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文档简介

6.4反三角函数(反正弦函数)(1)教案教学目的:1理解函数y=sinx(xR)没有反函数;理解函数y=sinx, x-,有反函数;理解反正弦函数y=arcsinx的概念,掌握反正弦函数的定义域是-1,1,值域是-,.2知道反正弦函数y=arcsinx ,x-1,1的图像.3掌握等式sin(arcsinx)=x,x-1,1和arcsin(-x)=-arcsinx,x-1,1.4能够熟练计算特殊值的反正弦函数值,并能用反正弦函数值表示角.5会用数形结合等数学思想分析和思考问题.教学重点:教学重点:理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点:反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题.教学过程:(一)、引入一、(设置情境)1复习 我们学习过反函数,知道,对于函数y=f(x),xD,如果对它的值域中的任意一个值y,在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应,使y=f(x),这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。2思考 那么正弦函数是否存在反函数呢? 说明 因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。3讨论 正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量,正弦值可以表示相应的角值,并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间,使得存在反函数呢?这个区间的选择依据两个原则:(1)在所取区间上存在反函数;(2)能取到的一切函数值可以选取闭区间,使得在该区间上存在反函数,而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。二、(双基回顾)1.根据下列给出的条件,求对应的角1), 则=_ 2),则=_2下列函数图像中哪些图像所表示的函数具有反函数? ( ) (A) (B) (C) (D)(二)、新课一、(新课教学,注意情境设置)函数y=sinx, x-,存在反函数吗?二、概念或定理或公式教学(推导)概念辨析(1)反正弦函数的定义: 函数y=sinx, x-,的反函数叫做反正弦函数,记作y=arcsinx,x-1,1.xy0(2)反正弦函数的性质: 图像 定义域-1,1 值域-, 奇偶性:奇函数,即arcsin(-x)=-arcsinx,x-1,1 单调性:增函数说明互为反函数的两个函数图像关于直线对称,函数y=sinx,x-,与函数y=arcsinx,x-1,1的图像关于直线对称.三、(概念辨析或变式问题,目的是加强概念、公式的理解或应用)判断下列各式是否成立?简述理由.(1)arcsin=;(2)arcsin=;(3)arcsin1=2k+,kZ;(4)arcsin(-)=- arcsin;(5)sin(arcsin)=;(6)arcsin=.解:(1)式成立;(2)、(4)、(5)各式都不成立,理由是反正弦函数的定义域为-1,1;(3)式仅当k=0时成立,k取其他整数时,不成立,理由是反正弦函数的值域为-,;(6)式不成立,因为与反正弦函数的定义不符.四、典型例题(3个,基础的或中等难度)例1求下列反正弦函数的值:(1)arcsin; (2)arcsin0; (3)arcsin(-)解:(1)因为sin=,且-,所以arcsin=. (2)因为sin0=0,且0-,所以arcsin0=0. (3)因为sin(-)=-,且-,所以arcsin(-)=-.例2用反正弦函数值的形式表示下列各式的x:(1)sinx=,x-,;(2)sinx=-,x-,;(3)sinx=- ,x-,0解:(1)因为x-,由定义,可知x=arcsin; (2)因为x-,由定义,可知x=arcsin(-)=- arcsin; (3)在区间-,0 上,由定义,可知x=arcsin(-)=- arcsin;在区间-,-上,由诱导公式,可知x=-+arcsin,满足 sinx=-因此x= arcsin或x=-+arcsin.例3化简下列各式:(1)arcsin(sin);(2)arcsin(sin);*(3)arcsin(sin20070)解:(1)因为-,设sin=,所以arcsin=,即arcsin(sin)=.(2)因为-,而-,且sin=sin,设sin=sin=,所以arcsin(sin)= arcsin(sin)=arcsin=.(3)因为sin20070=sin(53600+2070)=sin2070=sin(1800+270)=-sin270所以arcsin(sin20070)= arcsin(-sin270)=- arcsin(sin270)=- 270.例4求函数f(x)=2arcsin2x的反函数f-1(x),并指出反函数的定义域和值域.解:设y=2arcsin2x,则= arcsin2x,因为2x-1,1,arcsin2x-,所以x-,y-,根据反正弦函数的定义,得2x=sin,x= sin,将x,y互换,得反函数f-1(x)= sin,定义域是-,值域是-,.五、课堂练习(2个,基础的或中等难度)1、求下列反三角函数的值:(1)_ ; (2) _;(1) ; (2) ;六、拓展探究(2个)例1证明等式:arcsin(-x)=-arcsinx,x-1,1证明:x-1,1, -x-1,1sinarcsin(-x)= -x,sin(-arcsinx)=-sin(arcsinx)=-x又因为arcsin(-x)-,-arcsinx-,且正弦函数在-,上单调递增,所以arcsin(-x)=-arcsinx,x-1,1 说明这是证明角相等的问题,两个角仅有同名三角比相等,不能证明这两个角相等,教师应启发学生知道这个数学事实,并举例说明.例2设x,sinx=,用反正弦函数值表示x.解:因为x,所以(-x)-,又sin(-x)=sinx,得sin(-x)=,于是-x=arcsin,x=- arcsin.说明 对于用反正弦函数值表示区间-,外的角,教材不作要求,但考虑到在解实际问题中常要表示钝角,因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.(三)、小结(1)反正弦函数的定义;(2)反正弦函数的性质.(四)、作业(1)书上练习6.4(1)中的1、2、3、4 (2)思考题:求函数f(x)=2-arcsin2x的反函数f-1(x),并指出反函数的定义域和值域.课外作业:(6+2填空,3+1选择,3+1解答,其中+后面的题目可以难些用“*”注明)一、填空题1、求下列反三角函数的值:(1)_ ; (2) _.(3) =_; (4) =_.2、函数的单调递减区间是 3、若 有解,则a的取值范围是_.4、函数的值域是_.5*、若是奇函数,且当时,的解析式是= 6*、函数, 当x =_时, 函数取得最小值, 最小值是_ 当x=_时, 函数取得最大值, 最大值是_.二、选择题1、下列函数中, 存在反函数的是 ( ) 、 y=sin x , ( x 0, 、 y=sin x , (x) 、 y=sin x , ( x) 、 y=sin x , (x )2、若的值 ( )、x 、 、 、3、函数是 ( )、偶函数 、既是奇函数又是偶函数 、奇函数 、非奇非偶函数4*、若, 且, 则为 ( ) 、 、 、 - 、三、解答题1、求满足arc sin (1-a) + arc sin (1)0 的a的取值范围.2、求的值3、求函数的定义域和值域。4*、函数,求反函数。四、双基铺垫1、已知,试根据下列条件求:(1)是区间的角 (2)所有的满足条件的2、求下列各式的值:(1) (2)6.4反三角函数(1)反正弦函数课外作业答案一、填空题1、(1) ; (2) (3) (4) 2、 3、 4、 0,5*、6*、 y有最小值-2, 当, 即时,y有最大

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