《工程力学》习题答案(豆照良等编).doc

第1章 静力学基础思考题1-1 说明下面两个式子的意义。（1）F1=F2（2）F1=F2解：（1）式中F表示力矢量；因此F1=F2表示力F1和F2的大小相等，方向相同。（2）式中F表示力的大小；因此F1=F2表示力F1和F2的大小相等。1-2 能否说合力一定比分力大，为什么？解：不一定。例如，大小相等、方向相反，且作用在同一直线上的两个力的合力为零。1-3 二力平衡原理与作用和反作用定律有何异同？解：二力平衡原理是指：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。作用和反作用定律是指：任何两个物体间的作用，总是大小相等、方向相反、沿同一作用线分别作用在两个物体上。可以看出，二力平衡原理描述的是，两个不同的力作用在同一个物体上的情况；作用和反作用定律描述的是两个不同物体之间相互作用的情况。但它们有一个相同点，即上述两种情况下的一对力均满足大小相等、方向相反。1-4 约束反力的方向和主动力的方向有无关系？解：约束反力的方向总是与约束限制物体位移的方向相反。对于有些约束类型，如具有光滑接触表面的约束，其约束反力必然作用在接触点处，作用线沿着接触面的公法线方向，且指向被约束物体。又如绳索类柔性约束，其约束反力只能是沿柔性体的轴线而背离被约束物体的拉力。而对于圆柱铰链约束等，其约束反力的作用点位置（即接触点位置）、方向和大小由构件所受主动力确定。因此，约束反力的方向是否和主动力的方向有关，取决于约束类型。1-5 什么叫二力构件？分析二力构件受力时与构件的形状有无关系？解：所谓二力构件，是指只有两点受力而处于平衡状态的构件，如下图所示。二力构件受力时，二力大小相等、方向相反，且都沿两作用点的连线方向；与构件的形状无关。1-6 图1-18所示物体的受力图是否正确？如有错误如何改正？ （a） （b） 图1-18解：图1-18（b）所示受力图错误，正确的受力图所图1-18（c）所示。1-18（c）练习题题1-1 画出图1-19中各物体的受力图。假定所有接触均为光滑接触，且除有特殊说明外物体的重力忽略不计。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） （g） （h）图1-19解： （a） （b） （c） （d） （e） （f） （g） （h）图1-19题1-2 改正图1-20各受力图中的错误。 （a） （b）（c）图1-20解： （a） （b） （c）第2章 平面基本力系思考题2-1 已知F1、F2、F3、F4的作用线汇交于一点，其力多边形如图2-15所示，试问这两种力多边形的意义有何不同？（a） （b）图2-15解：图2-15（a）中，力多边形自行闭合，合力为零。图2-15（b）所示的力多边形中，F1、F2、F3的合力F4；因此该力多边形中，F1、F2、F3、F4的合力为2F4。2-2 用解析法求平面汇交力系的合力时，若取不同的直角坐标轴，所求得的合力是否相同？解：用解析法求平面汇交力系的合力时，选取不同的直角坐标轴，只会影响各力在两坐标轴上的投影，不会影响最终计算结果，即所求得的合力是相同的。2-3 力的分力与投影这两个概念之间有什么区别和联系？试结合图2-16说明之。 （a） （b）图2-16解：分力仍然是一个力，是矢量；力在某轴上的投影是标量。如图2-16（a）所示，力F沿x、y轴的分力分别为力F在x、y轴上的投影分别为图2-16（b）中，力F沿x、y轴的分力分别为力F在x、y轴上的投影分别为因此，力在两正交轴上的分力的大小，分别等于力在对应轴上的投影。2-4 比较力矩和力偶矩的异同。解：力矩是力使物体产生转动效应的度量，其大小与矩心位置有关；而力偶矩是力偶使物体产生转动效应的度量，其大小与矩心位置无关。力矩和力偶矩都是代数量，其符号“”表示转向，力（或力偶）使物体绕矩心逆时针转向转动时为正，反之为负；力矩和力偶矩的单位都是Nm或KNm。练习题题2-1 如图2-17（a）所示，等边三角形的边长为l，现在其三顶点沿三边作用大小相等的三个力F，试求此力系向B点简化的结果。 （a） （b）图2-17解：（1）建立直角坐标系xBy（2）分别求出A、B、C各点处受力在x、y轴上的分力（3）求出各分力在B点处的合力和合力偶因此，该力系的简化结果为一个力偶矩，逆时针方向。题2-2 如图2-18（a）所示，在钢架的B点作用有水平力F，钢架重力忽略不计。