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湖南科技大学毕业设计（论文）题目状态滞后系统的稳定性分析与控制方法研究作者刘任远学院信息与电气工程学院专业电气工程及其自动化学号0802060110指导教师周兰二一二年六月五日湖南科技大学毕业设计（论文）任务书 信息与电气工程 院 电气 系（教研室）系（教研室）主任: （签名） 年 月 日学生姓名: 刘任远 学号: 0802060110 专业: 电气工程及其自动化 1 设计（论文）题目及专题： 状态滞后系统的稳定性分析与控制方法研究 2 学生设计（论文）时间：自2012年年 1 月 15 日开始至2012年5月28日止3 设计（论文）所用资源和参考资料：(1) Matlab控制系统设计与分析；(2) 吴敏等人编写的现代鲁棒控制、何勇博士论文的基于自由权矩阵的时滞相关鲁棒稳定与镇定；(3) 国内外关于时滞系统鲁棒控制设计的相关文献。4 设计（论文）应完成的主要内容：(1) 时滞相关与时滞无关的鲁棒稳定性条件；(2) 时滞系统鲁棒稳定性分析与镇定的国内外研究现状；(3) 时滞相关与时滞无关的鲁棒镇定设计及仿真5 提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求：严格按照湖南科技大学毕业设计论文模板安排毕业设计论文格式，同时提交电子稿和文本文稿。6 发题时间： 2012 年 1 月 15 日指导教师： （签名）学 生： （签名）湖南科技大学毕业设计（论文）指导人评语主要对学生毕业设计（论文）的工作态度，研究内容与方法，工作量，文献应用，创新性，实用性，科学性，文本（图纸）规范程度，存在的不足等进行综合评价指导人： （签名）年 月 日 指导人评定成绩： 湖南科技大学毕业设计（论文）评阅人评语主要对学生毕业设计（论文）的文本格式、图纸规范程度，工作量，研究内容与方法，实用性与科学性，结论和存在的不足等进行综合评价评阅人： （签名）年 月 日评阅人评定成绩： 湖南科技大学毕业设计（论文）答辩记录日期： 学生： 学号： 班级： 题目： 提交毕业设计（论文）答辩委员会下列材料：1 设计（论文）说明书共页2 设计（论文）图纸共页3 指导人、评阅人评语共页毕业设计（论文）答辩委员会评语：主要对学生毕业设计（论文）的研究思路，设计（论文）质量，文本图纸规范程度和对设计（论文）的介绍，回答问题情况等进行综合评价答辩委员会主任： （签名）委员： （签名）（签名）（签名）（签名） 答辩成绩： 总评成绩： 摘要时滞现象常常出现在各种工程、生物和经济等系统中，其研究在过去数十年来得到了许多学者的广泛关注。时滞常常是导致系统不稳定的的一个重要原因。时滞系统的稳定条件可分为两大类：时滞相关条件和时滞无关条件。时滞相关条件由于考虑了时滞信息，因此比时滞无关条件具有更低的保守性。目前，时滞相关研究的主要方法是确定模型变换即利用一个积分项来表示时滞项的方法。这种确定模型变换的方法中主要使用四种基本的模型变换，其中的广义模型变换结合Park和Moon等的不等式是目前最有效的方法，但还存在一定的局限性：在Lyapunov泛函的导数中，时滞项在某些地方被替换，而在其它一些地方则被保留下来，使得表示牛顿-莱布尼茨公式中各项相互关系的权矩阵是固定的。本文的主要研究内容包括：首先综述了状态滞后系统含义，稳定性研究状况及其鲁棒控制理论；然后针对线性不确定系统和线性不确定时滞系统，研究这些系统的状态反馈鲁棒控制器的设计方法,基于线性矩阵不等式(LMI)和Lyapunov稳定性理论，研究线性不确定系统、线性不确定时滞无关系统以及线性不确定时滞相关系统的渐近稳定的充分条件，得到它们的鲁棒控制器设计方法，并根据设计实例进行了仿真研究，结果验证了所提方法的稳定性。关键词：状态滞后系统；稳定性研究；鲁棒控制；不确定性；线性时滞系统；状态反馈AbstractSystems with time delays are frequently encountered in areas as diverse as engineering,biology,and economics,and have been attract-ing a great deal of attention over the past few decades because delays are ofen a source of instability.There are two types of stability critetia for such systems:delay-dependent and delay-independent.Since delay-dependengt criteria make use of information on the length of delays,they are less conservative than delay-independent