高中数学教参——二次函数和幂函数.doc

1二次函数的解析式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为f(x)a(xh)2k(a0)；(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2二次函数的图象和性质a0a0(a0)与ax2bxc0恒成立的充要条件是其几何意义是抛物线恒在x轴上方；(2)ax2bxc0时，根据幂运算，幂函数yx0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内3函数yx，yx2，yx3，yx，y在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的大小有什么关系？提示：在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下自测 牛刀小试1已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(2,4)，且过点(3,0)，则f(x)_(用一般式表示)解析：依题意可设f(x)a(x2)24(a0)，代入点(3,0)可得0a(32)24.从而a4，所以f(x)4(x2)244x216x12.答案：4x216x122已知函数f(x)ax2x5在x轴上方，则a的取值范围是_解析：函数f(x)ax2x5在x轴上方，即a.3(教材习题改编)已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_解析：如图，由图象可知m的取值范围1,24(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是_y2x；y2x1；y(x2)2；y；y.解析：yx，yx故为幂函数5下列命题：幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；幂函数的图象不可能在第四象限；n0时，函数yxn的图象是一条直线；幂函数yxn，当n0时是增函数；幂函数yxn，当n0时，在第一象限内函数值随x值增大而减小其中正确的是_解析：幂函数yxn，当n0时，不过(0,0)点，错误；当n0时，yxn中x0，故其图象是去掉(0,1)点的一条直线，错；yx2在(，0)上是减函数，(0，)上是增函数，错答案：二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)同时满足以下条件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)0的两根的立方和等于17.求f(x)的解析式自主解答依条件，设f(x)a(x1)215(a0)，即f(x)ax22axa15.令f(x)0，即ax22axa150，则x1x22，x1x21.而xx(x1x2)33x1x2(x1x2)23322.即217，则a6.故f(x)6x212x9.在本例条件下，若g(x)与f(x)的图象关于坐标原点对称，求g(x)的解析式解：设p(x，y)是函数g(x)图象上的任意一点，它关于原点对称的点p(x，y)必在f(x)的图象上则y6(x)212(x)9，即y6x212x9.故g(x)6x212x9.二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：1已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.二次函数的图象和性质例2(2012盐城模拟)已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当a1时，求f(|x|)的单调区间自主解答(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21.又x4,6，函数f(x)在4,2上为减函数，在2,6上为增函数f(x)maxf(4)(42)2135，f(x)minf(2)1.(2)函数f(x)x22ax3的对称轴为xa，且f(x)在4,6上是单调函数，a6或a4，即a6或a4.(3)当a1时，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0解决二次函数图象与性质时的注意点分析二次函数的图象，主要有两个要点：(1)二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；(2)对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置.,对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等.2已知f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，求a的值及函数表达式f(x)解：f(x)424a，抛物线顶点坐标为.当1，即a2时，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a12(舍去)；当01，即0a2时，x时，f(x)取最大值为4a.令4a5，得a(0,2)；当0，即a0时，f(x)在0,1内递减，x0时，f(x)取最大值为4aa2，令4aa25，得a24a50，解得a5，或a1，其中5(，0综上所述，a或a5时，f(x)在0,1内有最大值5.f(x)4x25x或f(x)4x220x5.幂函数的图象和性质例3已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1x2f(x2)；x1f(x1)；.其中正确结论的序号是_自主解答法一：依题意，设f(x)x，则有，即，所以，于是f(x)x.由于函数f(x)x在定义域0，)内单调递增，所以当x1x2时，必有f(x1)f(x2)，从而有x1f(x1)，所以正确法二：设f(x)x，则有即，所以，所以f(x)x.设g(x)xf(x)x，因为g(x)x在定义域内是增函数，当x1x2时，必有x1f(x1)x2f(x2)，所以正确；设h(x)即h(x)x，因为h(x)x在定义域内是减函数，所以当x1，所以正确答案幂函数yx的图象的特征(1)的正负：0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，曲线下凸(3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内；(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点3(1)幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则m的值为_(2)当0x1时，f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2的大小关系是_解析：(1)从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22m30，即1mg(x)f(x)答案：(1)1(2)h(x)g(x)f(x)1类最值二次函数在给定区间上的最值二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且只能在区间的端点或顶点处取得对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论求解2种思想数形结合与分类讨论思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次不等式根的大小等5种方法二次函数对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为x.