试求支座A、D的约束反力。（a） （b）图2-18解：（1）以钢架为研究对象。（2）分析钢架受力情况。钢架受到力F以及约束反力FAx、FAy和FD的作用而处于平衡状态。由力偶系平衡条件知，约束反力FAx与力F构成一个力偶，FAx=F，且由此可以确定的方向FAx为水平向左；约束反力FAy与FD构成一个力偶，FAy=FD，假设方向如图2-18（b）所示。上述2个力偶应满足力偶系平衡条件。（3）根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量可解得FAy=FDF/2。求得结果为正，说明FAy和FD的方向与假设方向相同。题2-3 如图2-19（a）所示，水平梁上作用有两个力偶，M1=60kNm， M2=40kNm，已知AB=3.5m，试求A、B两处支座的约束反力。（a）（b）图2-19解：（1）以梁AB为研究对象。（2）分析梁AB受力情况。梁AB受到两个力偶M1和M2，以及两个约束反力FA和FB的作用而处于平衡状态。由力偶系平衡条件知，支座A和B对梁AB的约束反力FA和FB应构成一个力偶，且与原合力偶平衡，又因为FB的方位垂直于滚动支座支承面，指向假设如图2-15（b）所示，从而可以确定FA的方向。即有FA=FB，且满足力偶系平衡条件。（3）根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量将题中条件代入后，可解得求得结果为负，说明FA和FB的方向与假设方向相反。题2-4 如图2-20（a）所示，已知M=2Fl，其余尺寸如图，试求A、B两处支座的约束反力。 （a） （b）图2-20解：（1）以图示支架ACB为研究对象。（2）分析支架受力情况。支架受到力F、力偶M，以及3个约束反力FAx、FAy和FB的作用而处于平衡状态。由力偶系平衡条件可知，F与FAx应构成一个力偶M1，FAx的方向水平向右；FAy和FB应构成另一个力偶M2，假设FAy和FB的方向如下图2-20（b）所示。上述力偶系应满足力偶系平衡条件。（3）根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量可解得结果为正，说明FAy和FB的实际方向与假设方向相同，如图2-20（b）所示。第3章 平面任意力系思考题3-1 什么叫力系的主矢？它与合力有什么区别和联系？它与简化中心的位置有没有关系？解：平面任意力系中所有各力的矢量和，称为该力系的主矢；主矢与简化中心的位置无关。平面任意力系的合成结果为一个主矢和一个主矩；当主矩为零时，平面任意力系的主矢就是合力。3-2 什么叫力系的主矩？它是否就是力偶系的合力偶矩？它与简化中心的位置有没有关系？解：平面任意力系中所有各力对任选简化中心之矩的代数和，称为该力系的主矩。主矩一般与简化中心有关。合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。在平面力偶系中，各分力偶的合力偶矩等于该力系的主矩。3-3 已知一平面任意力系可以简化为一个合力，问能否通过选择适当的简化中心，把力系简化为一个合力偶？反之，如果已知力系可以简化为一个合力偶，问能否通过选择适当的简化中心，把力系简化为一个合力？为什么？解：当平面任意力系的简化结果为一个合力时，无法进一步把力系简化为一个合力偶；反之亦然。因为，合力和合力偶都是平面任意力系简化的最简结果。3-4 什么叫静不定问题？如何判断问题是静定还是静不定？如图3-8所示（a）、（b）、（c）三图中哪些是静定问题？哪些是静不定问题？ （a） （b） （c）图3-8解：当整个物体系平衡时，物体系内各个刚体也处于平衡状态。因此对每个受平面任意力系作用的刚体，都可以列出3个独立的平衡方程。那么对由n个刚体组成的物体系来说，独立平衡方程的数目为3n。如果物体系中未知量的总数等于或小于独立平衡方程的数目时，则所有的未知量都可以由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。如果物体系中未知量的总数大于独立平衡方程的数目时，则未知量不能全部由平衡方程求出，而只能求出其中的一部分未知量，这样的问题称为静不定问题。图3-8（a）中刚体的数目为1个，可列出3个独立的平衡方程，而A、B点处共有4个约束反力，无法完全求解，属于静不定问题。图3-8（b）中刚体的数目为2个，可列出6个独立的平衡方程，而A、B及中间铰接点处共有6个约束反力，可以完全求解，属于静定问题。