ones.The main method employed to derive delay-dependent criteria involves a fixed model transformation,which expresses the delay term in terms of an integral.And there are four basic model transformations that are commonly used.Among them,the descriptor model transformation combined with Parks or Moon et al.s inequalities is the most efficient and least conservative.However,it uses the Leibniz-Newton formula in the derivative of the Lyapunov functional,and the delay term is resplaced by in some places but retained in others in orde to make the Lyapunov functional easier to handle.While this method is equivalent to using preselected fixed weighting matrices to express the relationships between the terms in the Leibniz-Newton formula,there must exist optimal weighting matrices for those terms.So,there is room to reduce the conservatism of the method.Summarily the contents of this paper are outlined as follows: first, review the delayed state meaning system, stability research situation and robust control theory; then,for the linear uncertain system and the linear uncertain time-delay systems research the robust stability conditions and design technique of robust controller for these systems, base on the linear matrix inequality(LMI) and Lyapunov stability theory, a sufficient condition for linear uncertain system, linear uncertain delay-independent system and linear uncertain delay-dependent system to be asymptotically stable is presented, getting the design technique of their controller, and according to design examples and the simulation study ,the results show that the system is stable.Key words: Delayed state system; Stability studies; robust control; uncertainty; linear time-delay system; state feedback-ii-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）目录第一章 绪论11.1时滞系统概述11.2时滞相关条件及其研究方法11.3时滞相关的稳定性研究及其控制问题21.3.1稳定性研究21.3.2鲁棒控制理论31.4 论文相关准备知识41.4.1 线性矩阵不等式基础41.4.2 LMI工具箱简介71.4.3一些常用的基本引理81.5本文研究的主要内容9第二章 线性时滞系统稳定性分析102.1引言102.2时滞系统稳定性分析基本方法102.3本章小结13第三章 线性时滞系统时滞无关的状态反馈控制143.1 引言143.2线性不确定系统的鲁棒控制器设计153.2.1 问题描述153.2.2 主要结果和推导过程163.2.3 仿真实例173.3线性不确定时滞系统时滞无关鲁棒控制器设计183.3.1 