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卷五一 填空题（每小题4分，共40分。请将答案写在答题纸上）1中的系数为 。2设为三阶方阵，且， 若将按列分块为，则 。3已知， 则 。4设，则 。5设都是阶方阵，且，则 。6已知矩阵满足， 则 。7设向量组与有相同的秩，则a的取值应满足 。8已知非齐次线性方程组无解，则常数 。9已知三阶方阵的特征值为2，2，3，则行列式 。10已知， 其中为正整数，则 。二（10分）设向量组. 问p为何值时，该向量组线性无关？p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。三（10分）已知，四阶矩阵满足关系式：，其中是四阶单位矩阵，是的转置矩阵，求。四（10分）设是的逆矩阵的特征向量，试求常数k的值。五（12分）问取何值时，线性方程组 有惟一解、无解、有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解。六（10分）已知矩阵，且方程组有无穷多个解，求a的值并求一个正交矩阵，使为对角矩阵。七（8分）设是n阶正交矩阵A的特征值，证明，且也是的特征值。参考答案一 填空题（每小题4分，共40分。请将答案写在答题纸上）1中的系数为 42 。2设为三阶方阵，且， 若将按列分块为，则 。3已知，则。4设，则 0 。5设都是阶方阵，且，则。6已知矩阵满足， 则。7设向量组与有相同的秩，则a的取值应满足 。8已知非齐次线性方程组无解，则常数 。9已知三阶方阵的特征值为2，2，3，则行列式 18 。10已知， 其中为正整数，则（零矩阵）。二（10分）设向量组. 问p为何值时，该向量组线性无关？p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。解 将矩阵化成阶梯形矩阵： 当时，向量组线性无关；当时，向量组线性相关；其秩为3； 是一个极大线性无关组。 三（10分）已知，四阶矩阵满足关系式：，其中是四阶单位矩阵，是的转置矩阵，求。解 由故 四（10分）设是的逆矩阵的特征向量，试求常数k的值。解 设对应的特征值为，则由 得 即 ， 等价于方程组：；解之得： 或。 五（12分）问取何值时，线性方程组 有惟一解、无解、有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解。解 化线性方程组的增广矩阵为行阶梯形： 当时，此时方程组有惟一解； 当时，由于，故方程组无解； 当是，（未知量个数），故方程组有无穷多解，它的同解方程组为：通解为：六（10分）已知矩阵，且方程组有无穷多个解，求a的值并求一个正交矩阵，使为对角矩阵。解 ，于是可知当时方程组有无穷多解。 ，故矩阵A的特征值为： 当时，解方程组，即 得特征向量为；当时，解方程组，即 得特征向量为；当时，解方程组，即 得特征向量为。 单位化特征向量得:.令, 则P是正交矩阵, 且满足 （注：P不惟一）七（8分）设是n阶正交矩阵A的特征值，证明，且也是的特征值。证明 由于A是正交矩阵，故，从而由，因此，故A可逆，由于可逆矩阵的特征值不能
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