高等数学6-9章习题.pdf

第七章多元函数微分法及其应用第七章多元函数微分法及其应用 习 题 课习 题 课 一 主要内容一 主要内容 二 典型例题二 典型例题 三 作业三 作业 高等数学高等数学 主 要 内 容主 要 内 容 平面点集 和区域 平面点集 和区域 平面点集 和区域 平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 的极限 多元函数 的极限 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 多元函数 连续的概念 多元函数 连续的概念 多元函数 连续的概念 极 限 运 算极 限 运 算 极 限 运 算极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元连续函数 的性质 多元连续函数 的性质 多元连续函数 的性质 多元函数概念多元函数概念 多元函数概念多元函数概念 一 主要内容一 主要内容 高阶偏导数高阶偏导数 高阶偏导数高阶偏导数 隐函数 求导法则 隐函数 求导法则 隐函数 求导法则 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 复合函数 求导法则 复合函数 求导法则 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 全微分形式 的不变性 全微分形式 的不变性 全微分形式 的不变性 微分法在 几何上的应用 微分法在 几何上的应用 微分法在 几何上的应用 微分法在 几何上的应用 方向导数方向导数 方向导数方向导数 多元函数的极值多元函数的极值 多元函数的极值多元函数的极值 全微分 概念 全微分 概念 全微分 概念 全微分 概念 偏导数 概念 偏导数 概念 偏导数 概念 偏导数 概念 高等数学高等数学 典 型 例 题典 型 例 题 一 基本概念一 基本概念 典型例题典型例题 二 多元函数微分法二 多元函数微分法 三 多元函数微分法的应用三 多元函数微分法的应用 一 基本概念一 基本概念 1 多元函数的定义 极限 连续多元函数的定义 极限 连续 2 偏导数 全微分 方向导数偏导数 全微分 方向导数 定义域及对应规律定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质 3 几个基本概念的关系几个基本概念的关系 多元函数连续 可偏导 可微的关系多元函数连续 可偏导 可微的关系 函数连续函数连续 函数可微函数可微 偏导数连续偏导数连续 函数可偏导函数可偏导 方向导数方向导数 二 多元函数微分法二 多元函数微分法 显示结构 隐式结构 显示结构 隐式结构 1 分析复合结构分析复合结构 画变量关系图画变量关系图 2 隐函数求导法则隐函数求导法则 3 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 2 xyxgyxfz 设设 2 yx z 求 求 2解解yxt 设设 x z yx z 2 1 2 g xu xyv f 2 1 g y 2 1 f 11 0g 例例1其中其中f t 二阶 可导 二阶 可导 g u v 有连续二阶导数 有连续二阶导数 12 gx 2 g 22 gx 12222 2 fxgxygg 21 0 y g 解法解法1 1 xy dudy ff dxdx 0 2 xyz dydz ggg dxdx 0 3 xz dz hh dx 例例2 0 0 uf x y g x y z h x z u x 0 0 gh yz du dx 且试求且试求 设函数设函数由方程组由方程组 所确定 所确定 x z dzh dxh 由由 3 zxx yzy ghdyg dxghg 由由 2 yxyzx x yyz fgfgh du f dxggh 代入代入 1 得 及上式得 得 得 及上式得 得 解法解法2 0 0 ufx y g x y z h x z du dx 求求 全微分形式不变性 全微分形式不变性 1 xy dufdxfdy 0 2 xyz gdxgdygdz 0 3 xz hdxh dz 由由 2 3 消去消去 dz解出解出dy 代入代入 1 得得 yxyzx x yyz fgfgh dufdx ggh 即即 yxyzx x yyz fgfgh du f dxggh zz x y 1F xy xz 2z x y 12 110 z F xy xzFF x 12 10 z F xy xzFF y 2 111221222 10 zzzz FFFFF yyxx y 例例3 设函数由方程 所确定 计算 解 设函数由方程 所确定 计算 解 解解 0 0002 2 2 2 2 2 模此方向导数等于梯度的 具有什么关系时的方向导数 问的向径 处沿点在点求 模此方向导数等于梯度的 具有什么关系时的方向导数 问的向径 处沿点在点求 cbar zyxM c z b y a x u 例 例3 0 222 0000000 rxy zrxyz cos cos cos 0 0 0 0 0 0 r z r y r x grad M u 000 222 222 xyz ijk abc 在点在点 uM处的梯度为处的梯度为 由方向导数公式知由方向导数公式知 0 M u r 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 