问题描述183.3.2 主要结果和推导过程193.3.3 仿真实例203.4 具有时滞项不确定的线性时滞系统时滞无关鲁棒控制器设计223.4.1 问题描述223.4.2 主要结果和推导过程233.4.3 仿真实例243.5本章小结26第四章 线性时滞系统时滞相关的状态反馈控制274.1引言274.2线性不确定时滞系统时滞相关鲁棒控制器设计274.2.1 问题描述274.2.2 主要结果和推导过程284.2.3 仿真实例314.3 本章小结32参考文献32致谢34附录35-iv-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）第一章 绪论1.1时滞系统概述在一些物理和生物现象中，现在的状态变化率依赖于过去的状态，系统的这种特性称之为时滞，而具有时滞的系统称之为时滞系统。时滞是客观世界和工程技术中普遍存在的问题。近年来对时滞系统的研究得到了众多学者的广泛关注，并取得了丰硕的成果。在实际系统如电子网络、微波振荡器、核反应堆、化学过程、手动控制、水力远程传送等过程中均存在时滞。引起时滞的主要因素：系统变量的测量、系统设备的物理性质、物质及信号的传递等。时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，且时滞的存在往往是系统不稳定和系统性能变差的根源。正是由于时滞系统在实际中的大量存在，以及时滞系统分析和控制的困难性，使得时滞系统的分析和综合一直是控制理论和控制工程领域中研究的一个热点问题。研究时滞系统通常使用的工具主要有Riccati矩阵方程与线性矩阵不等式。特别是线性矩阵不等式方法的广泛应用，使得有关线性时滞系统的控制问题的研究得到了飞速发展。纵观时滞系统的研究和发展，有两条主要研究途径，即时域方法和频域方法两大类，采用频域法设计时滞系统的控制器随着系统维数的提高，系统特征方程的处理变得非常复杂，因此问题的处理的难度变得相当大，且对于时变时滞系统这类方法难于应用，因此近年来有关不确定时滞系统的结论基本上都是用时域的分析方法取得的。1.2时滞相关条件及其研究方法在二十世纪九十年代以前，提出的关于时滞系统的结论基本上都是与时滞的大小无关的，也就是说在进行系统稳定性或其它性能研究时，不考虑时滞的大小，即对时滞不作任何限制，这样所得到的结论显然对于任意的时滞都是成立的。然而，许多实际系统中的时滞一般都是有界的，无穷时滞很少出现，这种不考虑时滞大小的结论，因为适用于任意大小的时滞，当时滞有界时，或者时滞比较小时，是相当保守的，这类不考虑时滞大小的条件被称之为时滞无关条件14。与之相对应，考虑了时滞大小对系统稳定性和性能的影响的条件，就称为时滞相关条件。例如，就系统的稳定性而言，考虑线性时滞系统 (1.1)假设当时，系统是稳定的，那么根据系统的连续性，当很小时系统应该是稳定的。但是，并非对任意系统都是稳定的，这样一定存在着一个上界，当小于这个上界的时候，能保证系统的稳定性，这样，与保证系统稳定性的时滞上界相关的准则，就称为时滞相关稳定条件。目前，由于频域方法在处理时变时滞问题上的局限性，国际上针对时滞相关问题主要采用时域研究方法，可分为三类：离散 Lyapunov泛函方法，确定模型变换方法和参数化模型变换方法。离散Lyapunov泛函方法主要用于讨论一类具有定常时滞的线性系统、中立型系统的稳定性，对Lyapunov泛函进行离散化，所得结果能用LMI表示58。该方法的优点是：对于保证系统稳定的时滞界限的估计非常接近于实际值，但其算法复杂，更重要的是这一方法还有两个重要的局限性：第一，这类方法只适用于具有定常时滞的系统，对于具有时变时滞的系统是失效的；第二，这类方法很难推广到综合问题。因此，这类方法从1997年GU5提出后，只有少数学者进行研究，没有得到广泛的推广和应用。确定模型变换方法主要是将一个具有离散时滞的系统通过牛顿-莱布尼茨公式转化为一个具有分布时滞的新系统，再对这个新系统进行讨论。参数化模型变换方法的特点是将系统的时滞项分成两部分，一部分看成时滞无关部分，另一部分用确定的模型变换来进行处理。在国内，也有许多学者致力于时滞控制系统的时滞相关条件研究，绝大多数是利用确定模型变换方法对各种时滞系统的分析和综合问题进行讨论，涉及鲁棒稳定、鲁棒控制、鲁棒H控制、保成本控制、可靠控制、滤波、非线性系统、混沌系统等。1.3时滞相关的稳定性研究及其控制问题1.3.1稳定性研究稳定性研究是控制理论中一个非常重要的基础问题，有许多专著对此进行了深入的讨论911。对于时滞系统，其稳定性研究起源于上一世纪五十年代，研究方法有频域和时域方法，而频域方法是最早的稳定性研究方法，它通过特征方程根的分布12或复Lyapunov矩阵函数方程的解13来判别稳定性，只适用于定常时滞系统。时域方法主要有Lyapunov泛函方法和Razumikhin函数方法，它们分别由Krosovskii和Razumikhin创立于上一世纪五十年代末14，是时滞系统稳定性分析的一般方法。