图3-8（a）中刚体的数目为2个，可列出6个独立的平衡方程，而A、B点处共有7个约束反力，无法完全求解，属于静不定问题。练习题题3-1 如图3-9所示，半径为r的圆盘上，以O为中心，边长为r的正方形的四个顶点上分别作用着力F1、F2、F3、F4。已知F1=F2=F3=F4=F，该力系对O点的主矩为MO=2rF。问该力系对O点的主矩MO为何值？MO与MO间有何关系？为什么是这种关系？图3-9解：该力系的主矢为因为主矢为零，力系简化为一个合力偶。这种情况下，力系的主矩与简化中心的位置无关，因此题3-2 如图3-10（a）所示，已知F1、F2、F3分别作用在点C、O、B点上，OABC是一个正方形，边长为a（单位为mm），F1=2kN，F2=4kN，F3=10kN，方向如图所示。求力系的最终简化结果。 （a） （b）图3-10解：（1）建立直角坐标系Oxy如图3-10（b）所示（2）将题述力系向O点简化，由于该力系的主矢、主矩都不等于零，即力系简化的结果为一个力和一个力偶，根据力的平行定理的逆定理可知，主矢和主矩可合成为一个合力。该合力FR矢量等于主矢FR，作用线在O点右下方过O点的直线，且简化中心到合力作用线的距离为题3-3 如图3-11（a）所示，平面任意力系中F1=40N，F2=80N，F3=40N，F4=110N，M=2000Nmm，各力作用线位置如图所示（图中单位为mm）。求力系向O点简化的结果。 （a） （b）图3-11解：（1）力系向O点简化的主矢主矢FR方向沿x轴负方向。（2）力系向O点简化的主矩,顺时针方向力系向O点简化的结果如图3-11（b）所示。题3-4 无重水平梁的支承和载荷如图3-12（a）所示，已知力F、力偶矩M和强度为q的均匀载荷。求支座A和B处的约束反力。 （a） （b）图3-12解：（1）以梁为研究对象，受力情况如图3-12（b）所示（2）建立直角坐标系，列出平面任意力系的平衡方程，并求解未知量可解得题3-5 如图3-13（a）所示，起重机重P1=10kN，可绕铅直轴AB转动，起重机的吊钩上挂一重为P2=40kN的重物，起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。试求在止推轴承A和轴承B处的约束反力。 （a） （b）图3-13解：（1）以起重机为研究对象，受力情况如图3-13（b）所示（2）建立直角坐标系，列出平面任意力系的平衡方程，并求解未知量可解得FB为负，说明假设方向与实际方向相反，即应水平向左。第4章 摩 擦思考题4-1 什么是静滑动摩擦力？其方向和大小是如何确定的？有人说摩擦力的方向永远与物体的运动方向相反，对吗？试举例说明。解：两个表面粗糙且相互接触的物体之间，有相对滑动的趋势时，在接触面上产生与相对滑动趋势相反的阻力，这种阻力称为静摩擦阻力。摩擦力的方向与物体的相对运动或相对运动趋势方向相反，而不是与物体的运动方向相反。下图所示为一个传送机构，在图（a）所示上料过程中，物块的运动方向与静摩擦力的方向均向上，二者方向相同；而在图（b）所示的下料过程中，物块的运动方向沿传送带向下，静摩擦力方向沿传送带向上，二者方向相反。因此，静摩擦力的方向一定与相对运动趋势方向相反，但不一定与运动方向相反。（a） （b）4-2 什么是最大静滑动摩擦力？它与静滑动摩擦力有什么区别和联系？解：最大静滑动摩擦力是静滑动摩擦力的一个临界值。超越该临界值后，物体将发生相对滑动，此时静滑动摩擦力就被动滑动摩擦力所取代。4-3 如图4-6所示，已知P=100N，F=500N，摩擦系数fs=0.3，求此时物体所受的摩擦力。图4-6解：由题意，可首先计算出墙面能够提供给物块的最大静摩擦力，由于因此，物体将处于静止状态，此时物体所受的摩擦力为铅直向上的静摩擦力，且有4-4 如图4-7所示，重为P的物体置于斜面上，已知摩擦系数为fs，且有tanfs，问此物体能否下滑？如果增加物体的重量或在物体上再加一重量为P1的物体，问能否达到下滑的目的？为什么？（a） （b）图4-7解：如图4-7所示，假设物体不下滑，则物体受到沿斜面向上的静摩擦力，由静力平衡方程可知，而斜面能够提供给物体的最大静摩擦力的大小为由于斜面能够提供给物体的最大静摩擦力大于维持物体不下滑所需要的摩擦力，因此物体不下滑。同理可证，增加物体的重量或在物体上再加一重量为P1的物体，不能达到下滑的目的。