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文档简介
2.3 控制系统的典型环节2.3 控制系统的典型环节自动控制系统是由不同功能的元件构成的。从物理结构上看,控制系统的类型很多,相互之间差别很大,似乎没有共同之处。在对控制系统进行分析研究时,我们更强调系统的动态特性。具有相同动态特性或者说具有相同传递函数的所有不同物理结构,不同工作原理的元器件,我们都认为是同一环节。所以,环节是按动态特性对控制系统各部分进行分类的。应用环节的概念,从物理结构上千差万别的控制系统中,我们就发现,他们都是有为数不多的某些环节组成的。这些环节成为典型环节或基本环节。经典控制理论中,常见的典型环节有以下六种。2.3.1 比例环节比例环节是最常见、最简单的一种环节。比例环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)之间满足下列关系(2.24)比例环节的传递函数为(2.25)式中K为放大系数或增益。杠杆、齿轮变速器、电子放大器等在一定条件下都可以看作比例环节。例10 图2.10 是一个集成运算放大电路,输入电压为,输出电压为,为输入电阻,为反馈电阻。我们现在求取这个电路的传递函数。解 从电子线路的知识我们知道这是一个比例环节,其输入电压与输出电压的关系是(2.26)按传递函数的定义,可以得到(2.27)式中,可见这是一个比例环节。如果我们给比例环节输入一个阶跃信号,他的输出同样也是一个阶跃信号。阶跃信号是这样一种函数(2.28)式中为常量。当时,称阶跃信号为单位阶跃信号。阶跃输入下比例环节的输出如图2.11 所示。比例环节将原信号放大了K倍。图2.10比例器图2.11 比例环节的阶跃响应(a)阶跃输入;(b)阶跃输出2.3.2 惯性环节惯性环节的输入变量X(t)与输出变量Y(t)之间的关系用下面的一阶微分方程描述(2.29)惯性环节的传递函数为(2.30)式中,T称为惯性环节的时间常数,K称为惯性环节的放大系数。惯性环节是具有代表性的一类环节。许多实际的被控对象或控制元件,都可以表示成或近似表示成惯性环节。如我们前面举过的液位系统、热力系统、热电偶等例子,它们的传递函数都具有(2.30)式的形式。都属惯性环节。当惯性环节的输入为单位阶跃函数是,其输出y(t)如图2.12所示。图2.12 惯性环节的单位阶跃响应(a)输入函数;(b)惯性环节的输出从图2.12中可以看出,惯性环节的输出一开始并不与输入同步按比例变化,直到过渡过程结束,y(t)才能与x(t)保持比例。这就是惯性地反映。惯性环节的时间常数就是惯性大小的量度。凡是具有惯性环节特性的实际系统,都具有一个存储元件或称容量元件,进行物质或能量的存储。如电容、热容等。由于系统的阻力,流入或流出存储元件的物质或能量不可能为无穷大,存储量的变化必须经过一段时间才能完成,这就是惯性存在的原因。2.3.3 微分环节理想的微分环节,输入变量x(t)与输出变量y(t)只见满足下面的关系(2.31)理想微分环节的传递函数为(2.32)式中为微分时间常数。微分环节反映了输入的微分,既反映了输入x(t)的变化趋势。它具有“超前”感知输入变量变化的作用,所以常用来改善控制系统的特性。例11 图2.13式是由运算放大器构成的微分电路原理图,我们现在来推导它的传递函数。解 本节例1中的比例放大器,如把输入电阻和反馈电阻用复阻抗代替,可以得到该类型运算放大电路的传递函数(2.33)式中为反馈电路复阻抗,为输入电路复阻抗。将各元件复阻抗代入(2.33)式令,则有(2.34)这是一个微分环节,所以图2.13所示的电路称为微分器。由于电路元器件都具有一定的惯性,实际的微分环节是带有惯性环节的微分环节,其传递函数为(2.35)式中、为时间常数。图 2.13 微分器2.3.4 积分环节积分环节的输出变量y(t)是输入变量x(t)的积分,即(2.36)积分环节的传递函数为(2.37)式中K为放大系数。例12 图2.14是一个气体贮罐。我们现在来分析一下流入贮罐的气体流量与贮罐内气体压力的关系。解 设气体流量为Q,贮罐内气体压力为P,气罐容积为V,R为气体常数,T为气体的绝对温度,则有(2.38)其传递函数为(2.39)式中。图2.14气体贮罐2.3.5 振荡环节振荡环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)的关系由下列二阶微分方程描述。(2.40)按传递函数的定义可以求出式2.40所表示的系统的传递函数为:(2.41)上两式中,称为振荡环节的无阻尼自然振荡频率,称为阻尼系数或阻尼比。式(2.40)是振荡环节的标准形式,许多用二阶微分方程描述的系统,都可以化为这种标准形式。本章中2.1节中的例1是机械运动系统,例2是直流电动机。2.2节中的例7RLC电路都是振荡环节的例子。例13 把2.2节的例7RLC电路的传递函数化为标准形式。解 已知上式可以写为(2.42)式中,,K为放大系数。振荡环节在阻尼比的值处于区间时,对单位阶跃输入函数的输出曲线如图2.15所示。这是一条振幅衰减的振荡过程曲线。振荡环节和惯性环节一样,是一种具有代表性的环节。很多被控对象或控制装置都具有这种环节所表示的特性。图2.15 振荡环节的单位阶跃响应2.3.6 延时环节(滞后环节)延时环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)之间的关系为(2.43)延时环节的传递函数为(2.44)式中为延迟时间。图2.16表示了延时环节输入与输出的关系:图2.16延时环节的输入与输出信号通过延时环节,不改变其性质,仅仅在发生时间上延迟了时间。在热工过程、化工过程和能源动力设备中,工质、燃料、物料从传输管道进口到出口之间,就可以用延时环节表示。延时环节的传递函数是关于s的无理函数,在分析计算中非常不便。所以常用有理函数对其进行近似。一种近似方法是将其表示为(2.45)式中n1,n越大,精度越高,但计算也越复杂,一般取n4即可得到较满意的结果。另一种方法是把指数函数展开成泰勒级数略去高次项后可得到(2.46)或(2.47)这种方
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