上一世纪九十年代以前，由于没有一般的方法来构造Lyapunov泛函或Lyapunov函数，所得到的条件一般也只是一些存在性条件而且不可能获得一般解。后来，利用Riccati方程或线性矩阵不等式（LMI）15并利用Matlab工具箱的求解方法，利用它们的解来构造Lyapunov泛函或Lyapunov函数，使得其应用在线性系统的稳定性分析中起到了非常重要的作用。与稳定性密切相关的是镇定问题。所谓镇定就是寻找反馈控制器使闭环系统稳定，主要采用的反馈方案有状态反馈和输出反馈两种情形。虽然稳定性分析有频域方法和时域方法两种，但因为通过频域方法求解镇定问题非常困难，一般都采用时域方法求解。目前，在时滞相关镇定和控制等综合问题中，即使对于简单的状态反馈情形，也还没有比较有效的控制器综合算法，对于输出反馈情形就更加困难了。1.3.2鲁棒控制理论控制系统就是使控制对象按照预期目标运行的系统，当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。这个理论和应用自动控制的关键是，做出正确的测量和比较后，如何才能更好地纠正系统。80年代以来，反馈控制理论获得了惊人的发展，已经变得更加严密，更加符合实际，由此发展起来的鲁棒控制理论为处理不确定性提供了有效的手段。鲁棒控制方面的研究始于20世纪60年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点1617。鲁棒控制方法适用于稳定性和可靠性作为首要目标的应用，同时过程的动态特性已知且不确定因素的变化范围可以预估。飞机和空间飞行器的控制是这类系统的例子。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。由于工作状况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制，成为国内外科研人员的研究课题。鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统(SISO)在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析18。然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动。因此产生了以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法。其设计目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小的必须满足的要求，一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。鲁棒控制理论所要研究的问题不外乎两大方面，即分析和综合。在分析方面要研究的是：当系统存在各种不确定性及外加干扰时，系统性能变化的分析，包括系统的动态性能和稳定性等。在综合方面要研究的是：采用什么控制结构、用什么设计方法可保证控制系统具有更强的鲁棒性，包括如何对付系统中存在的不确定性和外加干扰的影响，并且鲁棒稳定性是一类具有非常重要的实用价值的稳定特性。大量的实际应用要求即使在如上所述的条件下控制律依然可以保证系统的稳定，即所谓的鲁棒镇定。因此，线性不确定系统的鲁棒控制研究具有较高的实用价值，对于实际控制系统的设计和应用更具有指导意义。除了不确定性，时滞也是系统设计分析中需要注意的一个重要因素。任何系统中，物质和能量的传输都需要时间，因此时滞是过程的固有特性，是不可避免和普遍存在的。而它所产生的一个后果就是，当控制参数已经变化时，被控量并不立即变化，而是要延迟一段时间才开始变化。随着控制系统变得越来越复杂，控制精度的要求越来越高，时滞已经不能在分析设计时加以忽略，而是要建立明确的时滞微分方程以作为更为精确的数学模型。因而时滞系统的研究不仅仅在于理论上巨大意义，还在于实际控制系统设计和应用的迫切需要。1.4 论文相关准备知识1.4.1 线性矩阵不等式基础在时间域中研究参数不确定系统的鲁棒分析和综合问题的主要理论基础是Lyapunov稳定性理论，早期的一种主要方法是Riccati方程处理方法。它是通过将系统的鲁棒分析和综合问题转化成一个Riccati型矩阵方程的可解性问题，进而应用求解Riccati方程的方法给出系统具有给定鲁棒性能的条件和鲁棒控制器的设计方法。尽管Riccati方程处理方法可以给出控制器的结构形式，便于进行一些理论分析，但是在实施这一方法之前，往往需要设计者事先确定一些待定参数，这些参数的选择不仅影响到结论的好坏，而且还会影响到问题的可解性。但在现有的Riccati方程处理方法中，还缺乏寻找这些参数最佳值的方法，参数的这种人为确定方法给分析和综合结果带来了很大的保守性。另一方面，Riccati型矩阵方程本身的求解也还存在一定的问题。目前存在很多求解Riccati型矩阵方程的方法，但多为迭代方法，这些方法的收敛性并不能得到保证。