4-5 何谓自锁现象？试举例说明。解：定义全约束反力与接触线法线的夹角为，其达到最大值f，称为摩擦角。如果作用在物体上的全部主动力的合力的作用线在摩擦角f之内，则无论这个力多么大，物体必然保持平衡，这种现象称为自锁现象。其中，f=arctanfs。在工程中，自锁现象有广泛的应用。例如，机床夹具、固定或锁紧螺丝、压榨机、千斤顶等等，自锁现象可以使它们始终保持在平衡状态下工作。4-6 如图4-8所示，重为P的物体置于水平面上，力F作用在摩擦角之外，已知=25，摩擦角=20，F=P。问物体能否被推动？为什么？图4-8解：若要推动物体，力F在水平方向上的分力必须克服地面提供给物体的最大静摩擦力。而本题中由于F=P因此FxFmax，无法推动物体。练习题题4-1 如图4-9所示，已知物体重W=100N，与水平面的静摩擦系数为fs=0.3，动摩擦系数为=0.28。试问下列三种情况下，物体受到的摩擦力分别为多少？（1）P=10N（2）P=30N（3）P=50N图4-9解：首先计算物体受到的最大静摩擦力（1）P=10NFmax，物体运动，题4-2 判断图4-10中的物体能否静止？并求这两个物体所受摩擦力的大小和方向。已知（1）图（a）中，物体重W=1000N，拉力P=200N，fs=0.3，=0.28；（2）图（b）中，物体重W=200N，压力P=500N，fs=0.3，=0.28。 （a） （b）图4-10解：（1）图4-10（a）中，P=200NFmax，物体运动，动摩擦力方向铅直向上。题4-3 如图4-11（a）所示，物块与传送带之间的静摩擦系数fs=0.5。试问传送带的最大倾角为多大？（a） （b）图4-11解：以物体为研究对象，受力情况如图4-11（b）所示，由平面汇交力系的平衡方程，可知由临界状态下的补充方程，可知从而题4-4 如图4-12（a）所示，圆柱重W=500N，直径d=24cm，圆柱与V型槽间的摩擦系数fs=0.2。试求转动圆柱的最小力偶矩。（a） （b）图4-12解：（1）以圆柱为研究对象，并考虑临界状态，受力情况如图4-12（b）所示（2）建立图示直角坐标系，列出平面任意力系的平衡方程，及临界状态下的补充方程可解得题4-5 如图4-13（a）所示，两根相同的均质杆AB和BC，在端点B用光滑铰链连接，A、C端放在不光滑的水平面上，当ABC成等边三角形时，系统在铅直面内处于临界平衡状态。求杆端与水平面间的摩擦系数。（a） （b） （c）图4-13解：（1）先以AB、BC杆整体为研究对象，设杆重均为P，杆长均为l，受力图如图4-13（b）所示。由对称性原理及平面任意力系的平衡条件可知，（2）以AB为研究对象，受力图如图4-13（c）所示。由平面任意力系的平衡条件，对于B点，有将NA=P，FA=fNA代入上式，可解得第5章 空间力系思考题5-1 用矢量积计算力F对O点之矩，当力沿其作用线移动，改变了力作用点的坐标x、y、z，其计算结果是否变化？解：如下图所示，力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对该点之矩，称为力矩矢，用MO（F）表示。力矩矢MO（F）的模（即大小）等于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平面，指向可用右手法则来确定。即有 当力沿其作用线移动时，OAB的面积保持不变，力矩矢的大小和方位保持不变，因此计算结果没有变化。5-2 力对轴之矩的意义是什么？如何计算？如何确定其正负号？哪些情况下力对轴之矩等于零？解：力对轴之矩用于度量力对刚体绕定轴的转动效应。如果将力F对z轴之矩用Mz（F）表示，则有其中，正负号用于表示转向。从z轴的正向看去，若力使物体逆时针转动，取正号；反之，取负号。或用右手螺旋法则来确定：即以右手四指表示力使物体绕z轴转动的方向，若拇指的指向与z轴的正向相同，取正号；反之取负号。 当力与转轴平行时，此力在垂直于该轴平面上的分力为零，此时力对该轴之矩为零。此外，当力与转轴相交时，力对该轴之矩也为零。5-3 试根据空间任意力系的平衡方程，推导出各种特殊力系的平衡方程。解：空间任意力系简化的结果是一个主失和一个主矩，因此空间力系平衡的充要条件为：各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零，且各力对此三轴之矩的代数和分别等于零。即根据空间任意力系的平衡方程，可以推导出前面几章中的各种特殊力系的平衡方程。