222 r z c z r y b y r x a x 2 2 2 2 2 2 2 0 000 c z b y a x r 0000 rxy z grad M u 000 222 222 xyz ijk abc grad M u 0000 rxy z 平行与平行与 000 000 222 222 xyz xyz abc 模此方向导数等于梯度的相等时故当模此方向导数等于梯度的相等时故当cba 此方向等于梯度的 此方向等于梯度的模模 三 多元函数微分法的应用 1 在几何中的应用 三 多元函数微分法的应用 1 在几何中的应用 求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面 关键关键 抓住切向量抓住切向量 求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线 关键关键 抓住法向量抓住法向量 2 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 消元法消元法 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 求解最值问题求解最值问题 求过求过 210 230 xyz l xyz 且与曲线且与曲线 222 1 2 24 xyz xyz 在点在点 1 1 2 处切线平行的平面方程处切线平行的平面方程 例例4 在处的切向量在处的切向量 0 P T 1 3 2 1 2 1 2 0 xyyzz yz 21 23 0 则平面为则平面为 xyzxyz 该平面所对应的法向量为该平面所对应的法向量为 1 2 12 n 0n T 5 2 平面为平面为 3912170 xyz 解解 之间的最短距离 与平面求旋转抛物面 之间的最短距离 与平面求旋转抛物面22 22 zyxyxz 例例5 解解 1 22 6 zyxd 022dzyxP的距离为到平面则的距离为到平面则 分析分析 本题变为求一点本题变为求一点 22 yxzzyxP上任一点为抛物面设上任一点为抛物面设 P x y z 使得使得 x y z 满足满足 22 0 xyz 且使且使 1 22 6 dxyz 即 最小 即 最小 22 1 22 6 dxyz F x y z 设 1 22 20 1 3 x Fxyzx 8 1 4 1 4 1 zyx解此方程组得 令 解此方程组得 令 22 zxy 22xyz 222 1 22 6 xyzzxy 1 22 20 2 3 y Fxyzy 1 22 2 0 3 3 z Fxyz 22 0 4 Fzxy 8 1 4 1 4 1 即得唯一驻点即得唯一驻点 64 7 2 4 1 4 1 4 1 6 1 min d 8 1 4 1 4 1 即得唯一驻点即得唯一驻点 1 22 6 dxyz 根据题意 距根据题意 距离的最小值一定存在 离的最小值一定存在 且有唯一且有唯一 驻点 故必在 处取得最小值 驻点 故必在 处取得最小值 1 1 1 4 4 8 高等数学高等数学 作业作业 22 0 0 lim x y xy xy p88 分析分析 22 22 2222 1 1 2 0 2 xy xy xy xyxy 1 0 0 lim 1 x y x y xy p89 1 0 0 lim 1 xy xy x y x y xy 0 0 lim x y xy xy ykx 2 yxx 22 222 0 0 lim x y x y x yxy p89 ykx 24 2422 0 0 lim 1 x y k x k xkx 1 1 k k P102 分析分析 2 1 6 P103 分析分析 6 yz ux lnln uyzx 1 dln dln dd yz uzx yyx zx ux 解解 2 xz zxf xy yx y 求 12 2 zx xf xf yy 2 2 12 2 x x ff y xy x y x f y 12 ff P103 P103 zf xy z fxy x z fxyy y 2 2 z fxy x 2z fxyy x y P104 分析分析 14 逆否命题逆否命题 分析分析 15 定义定义 2xy t x f x yedt 11 xx f 7 114 设 设求求 22 xyx x fee 22 22 xyx xx fxy exe x ay x ay ut dt t 13 114 设 设具有连续的导数 具有连续的导数 建立建立u的方程 的方程 t 试用求偏导数的方法 消去试用求偏导数的方法 消去 xy uxayxay uaxayaxay xx uxayxay 2 xxyy a uu 22 yy uaxayaxay u zyx zyxfu p115 xt zz x yyx ttx z x y x z 123 dddd ufxfyfz 12 ddd yxt 12 ddd txz 2211 ddd d yxxz 12 22 1 ddd zxy 16 116 设 设 d d d d 22 22 x ykx xy t y xky xy t dd dd 3 3 sincos cossin xrkrt yrkrt ddd ddd cossin sincos xrr yrr dd dd dd dd 3 3 cossinsincos sincoscossin r rrkr tt r rrkr tt 17 11