20世纪90年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式再一次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域中。许多控制问题可以转化为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题。由于有了求解凸优化问题的内点法，使得这些问题可以得到有效的解决。1995年，MATLAB推出了求解线性矩阵不等式问题的LMI工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地来处理、求解线性矩阵不等式系统，进一步推动了线性矩阵不等式方法在系统和控制领域中的应用。线性矩阵不等式处理方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的许多不足。线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解。正是这种凸约束条件，使得在控制器设计时，得到的不仅仅是一个满足设计要求的控制器，而是从凸约束条件的任意一个可行解都可以得到一个控制器，即可以得到满足设计要求的一组控制器。这一性能在求解系统的多目标控制问题时是特别有用的。（1）线性矩阵不等式的表示式近10年来，线性矩阵不等式被广泛用来解决系统与控制中的一些问题，随着解决线性矩阵不等式的内点法的提出、MATLAB软件中LMI工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视，应用线性矩阵不等式来解决系统与控制问题已成为这些领域中的一大研究热点。线性矩阵不等式(LMI)具有如下的一般形式(1.2)其中：是个实数变量，称为是线性矩阵不等式(1.2)的决策变量，是由决策变量构成的向量，称为决策向量。，是一组给定的实对称矩阵。式(1.2)中的不等号指的是矩阵是负定的，即对所有非零的向量，或的最大特征值小于零。所有满足线性矩阵不等式(1.2)的x的全体构成一个凸集。如果把看成是从到实对称矩阵集的一个映射，则可以看出并不是一个线性函数，而只是一个仿射函数。因此，更确切地说，不等式(1.2)应该称为一个仿射矩阵不等式。但由于历史原因，目前线性矩阵不等式这一名称已被广泛接受和使用。如果在(1.2)式中用“”代替“”，则相应的矩阵不等式称为非严格的线性矩阵不等式。显然，多个LMI可用一个LMI表示，即等价于对二次非线性矩阵不等式，通过Schur补引理可以转化为LMI，从而推广LMI在控制理论研究中应用范围，其基本思想是：若，则，等价于（2）一些标准的线性矩阵不等式问题本节介绍三类标准的线性矩阵不等式问题。在MATLAB的LMI工具箱中给出了这三类问题的求解器。假定其中的、和是对称的矩阵值仿射函数，是一个给定的常数向量。(1) 可行性问题(LMIP)：对给定的线性矩阵不等式，检验是否存在，使得成立的问题称为一个线性矩阵不等式的可行性问题。如果存在这样的，则该线性矩阵不等式问题是可行的，否则这个线性矩阵不等式就是不可行的。(2) 特征值问题(EVP)：该问题是在个线性矩阵不等式约束下，求矩阵的最大特征值的最小化问题或确定问题的约束是不可行的。它的一般形式是：这样一个问题也可以转化成以下的一个等价问题：这也是LMI工具箱中特征值问题求解器所要处理问题的标准形式。(3) 广义特征值问题(GEVP)：在一个线性矩阵不等式约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广义特征值的最小化问题。对给定的两个相同阶数的对称矩阵和，对标量，如果存在非零向量，使得,则称为矩阵和的广义特征值。矩阵和的最大广义特征值的计算问题可以转化成一个具有线性矩阵不等式约束的优化问题。事实上，假定矩阵是正定的，则对充分大的标量，有。随着减小，并在某个适当的值，将变为奇异的。因此，存在非零向量，使得。这样的一个就是矩阵和的广义特征值。根据这样的思想，矩阵和的最大广义特征值可以通过求解以下的优化问题得到：当矩阵和是的一个仿射函数时，在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵函数和的最大广义特征值的最小化问题的一般形式如下：通常，在控制理论研究中所遇到的二次非线性矩阵不等式，通过下面Schur补引理可以转化为线性矩阵不等式，这也是线性矩阵不等式在控制理论研究中能得到广泛应用的主要原因之一。下面给出Schur引理的具体描述。引理(Schur补引理)假设对称矩阵，并且可以进行以下分块其中是维的，假定非奇异，则称为是在中的Schur补，那么以下三个结论等价：上述结论中的所有不等式都是严格不等式，如果遇有非严格的不等式，则用到下列推广了的Schur补引理：引理假设对称矩阵，并且可以进行以下分块分块定义同引理，则等价于下述三个约束条件：注意到引理的(2)式和(3)式中的第二个不等式以及引理式后两个不等式均为非线性矩阵不等式，因此以上的等价关系说明了应用矩阵的Schur补性质，一些非线性矩阵不等式可以转化成线性矩阵不等式，从而利用现有的软件MATLAB中的LMI工具箱可以直接对问题求解。