例如，对于平面汇交力系，由于各力在z轴上的投影都等于零，故有F=0；而各力对三个坐标轴之矩也都等于零，故有Mx(F)=0、My(F)=0、Mz(F)=0。因此，平面汇交力系的平衡方程可以简化为5-4 对任意物体，如果它具有对称面，则该物体的重心是否一定在对称面上？为什么？解：对于均质物体来说，如果它具有对称面，则该物体的重心一定在对称面上。而对于非均质物体，则不一定。5-5 均质等截面直杆的重心在哪里？若把它弯成半圆形，重心位置如何变化？解：均质等截面直杆的重心位于杆的中心处。若把它弯成半圆形，重心位置变为xC=2r/，如下图所示。5-6 计算同一物体的重心，如选两个不同的坐标系，则对于这两个坐标系计算出来的重心坐标是否相同？如果不相同，这是否意味着物体的重心相对位置随坐标系的选择不同而变化呢？解：计算同一物体的重心，如选两个不同的坐标系，则对于这两个坐标系计算出来的重心坐标会有所不同，这说明物体重心的坐标随坐标系的选择不同而变化，但物体的重心相对位置是不变的。物体重心所在的位置，与该物体在空间的位置无关。练习题题5-1 如图5-20所示空间力系，已知F1=100N，F2=300N，求力系对y轴之矩。图5-20解：首先求出力F2在x、y轴上的分力，分别为，方向沿x轴负方向；，方向沿y轴正方向。由合力矩定理可得到力F对y轴之矩，沿y轴负向看为顺时针方向。题5-2 求图5-21所示力F=1000N对于z轴的力矩Mz。图5-21解：首先求出力F在x、y轴上的分力，分别为由合力矩定理可得到力F对z轴之矩顺时针转向。题5-3 如图5-22所示，水平圆盘的半径为r，外缘C处作用力F。力F位于铅垂面内，且与C处圆盘切线夹角为60，其他尺寸如图所示。求力F对x、y、z轴之矩。图5-22解：力F在三个轴上的分力分别为由合力矩定理可得到力F对x、y、z轴之矩题5-4 如图5-23（a）所示，力F作用在长方体上，力的作用线位置如图所示。试计算：（1）F在y轴上的投影；（2）F在z轴上的投影;（3）F对AB轴之矩。（a）（b）图5-23解：（1）设F与水平面的夹角为，力在水平面上的投影为Fyz，Fyz与y轴的夹角为，如图5-23（b）所示，由二次投影定理（2）力F在z轴上的投影；（3）力F对AB轴之矩，逆时针转向。题5-5 如图5-24所示，已知镗刀杆刀头上受切削力Fz=500N，径向力Fx=150N，轴向力Fy=75N，刀尖位于Oxy平面内，其坐标为x=75mm，y=200mm。试求被切削工件左端O处的约束反力。图5-24解：由空间任意力系的平衡方程可解得题5-6 如图5-25（a）所示，平面图形内每一方格的边长为20mm，试求图示面积重心的位置。（a）（b）图5-25解：本题可采用负面积法求解。图示平面可看成是大矩形ABCD去除2个小矩形以及1个圆后剩余的部分，各部分的面积和重心坐标分别为剩余部分的重心为题5-7 求图5-26所示工字钢截面的重心，尺寸如图所示。图5-26解：本题可采用分割法求解。图示工字钢截面可看成是由3个小矩形组合而成的，各部分的面积和重心坐标分别为因此，截面重心为第6章 点的运动学和刚体基本运动思考题6-1 什么叫点的运动方程？什么叫点的轨迹方程？二者有什么区别和联系？能否由点的轨迹方程确定点的运动方程？解：点的运动方程，是描述动点坐标随时间变化的方程；点的轨迹方程，是描述动点运动轨迹的空间曲线方程。在点的运动方程中，消去参变量时间t，则可以得到点的轨迹方程；但无法由点的轨迹方程确定点的运动方程。6-2 和，和有何异同？解：用于描述点的速度矢量随时间的变化，即为点的加速度，它是一个矢量；而则用于描述点的速度大小随时间的变化，即点的切向加速度大小，它是一个标量。用于描述点的速度，包含大小和方向，是一个矢量；是指点的速度大小，是一个标量。6-3 若动点在某瞬时的加速度为零，是否此时动点的速度也一定为零？反之，若动点在某瞬时的速度为零，是否此时动点的加速度也一定为零？解：动点在某瞬时的加速度为零，说明在该瞬时动点的速度变化为零，但此时动点的速度不一定为零；反之，若动点在某瞬时的速度为零，但其速度变化不一定为零，即此时动点的加速度也不一定为零。6-4 如图6-14所示，点作曲线运动，点的加速度a为恒矢量。问这种情况下点是否作匀变速运动？图6-14解：匀变速运动的特征是动点的角加速度为常数，在图示中虽然点的加速度a为恒矢量，但其角加速度却非常数，因此这种情况下点并不作匀变速运动。