方程的解在满足一定条件下的存在性和唯一性，它将是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能够求得精确解的微分方程不多，所以微分方程的近似解法（包括数值解法）就具有十分重要的实际意义，而解的存在和唯一性又是进行近似计算的前提。因此，对初值问题的解的研究就被提高到了重要的地位。那自然要问：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一呢？定义1 设一阶微分方程 yx=fx,y （1）这里fx,y是在矩形域R：x-xoa，y-yob上的连续函数。定义2 函数fx,y称在R上关于y满足利普希茨（Lipschitz）条件，如果存在常数L 0，使得不等式fx,y1-fx,y2Ly1-y2对于所有x,y1，x,y2R都成立，L称为利普希茨常数。定理 如果fx,y在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程（1）存在唯一的解y= x，定义于区间x-xoh，连续且满足初值条件x0=y0，这里h=mina,bM，M=maxx,yRfx,y。 证明 为了简单起见，现只就区间x0xx0+h进行讨论，对于x0-hxx0的讨论同理。有关逐步逼近法证明解的存在唯一性定理的主要思想可以参考文献【1】下面分五个命题来证明定理命题1 设y=x是方程（1）定义于区间x0xx0+h上，且满足初值条件 x0=y0 （2） 的解，则y=x是积分方程y=yo+x0xfx,yx，x0xx0+h （3）上的连续解。反之亦然。证明 因为y=x是方程（1）的解，故有xx=fx,x，两边从x0到x取定积分得 x- x0=x0xfx,xx，x0xx0+h， 把（2）代入上式，即有 x=y0+x0xfx,xx，x0xx0+h，因此，y= x是（3）的定义于x0xx0+h上的连续解。反之，如果y= x是（3）的连续解，则有 x=y0+x0xfx,xx，x0xx0， （4）微分得 xx=fx,x，又把x=x0代入（4），得到x0=y0，因此，y= x是方程（1）的定义于x0xx0+h上，且满足初值条件（2）的解。命题1证毕 。现在取x0=y0，构造皮卡逐步逼近函数序列如下： x0=y0 （5） nx=y0+x0xf,n-1，xoxx0+h （n=1,2）命题2 对于所有的n，（5）中函数nx在xoxx0+h上有定义连续且满足不等式 nx-y0b （6）证明 当n=1时，1x=y0+x0xf,y0。显然1x在x0xx0+h上有定义连续且有 nx-y0= x0xf,y0 x0xf,y0 M（x-xo）Mhb，即命题2当n=1时成立。设命题2 当n=k时成立，也即kx在x0xx0+h上有定义连续且满足不等式nx-y0b，这时 k+1x=y0+x0xf,k。 由假设，命题2当n=k时成立，知道k+1x在x0xx0+h上有定义连续且有k+1x-y0x0xf,k M（x-xo）Mhb，即命题2当n=k+1时也成立。由数学归纳法得知命题2对于所有n均成立。 命题2证毕。 命题3 函数序列nx在x0xx0+h上一致收敛。 证明 考虑级数 nx+k=1kx-k-1x，x0xx0+h， （7）它的部分和为 0x+k=1kx-k-1x=nx，因此，要证明函数序列nx在x0xx0+h上一致收敛，只须证明（7）在x0xx0+h上一致收敛。为此，由（5）有 1x-0xx0xf,0M（x-xo） (8)及 2x-2xx0xf,1. 利用利普希茨条件及（8），得到 2x-2xLx0x1-0 Lx0xM-xo= ML2! x-x02。设对于正整数n，不等式nx-n-1x MLn-1n! x-x0n成立，则由利普希茨条件，当x0xx0+h时，有n+1x-nxx0xf,n-f,n-1 Lx0xn-n-1 MLnn!x0x -x0n=MLn（n+1）!x-x0n+1于是，对于所有的正整数k，有： kx-k-1x MLk-1k!x-x0k，x0xx0+h （9）从而可知，当x0xx0+h时 kx-k-1xMLk-1k!hk （10）(10)的右端是正项收敛级数k=1MLk-1k!hk的一般项。由Weierstrass判别法，级数（7）在x0xx0+h上一致收敛，因而函数序列nx在x0xx0+h上一致收敛。命题3证毕。设limnnx=x，则x也在x0xx0+h上连续，且由（6）可知x-y0b。命题4 x是积分方程（3）定义于x0xx0+h上的连续解。证明 由利普希茨条件fx,nx-fx,xLnx-x以及nx在x0xx0+h上一致收敛于x，即知序列 fx,nx 在x0xx0+h上一致收敛于fx,x。因而，对（5）两边取极限，得到 limnnx=y0+limnx0xf,n-1 =y0+x0xlimnf,n-1x，即 x=y0+x0xf,，这就是说，x是积分方程（3）定义于x0xx0+h上的连续解。命题4证毕。 命题5 设x是积分方程（3）定义于x0xx0+h上的另一个连续解，则x= x（x0xx0+h）。 证明 证x也是序列nx的一致收敛极限函数。为此，从 0x=y0，nx=y0+x0xf,n-1 （n1）， x=y0+x0xf,，有： 0x-xx0xf,M（x-xo）, 1x-xx0xf, 0-f, Lx0x0- MLx0x-xo=ML2!x-x02.现设 n-1x-x MLn-1n!x-x0n，则 nx-xx0xf, n-1-f, Lx0xn-1- MLnn!x0x -x0n =MLn（n+1）!x-x0n+1，故对于所有的正整数n，有： nx-xMLn（n+1）!x-x0n+1， （11）因此，在x0xx0+h上有 nx-xMLn（n+1）!hn+1。 （12） MLnn+1!hn+1是收敛级数的公项，故n时，MLnn+1!hn+10.因而nx在x0xx0+h上一致收敛于x。根据极限的唯一性，得 x= x（x0xx0+