线性矩阵不等式处理方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的许多不足。线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解。正是这种凸约束条件，使得在控制器设计时得到的不仅仅是一个满足设计方法的控制器，而且是从凸约束条件的任意一个可行解都可以得到的一个控制器，即可以得到满足设计要求的一组控制器。1.4.2 LMI工具箱简介线性矩阵不等式(LMI)工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：(1) 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；(2) 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息；(3) 修改现有的线性矩阵不等式系统；(4) 求解三个一般的线性矩阵不等式问题；(5) 验证结果。LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式：式中，是具有一定结构的矩阵变量，左、右外因子和是具有相同维数的给定矩阵，左、右内因子和是具有相同分块结构的对称块矩阵。LMI工具箱提供了用于求解如下三个标准问题的线性矩阵不等式求解器：(1) 可行性问题(LMIP)，对应的求解器函数feasp( )的一般表达式如下：tmin,xfeas=feasp(lmisys,options,target)求解器feasp( )是通过求解如下的一个辅助凸优化问题来求解线性矩阵不等式系统limisys的可行性问题；(2) 特征值问题(EVP)，对应的求解器函数Mincx( )的一般表达式如下：copt,xopt=mincx(lmisys,options,xinit,target)求解器Mincx( )求解的优化问题如下这是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的最小化优化问题；(3) 广义特征值问题(GEVP)，对应的求解器函数gevp( )的一半表达式如下：lopt,xopt=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)对于给定的两个相同阶数的对称矩阵、和标量，如果存在非零向量，使得，则称为是矩阵和的广义特征值。求解器gevp( )给出了优化问题的全局最小值lopt和决策向量的最优解xopt。控制系统中的一些性能指标、稳定性判据可以转化为LMI的以上三类标准问题，其原因是：一方面Lyapunov方法易得到凸的或拟凸的条件；另一方面LMI本身能表示范围广泛的不同类凸约束。1.4.3一些常用的基本引理引理1为适维的常数矩阵，并且，是适维的单位矩阵，则存在，使得下式成立：引理2给定适当维数的矩阵、和，其中对称的，则对所有满足的矩阵成立，当且仅当存在一个常数，使得引理3对给定的对称矩阵，其中是rxr维的。以下三个条件是等价的：(1) ；(2) ；(3) 在一些控制问题中，经常遇到二次型矩阵不等式：其中：是给定的适当维数的常数矩阵，是对称矩阵变量，则应用引理3，可以将该二次型矩阵不等式可行性问题转化成一个等价的矩阵不等式引理4是适维矩阵，是适维单位阵，是同维向量，则下式成立：，其中引理5在引理4中，如果令则：1.5本文研究的主要内容本文主要研究的内容有：线性时滞系统稳定性分析；基于MATLAB中的LMI工具箱以及Lyapunov稳定性定理，分别对线性不确定系统、线性不确定时滞无关系统以及线性不确定时滞相关系统的鲁棒控制器进行设计，然后根据设计实例，进行仿真研究。第二章 线性时滞系统稳定性分析2.1引言从系统理论的观点看，任何实际系统的过去状态不可避免地要对当前的状态产生影响，即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态，也依赖于过去某一时刻或若干时刻的状态，这类系统称为时滞系统。时滞产生的原因有很多，如：系统变量的测量(复杂的在线分析仪)、长管道进料或皮带传输、缓慢的化学反应过程等都会产生时滞。时滞常见于电路、光学、神经网络、生物环境及医学、建筑结构、机械等领域，由于应用背景广泛，受到很多学者的关注。从理论分析的角度来看，在连续域中，时滞系统是一个无穷维的系统，特征方程是超越方程，有无穷多个特征根，而在离散域中，时滞系统的维数随时滞的增加按几何规律增长，这给系统的稳定性分析和控制器设计带来了很大的困难。因此，对于时滞系统的控制问题，无论在理论还是在工程实践方面都具有极大的挑战性。