6-5 点作曲线运动，判断下列说法是否正确？（1）若切向加速度为正，则点作加速运动；（2）若切向加速度和速度符号相同，则点作加速运动；（3）若切向加速度为零，则速度为常矢量。解：（1）错误；（2）正确；（3）错误。6-6 “各点都作圆周运动的刚体一定是定轴转动”。这种说法是否正确？解：上述说法不正确。6-7 刚体绕定轴转动时，刚体上各点的运动轨迹一定是圆周吗？解：不一定。若转轴位于刚体内，则刚体中位于转轴上的各点位置始终不变。6-8 手表的时针、分针和秒针的角速度各是多少？解：时针、分针和秒针的角速度分别为rad/s、rad/s和rad/s。练习题题6-1 已知M点的运动方程试求：点M的轨迹方程、速度及加速度。解：点的轨迹为点的速度为点的加速度为点的轨迹、速度和加速度如下图所示。题6-2 如图6-15（a）所示机构，已知O1AO2BAMr0.2m，O1O2AB，O1轮按规律15t运动。试求t0.5s时，M点的速度和加速度。图6-15解：由题意，O1O2BA是平行四边形，AB作半径为r的圆周运动，AB杆作平动，根据平动特性，杆上各点的速度、加速度都相同，因此求出了A点的速度和加速度，也就求出了M点的速度和加速度。首先确定AB杆的位置。t=0.5s时，。该瞬时杆AB位于最下方，如图6-15（b）所示。轮O1作定轴转动，其角速度为故A点的速度为由于角速度为常量，因此A点的切向加速度为零，只有法向加速度，即进而可以求出AB杆上M点的速度和加速度分别为，方向水平向右；，方向竖直向上。题6-3 如图6-16（a）所示机构，其中刚体的速度和角加速度分别为和。试求A、M点的速度、切向及法向加速度的大小和方向。（a）图6-16解：刚体作定轴转动，其上所有点均作以O为圆心的圆周运动，故A、M两点的速度、加速度的方向分别如图6-16（b）所示。下面求A、M两点的速度、加速度的大小。（1）对A点：（2）对M点：（b）第7章 点的合成运动第7章 点的合成运动思考题7-1 试举几个工程实际中的合成运动的实例。解：如乘客在行进中的公交车上行走时，公交车相对于地面的运动为牵引运动，乘客相对于公交车的运动为相对运动，而乘客相对于地面的运动则为合成运动。7-2 什么叫牵引速度？有人说动坐标系的运动是牵引运动，因此动坐标系的速度就是牵引速度，这种说法是否正确？为什么？解：牵引速度，是指牵引点的速度，即某瞬时动系上与动点相重合的点相对于定系的速度。一般来说，动点是对动参考系有相对运动的点；牵连点是动参考系上的几何点，它们是两个不同的点。但在运动的同一瞬时，它们是重合的。在不同瞬时，动点与动坐标系上不同的点重合，就有不同的点成为新的牵连点。因此，“动坐标系的速度就是牵引速度” 的说法是不正确的。7-3 点的速度合成定理是什么？牵引运动为平动或转动时有无区别？解：点的速度合成定理，指在任一瞬时，动点的绝对速度等于牵连速度和相对速度的矢量和。牵引运动为平动或转动时，点的速度合成定理的实质并无区别。7-4 总结利用点的速度合成定理求解问题的一般步骤。解：利用点的速度合成定理求解问题的一般步骤为：（1）根据题意选取动点、动系和定系。其中，动点和动系应分别选在两个不同的刚体上，这样才能分解点的运动。（2）分析三种运动及其速度。由于绝对运动和相对运动是点的运动，因此绝对运动量和相对运动量通常由运动轨迹来确定；而牵连运动为刚体的运动，因此牵连运动量需通过对动系所固连的刚体运动的分析，由定义中重合点的运动量确定。（3）应用速度合成定理求解。列出矢量方程，利用矢量的平行四边形法则或投影方程进行计算求解。练习题题7-1 如图7-5（a）所示曲柄滑块机构，曲柄OA绕O轴转动，滑块A可在滑槽DE内滑动，并带动BC杆在水平方向上往复运动。设曲柄以角速度作匀速转动，OA=r。试求杆BC的速度。 （a） （b）图7-5解：由于杆BC作平移，故BC杆以及滑槽DE上所有点的速度相同。选曲柄端A为动点，杆BC为动系。动点A的绝对运动是以O点为中心的圆周运动，绝对速度方向沿圆周的切线；A点的相对运动为沿滑槽DE的直线运动，相对速度方向铅直向上；牵引运动为BC杆水平向右的直线运动。由速度合成定理，可作出速度平行四边形，如图7-5（b）所示。由图中三角关系可求得BC杆的速度为题7-2 如图7-6（a）所示，半径为R、偏心距为e的凸轮，以匀角速度绕O转动，杆AB可在滑槽内上下移动，端点A始终与凸轮接触，且OAB呈直线。求图示位置时杆AB的速度。