正弦定理教案.docx

第1课时课题: 111正弦定理教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程.课题导入如图11-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B.讲授新课探索研究 (图11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, A则 b c从而在直角三角形ABC中， C a B(图11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图11-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C同理可得， b a从而 A c B (图11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作， C由向量的加法可得 则 A B ，即同理，过点C作，可得 从而 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）等价于，从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例1在中，已知，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解：根据正弦定理，因为，所以，或 当时， ， 当时， ，评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。.课堂练习答案 ACCAA DDD 补充练习已知ABC中，求（答案：1：2：3）.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：；或，（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。正弦定理练习题1在ABC中，A45，B60，a2，则b等于()A.B. C. D22在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4 C4 D.3在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A60，a4，b4，则角B为()A45或135 B135 C45 D以上答案都不对4在ABC中，abc156，则sinAsinBsinC等于()A156B651 C615 D不确定5在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A105，B45，b，则c()A1 B. C2 D.6在ABC中，若，则ABC是()A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形7已知ABC中，AB，AC1，B30，则ABC的面积为()A. B. C.或 D.或8ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c，b，B120，则a等于()A. B2 C. D.9在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a1，c，C，则A_.10在ABC中，已知a，b4，A30，则sinB_.11在ABC中，已知A30，B120，b12，则ac_.12在ABC中，a2bcosC，则ABC的形状为_13在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则_，c_.14已知ABC中，ABC123，a1，则_.15在ABC中，已知a3，cosC，SABC4，则b_.16在ABC中，b4，C30，c2，则此三角形有_组解17ABC中，ab60，sin Bsin C，ABC的面积为15，求边b的长1.1正弦定理(二)课时目标1.熟记正弦定理的有关变形公式；2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明1正弦定理：2R的常见变形：(1)sin Asin Bsin C_；(2)_；(3)a_，b_，c_；(4)sin A_，sin B_，sin C_.2三角形面积公式：S_.一、填空题1在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，则sin Asin Bsin C等于_2在ABC中，若，则ABC的形状是_3在ABC中，sin A，a10，则边长c的取值范围是_4在ABC中，a2bcos C，则这个三角形一定是_三角形5如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB45，则圆O的面积等于_6已知三角形面积为，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为_7在ABC中，已知a3，cos C，SABC4，则b_.8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A60，a，b1，则c_.9在单位圆上有三点A，B，C，设ABC三边长分别为a，b，c，则_.10在ABC中，A60，a6，b12，SABC18，则_，c_.二、解答题11在ABC中，求证：.12在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状能力提升13在ABC中，B60，最大边与最小边之比为(1)2，则最大角为_14在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a2，C，cos ，求ABC的面积S.1在ABC中，有以下结论：(1)ABC；(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C；(3)；(4)sin cos ，cos sin ，tan .1.1正弦定理(二)答案知识梳理1. (1)abc(2)2R(3)2Rsin A2Rsin B2Rsin C(4)2.absin C bcsin Acasin B作业设计1. 753解析(bc)(ca)(ab)456，.令k (k0)，则，解得.sin Asin Bsin Cabc753.2等边三角形解析由正弦定理知：，tan Atan Btan C，ABC.3.解析，csin C0b，得AB，B30，故C90，由勾股定理得c2.97解析ABC的外接圆直径为2R2，2R2，2147.10126解析12.SABCabsin C612sin C18，sin C，12，c6.11证明因为在ABC中，2R，所以左边右边所以等式成立，即.12解设三角形外接圆半径为R，则a2tan Bb2tan Asin Acos Asin Bcos B