6.4反三角函数(反正弦函数)(1)教案.doc

6.4反三角函数（反正弦函数）（1）教案教学目的：1理解函数y=sinx（xR）没有反函数；理解函数y=sinx， x-，有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是-1，1，值域是-，.2知道反正弦函数y=arcsinx ，x-1，1的图像.3掌握等式sin（arcsinx）=x，x-1，1和arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1.4能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角.5会用数形结合等数学思想分析和思考问题.教学重点：教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题.教学过程：（一）、引入一、（设置情境）1复习 我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），xD，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。2思考 那么正弦函数是否存在反函数呢？ 说明 因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。3讨论 正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）在所取区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值可以选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。二、（双基回顾）1.根据下列给出的条件，求对应的角1)， 则=_ 2)，则=_2下列函数图像中哪些图像所表示的函数具有反函数？ （ ） (A) (B) (C) (D)（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）函数y=sinx， x-，存在反函数吗？二、概念或定理或公式教学（推导）概念辨析（1）反正弦函数的定义： 函数y=sinx， x-，的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x-1，1.xy0（2）反正弦函数的性质： 图像 定义域-1，1 值域-， 奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1 单调性：增函数说明互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=sinx，x-，与函数y=arcsinx，x-1，1的图像关于直线对称.三、（概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用）判断下列各式是否成立?简述理由.（1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2k+，kZ；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=.解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为-1，1；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为-，；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.四、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1求下列反正弦函数的值：（1）arcsin； （2）arcsin0； （3）arcsin（-）解：（1）因为sin=，且-，所以arcsin=. （2）因为sin0=0，且0-，所以arcsin0=0. （3）因为sin（-）=-，且-，所以arcsin（-）=-.例2用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：（1）sinx=，x-，；（2）sinx=-，x-，；（3）sinx=- ，x-，0解：（1）因为x-，由定义，可知x=arcsin； （2）因为x-，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin； （3）在区间-，0 上，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；在区间-，-上，由诱导公式，可知x=-+arcsin，满足 sinx=-因此x= arcsin或x=-+arcsin.例3化简下列各式：（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；*（3）arcsin（sin20070）解：（1）因为-，设sin=，所以arcsin=，即arcsin（sin）=.（2）因为-，而-，且sin=sin，设sin=sin=，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）=arcsin=.（3）因为sin20070=sin（53600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270所以arcsin（sin20070）= arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x，则= arcsin2x，因为2x-1，1，arcsin2x-，所以x-，y-，根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x= sin，将x，y互换，得反函数f-1（x）= sin，定义域是-，值域是-，.五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）1、求下列反三角函数的值：（1）_ ; （2） _;（1） ; （2） ;六、拓展探究（2个）例1证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1证明：x-1，1， -x-1，1sinarcsin（-x）= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x又因为arcsin（-x）-，-arcsinx-，且正弦函数在-，上单调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1 说明这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2设x，sinx=，用反正弦函数值表示x.解：因为x，所以（-x）-，又sin（-x）=sinx，得sin（-x）=，于是-x=arcsin，x=- arcsin.说明 对于用反正弦函数值表示区间-，外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.（三）、小结（1）反正弦函数的定义；（2）反正弦函数的性质.（四）、作业（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4 （2）思考题：求函数f（x）=2-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）一、填空题1、求下列反三角函数的值：（1)_ ; （2) _.(3) =_; (4) =_.2、函数的单调递减区间是 3、若 有解，则a的取值范围是_.4、函数的值域是_.5*、若是奇函数，且当时，的解析式是= 6*、函数, 当x =_时, 函数取得最小值, 最小值是_ 当x=_时, 函数取得最大值, 最大值是_.二、选择题1、下列函数中, 存在反函数的是 ( ) 、 y=sin x , ( x 0, 、 y=sin x , (x) 、 y=sin x , ( x) 、 y=sin x , (x )2、若的值 （ ）、x 、 、 、3、函数是 （ ）、偶函数 、既是奇函数又是偶函数 、奇函数 、非奇非偶函数4*、若, 且, 则为 （ ） 、 、 、 - 、三、解答题1、求满足arc sin (1-a) + arc sin (1)0 的a的取值范围.2、求的值3、求函数的定义域和值域。4*、函数，求反函数。四、双基铺垫1、已知，试根据下列条件求：(1)是区间的角 (2)所有的满足条件的2、求下列各式的值：(1) (2)6.4反三角函数（1）反正弦函数课外作业答案一、填空题1、（1) ; （2) (3) (4) 2、 3、 4、 0，5*、6*、 y有最小值-2, 当, 即时,y有最大