（a） （b）图7-6解：杆AB作平移，杆上各点的速度相同。选取杆AB的端点A为动点，动系随凸轮一起绕O轴转动。A点的绝对运动为直线运动，绝对速度方向沿AB直线；相对运动是以凸轮中心C为圆心的圆周运动，相对速度方向沿凸轮圆周的切线；牵引运动为凸轮绕O轴的转动，牵引速度为凸轮上与杆端A点重合的点的速度，垂直于OA，其大小为ve=OA。由速度合成定理，可作出速度平行四边形，如图7-6（b）所示。由图中三角关系可求得杆的绝对速度为题7-3 如图7-7（a）、（b）所示的两种机构中，已知O1O2=a=200mm，1=3rad/s。求图示位置时杆O2A的角速度。 （a） （b） （c） （d）图7-7解：（1）对图7-7（a）所示机构，以O1A杆上的点A为动点，以O2A杆为动系。A点的绝对运动为以O1为圆心的圆周运动，绝对速度方向沿圆周的切线；A点的相对运动为直线运动，相对速度方向沿O2A直线；牵引运动以O2为圆心的圆周运动，牵引速度方向沿圆周的切线。由速度合成定理，可作出速度平行四边形，如图7-7（c）所示。故杆O2A的角速度为（2）对图7-7（b）所示机构，以O2A杆上的点A为动点，以O1A杆为动系。A点的绝对运动为以O2为圆心的圆周运动，绝对速度方向沿圆周的切线；A点的相对运动为直线运动，相对速度方向沿O1A直线；牵引运动以O1为圆心的圆周运动，牵引速度方向沿圆周的切线。由速度合成定理，可作出速度平行四边形，如图7-7（d）所示。故杆O2A的角速度为题7-4 如图7-8所示（a）的摇杆机构中，滑杆AB以等速v向上运动，运动开始时杆OC水平，且已知摇杆长OC=a，距离OD=l。求当=45时，点C的速度的大小。 （a） （b）图7-8解：以AB杆上的端点A为动点，以OC杆为动系。A点的绝对运动为沿直线AB的直线运动；A点的相对运动为沿直线OC的直线运动；牵引运动以O为圆心的圆周运动，牵引速度方向沿圆周的切线。由速度合成定理，可作出速度平行四边形，如图7-8（b）所示。A点的绝对速度为故牵引速度为OA杆的角速度为OA杆上点C的速度为当=45时，点C的速度为第9章 质点动力学基本方程第8章 刚体的平面运动思考题8-1 什么是刚体的平面运动？试举例说明。解：刚体运动时，刚体上任一点都与某一固定平面始终保持相等的距离，这类运动称为刚体的平面运动。8-2 刚体的平面运动与刚体的平动以及转动有什么区别和联系？解：刚体的平面运动，可分成随同基点的平动和绕基点的转动。刚体的平动和定轴转动，都是刚体平面运动的特殊情况。8-3 车辆在水平直线轨道上运行时，车厢和车轮是否作平面运动？解：车辆在水平直线轨道上运行时，车厢和车轮均作平面运动。其中，车厢的运动为平动，是平面运动的特殊情况。8-4 刚体的平面运动如何分解为平动和转动？基点位置的选择对图形的平动和转动效果有无影响？解：刚体的平面运动，可分成随同基点的平动和绕基点的转动。其中，平面图形随基点的平动规律与基点的选择有关，而平面图形绕基点的转动规律与基点的选择无关。8-5 求平面图形上各点速度的方法有哪几种？各种方法的要点是什么？解：求平面图形上各点速度的方法主要有基点法和瞬心法。在利用基点法求解时，首先需要选取基点，然后可根据点的速度合成定理求解，即平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。在利用瞬心法求解时，首先需要确定速度瞬心位置，然后将平面图形的运动可看成绕速度瞬心的瞬时转动来求解。8-6 刚体作平面运动时，平面图形上任意两点的速度能否任意给定？如图8-16所示，平面图形上两点的速度方向可能是这样的吗？为什么？ （a） （b）图8-16解：刚体作平面运动时，平面图形上任意两点的速度不能任意给定，而必须满足：同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。因此，图8-16（a）中的两点速度是不合理的，而图8-16（b）中的两点速度是合理的。练习题题8-1 如图8-17所示为一椭圆规尺机构，曲柄OC以角速度O绕O轴匀速转动，同时带动规尺运动。图中OC=BC=AC=r，并取C为基点，试求规尺AB的平面运动方程。图8-17解：设OC杆与x轴的夹角为，则C点的坐标可表示为假设初始时刻（t=0），=0，则=Ot。于是，规尺AB的平面运动方程为题8-2 如图8-18（a）所示为一曲柄连杆机构，曲柄OA以匀角速度转动，其中OA=r，AB=r。