常见的时滞系统包括奇异时滞微分系统、脉冲时滞微分系统、Lurie时滞系统、中立型时滞系统和随机时滞系统等。其基本理论建立于20世纪五、六十年代，迄今为止，研究的成果相当丰富1923。2.2时滞系统稳定性分析基本方法从工程实践的角度来看，时滞的存在往往导致系统的性能指标下降，甚至使系统失去稳定性。例如系统 (2.1)是稳定的，但加入时滞项后，系统 (2.2)变得不稳定。同时，时滞也可以用来控制动力系统的行为，例如时滞反馈控制已成为控制混沌的主要方法之一2425。通常用泛函微分方程来描述时滞系统，以含单时滞的微分方程为例，即 (2.3)其中为时滞，初始条件有定义在的连续可微函数确定，系统时的行为不仅依赖于时刻的状态，而且与时间段内的运动有关，因此解空间是无穷维的。其特征方程是含有指数函数的超越方程，即 (2.4)讨论特征根需要用到很多复变函数的知识。早在1942年，Pontryagin就提出了一种原则性方法Pontryagin判据来解决这一问题，之后很多工作致力于对这一判据具体化，使之更加实用21，2627。目前，主要应用泛函数微分方程理论，泛函微分方程理论考虑了系统的过去对系统变化率的影响。利用有限维空间以及泛函空间提供一套适当的数学结构以描述时滞系统的状态变化。目前，研究时滞系统主要是应用泛函微分方程理论，研究范围涉及稳定性分析、控制器设计、H控制、无源与耗散控制、可靠控制、保成本控制、H滤波、Kalman滤波以及随机控制等不管研究哪个分支，稳定性都是基础，对最终形成控制方案具有非常重要的理论和现实意义。时滞系统稳定性分析的目的是希望找到计算简单、切实有效并且保守性尽可能小的稳定性判据，研究方法主要分为两类：一类是以研究系统传递函数为主的频域方法；另一类是以研究系统状态方程为主的时域(状态空间)方法。(1)频域法频域法是最早提出的稳定性分析方法，它基于超越特征方程根的分布或复Lyapunov矩阵函数方程的解来判别稳定性。类似于不包含时滞的线性系统，线性时滞系统稳定的充要条件是闭环特征方程的解均具有负实部。由于时滞系统闭环特征方程是一个具有无穷多解的超越方程，其稳定性分析比无时滞系统要复杂得多。但是利用频域法对系统进行分析具有直观易懂的特点，只要分析系统的特征根分布就可在一定程度上了解系统的稳定性和动态性能，并且计算量小、物理意义强，因此采用频域方法进行线性时滞系统稳定性分析，具有重要的理论意义和实际价值。从频域角度出发，对系统进行稳定性分析的方法主要包括：图解法、解析法和复Lyapunov方法。Nikiforuk于1965年提出一种简单的双轨迹法的图解方法；Mukherjee在此基础上探讨了控制环增益与系统前向通道中时滞之间的变化关系；最近，运用双轨迹法进行时滞系统稳定性分析的文献还有很多。利用解析法进行相关研究的文献包括：文献28利用超越特征方程根的分布得到了稳定的充分条件。Thowsen通过引入适当的变换，将特征方程化为非超越的形式得到了RouthHurwitz型稳定性判据。Watanabe等通过有限谱配置分析时滞系统的稳定性。文献29基于Pontryagin判据提出了适用于准多项式的Hermite- Biehler推广定理。Rekasius以时滞项的双线性变换为基础提出了一种伪时滞法，在此基础上olgac证明了这种双线性变换的引入有助于准多项式的稳定性分析，并可用来方便地估计闭环特征式的虚轴零点.Walton提出了一种不需要引入双线性变换而能够删除准多项式中指数项的直接法。Zhang给出了基于Lyapunov方程的线性时滞系统稳定条件，并建立了该条件与用于鲁棒性分析的小增益定理之间的等价关系.。复Lyapunov方法是Repin于20世纪80年代首次提出的，其思想是利用复Lyapunov方程的正定Hermitian矩阵解进行稳定性分析。该想法被Brierley等用来研究复Lyapunov方程正定Hermitian解的存在性，进而得到一个具有可公度时滞的线性系统稳定性的充要条件。Lee等将这一结果推广到中立型时滞系统。Agathoklis等进一步研究了具有不可公度滞后的线性系统，得到了稳定性的充分条件。虽然频域法理论上容易得到系统稳定的充要条件，但在考虑控制器的设计时，由于涉及到系统特征方程的处理，计算非常复杂，特别是对于多变量高维系统、非线性微分系统或中立型系统。并且，频域法难于处理含有不确定项以及参数时变的时滞系统。(2)时域法时域法是目前时滞系统稳定性分析和综合的主要方法，易于处理含有不确定项、时变参数和时变时滞的系统以及非线性时滞系统。时域法主要包括Lyapunov-Krasovskii泛函法、Razumikhin函数法、Lyapunov函数结合Razumikhin型定理方法、时滞不等式方法。Lyapunov泛函法和Razumikhin函数法，分别由Krasovskii和Razumikhin于20世纪50年代末提出，是目前应用最广泛的两种方法。时滞不等式方法由Halanay建立于20世纪60年代，是非线性、脉冲、变时滞等复杂时滞系统稳定性分析的强有力工具。