(2)对于二次函数yf(x)定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数)(3)对于二次函数yf(x)定义域内所有x，都有f(x2a)f(x)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数)注意：(2)(3)中，f(ax)f(ax)与f(x2a)f(x)是等价的(4)利用配方法求二次函数yax2bxc(a0)的对称轴方程为x.(5)利用方程根法求对称轴方程若二次函数yf(x)对应方程f(x)0的两根为x1，x2，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为x. 数学思想分类讨论在求二次函数最值中的应用二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论典例(2013青岛模拟)已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值解(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.(2)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x的图象对称轴在0,1内，f(x)在上递减，在上递增f(x)minf.当1，即0a1时，f(x)ax22x的图象对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0)在区间m，n上的最大值或最小值如下：(1)当m，n，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其值是f，f(x)的最大值在离对称轴较远的端点处取得，它是f(m)，f(n)中的较大者(2)当 m，n，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)在m，n上是单调函数若m，f(x)在m，n上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n，f(x)在m，n上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)1设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)解：函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论而2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.综上，g(a)2(2013玉林模拟)是否存在实数a，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，说明理由解：f(x)x22axa(xa)2aa2.当a1时，f(x)在1,1上为增函数，解得a1(舍去)；当1a0时，解得a1.当01时，f(x)在1,1上为减函数，a不存在综上可知a1.一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1(2013徐州期中)幂函数yf(x)的图象经过点，则f的值为_解析：设f(x)x，则4，即f(x)x，于是f2.答案：22若函数f(x)ax2bxc满足f(4)f(1)，那么f(2)与f(3)的大小关系为_解析：由所给条件知：该函数图象关于直线x对称，而2,3也是关于直线x对称的，所以有f(2)f(3)答案：f(2)f(3)3设abc0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是_解析：对于，若a0，0，则b0，知f(0)c0，故错；对于，若a0，则b0，由abc0，知f(0)c0，0，由abc0，知f(0)c0，故错；对于，若a0，0，则b0，知f(0)c0，故正确答案：4已知幂函数y(m2m1)xm22m3，当x(0，)时为减函数，则幂函数的解析式为_解析：由幂函数的定义结合已知得：m2m11，解得m2或m1.当m2时，m22m33，所以yx3，在(0，)上为减函数，符合题意；当m1时，m22m30，所以yx01(x0)，在(0，)上是常数函数，不合题意，舍去故所求的幂函数为yx3.答案：yx35(2012泰州质检)若方程x22mx40的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是_解析：设f(x)x22mx4，则题设条件等价于f(1)0，即12m4.答案：m6(2013淮南期中)函数y2xx2的图象大致是_解析：因为当x2或4时，2xx20，所以排除；当x2时，2xx240，0，ac1，c0.ac22.当且仅当ac1时，取等号，ac的最小值为2.答案：28(2012温州模拟)方程x2ax20在区间1,5上有解，则实数a的取值范围为_解析：令f(x)x2ax2，由题意，知f(x)图象与x轴在1,5上有交点，则解得a1.答案：9(2012江苏高考)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：因为f(x)的值域为0，)，所以0，即a24b，所以x2axc0的解集为(m，m6)，易得m，m6是方程x2axc0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得c9.答案：910(2012无锡联考)设函数f(x)mx2mx1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取值范围是_解析：若m0；显然10恒成立，若m0，则4m0.故所求范围为42x的解集为x|1x3，方程f(x)6a0有两相等实根，求f(x)的解析式解：设f(x)2xa(x1)(x3)(a0)，则f(x)ax24ax3a2x，f(x)6aax2(4a2)x9a，(4a2)236a20，16a216a436a20,20a216a40，5a24a10，(5a1)(a1)0，解得a，或a1(舍去)因此f(x)的解析式为f(x)x2x.13(满分16分)(2012昆山模拟)已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b0时，f(x)在2,3上为增函数，故即解得当a0时，f(x)在2,3上为减函数，故即解得(2)b0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解：(1)由已知c1，f(1)abc0，且1，a1，b2.f(x)(x1)2.F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由题意知f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1，在x(0,1上恒成立，即bx且bx在x(0,1上恒成立，根据单调性可得x的最小值为0，x的最大值为2，所以2b0.故b的取值范围为2,01已知函数f(x)ax2(3a)x1，g(x)x，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数a的取值范围是_解析：据题意只需转化为当x0时，ax2(3a)x10恒成立即可结合f(x)ax2(3a)x1的图象，当a0时验证知符合条件当a0时必有a0，当x0时，函数在(，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f(0)