试求当曲柄OA与水平x轴呈60角时点B的速度。 （a） （b）图8-18解：连杆AB作平面运动，以A点为基点，则B点速度为其中vA方向与OA垂直，其大小为vA=r；vB方向与AB垂直。作速度平行四边形如图8-18（b）所示。由于，因此当曲柄OA与水平x轴的夹角时，OA与AB垂直，此时B点速度为题8-3 如图8-19（a）所示为一四连杆机构，其中O1B=l，AB=1.5l，D为AB中点，OA杆以匀角速度转动。试求杆AB的角速度以及B点和D点的速度。（a）（b）图8-19解：由题意，AB杆作平面运动，OA和O1B分别绕O点、O1点作定轴转动，C点是AB杆作平面运动的速度瞬心，如图8-19（b）所示。由图中几何关系可知A点速度为于是杆AB的角速度为B点和D点的速度分别为题8-4 如图8-20（a）所示，杆AB的A端沿水平线以等速v运动，运动时杆恒与半圆周相切，半圆周的半径为R。试求当杆与水平线间夹角为时，杆AB的角速度。 （a） （b）图8-20解：AB杆作平面运动，AB杆与半圆周的切点C的速度与圆周相切，沿AB方向；又知A点的速度方向为水平向右，由此可以确定AB杆的速度瞬心M，如图8-20（b）所示。根据速度瞬心法，有上式中AM可由图8-20（b）中几何关系求出因此，杆AB的角速度为题8-5 如图8-21（a）所示平面机构中，杆AC在导轨中以等速v运动，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，其中导套O与杆AC的距离为l。试求当杆AB与杆AC间夹角为=60时，杆AB的角速度。 （a） （b）图8-21解：以A点为动点，动系固连于导套O上。A点的绝对运动为以匀速v沿AC方向的运动；A点的相对运动为沿导套O的直线运动；牵引运动为绕O点的转动，速度平行四边形如图8-21（b）所示。由速度合成定理，可知由于杆AB在导套O中滑动，因此二者角速度相同，即题8-6 如图8-22（a）所示的行星轮系由半径为R的固定轮、半径为r的行星轮及曲柄OA组成，曲柄OA以角速度绕O轴顺时针转动，同时带动行星轮沿固定轮作纯滚动。试求图示M点的速度。 （a） （b）图8-22解：如图8-22（b）所示，行星轮沿固定轮作纯滚动，接触点P点为速度瞬心；设行星轮角速度为A，由速度瞬心法，可知A点的速度为行星轮的角速度为于是，可求得P点速度为P点速度方向如图8-22（b）所示。题8-7 如图8-23（a）所示为一个四连杆机构，其中OA=l，AB=4l，OA杆以匀角速度O转动，当机构转动到图示位置时，O、A、B三点共线，且1=2=30。试求此时摇杆O1B及AB的角速度。（a） （b）图8-23解：AB杆作平面运动，取A点为基点，速度分析如图8-23（b）所示。由速度基点法，可知由于vA和vBA均垂直于直线AB，因此、在AB直线上的投影为零，于是B点速度为零，因此AB杆的角速度为题8-8 如图8-24（a）所示，半径为R的轮子沿水平面作纯滚动，轮子上圆柱部分的直径为r。将线绕在圆柱上，线的B端以速度v沿水平方向运动。试求轴心O的速度。（a） （b）图8-24解：如图8-24（b）所示，轮子沿水平面作纯滚动，接触点C点为速度瞬心；由题意，轮上A点的速度为v。根据速度瞬心法，可知因此，轮的轴心O点的速度为第9章 质点动力学基本方程思考题9-1 动力学基本定律的内容是什么？解：动力学基本定律，又称为牛顿定律。其中第一定律又称为惯性定律，即不受力作用的质点，将永远保持其静止或匀速直线运动状态。第二定律又称为力与加速度关系定律，即质点因受力作用而产生加速度，其大小与力的大小成正比，与质点的质量成反比，其方向与力的方向相同。第三定律又称为作用与反作用定律，即两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。9-2 质量和重量有什么区别和联系？解：质量，是指物体中所含物质的多少，是质点惯性大小的度量；而重量则是指物体所受重力的大小，等于质点质量与重力加速度的乘积。9-3 试判断以下两种说法是否正确，为什么？（1）质点要运动就必须有力的作用。（2）不受力作用的质点必然静止。解：（1）错误。力是改变物体运动状态的原因，但不是维持物体运动的原因。（2）错误。质点不受力作用时，其运动状态不变，将保持静止或作匀速直线运动。9-4 当突然刹车时，车里的人会向前倾倒。试利用牛顿定律解释这一现象。解：牛顿第一定律指出，物体有保持原有运动状态不变的特性，这个特性