另外，通过估计方程的基本解矩阵也可得到稳定性条件，但该方法依赖于不等式技巧，得到的条件往往过于保守。下面重点介绍Lyapunov-Krasovskii泛函法和Razumikhin函数法。Razumikhin函数法使用Razumikhin函数法，避免了构造Lyapunov泛函的麻烦，被许多学者广泛应用和推广，该方法的理论基础是著名的Razumikhin稳定性定理。Razumikhin稳定性定理主要应用于非线性和不确定时滞系统，用于线性时滞系统，得到的稳定性条件相对较为保守。这方面的成果包括：Trinh等使用Razumikhin稳定性定理研究了带有非线性扰动的时变时滞系统的稳定性和镇定；Park基于Razumikhin稳定性定理首次提出了模型变换；Jankovic总结了几类时滞系统的系统化Lyapunov-Razumikhin函数的构造方法等。在国内刘永清等较早研究了线性定常时滞系统和时变时滞系统的镇定问题。利用Razumikhin函数法得到的稳定性结果与利用Lyapuno-Krasovskii泛函法得到的结果有些相似，对后者施加某些约束往往即可得到前者，因而使用Razumikhin函数法得到的结果相对较为保守，但该方法适于快变时滞系统。一般认为Lyapunov-Krasovskii泛函法不适于快变时滞系统，但这一看法最近发生了改变，文献30利用LyapunovKrasvs“方法解决了一类区间时变时滞系统稳定性问题，允许时滞是快变的。 LyapunovKrasovskii泛函法Krasovskii在1963年发表的一篇文章，用Lyapunov-Krasovskii泛函取代了传统意义上的二次正定Lyapunov函数，在此基础上，针对时滞系统给出了新的稳定性分析方法Lyapunov-Krasovskii泛函法，其思想基础是LyapunovKrasovskii稳定性定理。对于复杂系统或非线性系统，Lyapunov-Krasovskii泛函的构造需要很高的技巧，并且利用LyapunoVKrasovskii泛函法进行时滞系统稳定性分析，最终得到的条件基本上都可转化为类Riccati方程(或不等式)。20世纪80年代和90年代初期，Riccati方法是研究热点。求解Riccati方程(或不等式)主要采用迭代法，其缺点是：1)收敛性得不到保证；2)需要事先给定一些待定参数，目前还缺乏寻找这些参数最佳值的方法。并且参数的人为设定给系统的分析和综合带来很大的保守性。内点法的提出，并成功用来求解具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，较好地弥补了Riccati方法求解上的不足，不需要预先给定任何参数和正定对称矩阵，可直接用Matlab软件中的LMI工具箱进行求解。内点法主要思想是：利用约束条件定义一个闸函数，该函数在可行域内部是凸的，在可行域外部定义为无穷大。通过在目标函数中添加这样一个闸函数，使得原先的约束优化问题转化成一个无约束的优化问题，从而可以利用求解无约束优化问题的牛顿法来求解。由于利用LyapunovKrasovskii方法只能得到稳定的充分条件，减小条件的保守性是努力的方向。在过去的10年里，很多学者致力于这方面的研究。利用LyapunovKrasovskii泛函法，结合线性矩阵不等式(LMI)这一工具对时滞系统进行稳定性分析，得到的结果便于进行控制器的设计和综合，因此成为控制理论和控制工程领域研究的热点问题。不管采用哪种方法进行稳定性分析，按照是否依赖于时滞大小，得到的稳定性条件都可分为两类：时滞依赖(时滞相关)稳定性条件和时滞独立(时滞无关)稳定性条件。时滞独立的稳定性条件，优点是较为简单，容易验证，且易于控制器设计；缺点是对较为简单，容易验证，且易于控制器设计；缺点是对性条件要求当时滞为零时，系统是稳定的，这样由于系统解对时滞的连续依赖，一定存在一个时滞上界，使得对于，系统均是稳定的。相应地，最大允许时滞界无就成为衡量时滞依赖条件保守性的主要指标。近年来，在稳定性分析、鲁棒控制、 H控制、可靠控制、保成本控制、饱和输入控制以及混沌系统控制中的时滞依赖问题已引起了很多学者的关注和广泛研究。减少结果的保守性主要采用3种方法：交叉项界定方法、模型变换方法以及LyapunovKrasovskii泛函的适当选取。目前得到的时滞依赖稳定性结果都是基于以上一个或多个技术的结合。其中，Fridman提出的描述模型变换方法结合Moon不等式方法，可以得到具有较小保守性的稳定性准则。最近也出现了一些新的思想和方法，如韩清龙和张先明的积分不等式法（两个积分不等式形式不同，本质上是等价的)，何勇和徐胜元的自由矩阵法，以及新的LyapunovKrasoVskii泛函选取方法等。2.3本章小结目前有关时滞系统稳定性的分析结果很多，但是进行控制器设计时，只在个别情况下才会得到线性矩阵不等式(LMI)，多数情况下得到的是多项式矩阵不等式(PMI)或双线性矩阵不等式(BMI)。如何将多项式矩阵不等式转化为LMI，或者在无法转化成LMI时，如何对其利