2009-2017全国高中数学联赛分类汇编计数原理.doc

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第06讲：计数原理1、（2010一试8）方程满足的正整数解的个数是.【答案】336675易知 ，所以，即.从而满足的正整数解的个数为.2、（2011一试5）现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为（用数字作答）【答案】15000【解析】由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （1）有一个项目有3人参加，共有种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有种方案；所以满足题设要求的方案数为3、（2011一试8）已知C，则数列中整数项的个数为【答案】15【解析】C要使 为整数，必有均为整数，从而当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个当时，C，在C中，中因数2的个数为，同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以C中因数2的个数为，故是整数当时，C，在C中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数因此，整数项的个数为4、（2013一试6）从1,2，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.【答案】5、（2015一试8）对四位数,若,则称为类数,若,则称为类数,用与分别表示类数与类数的个数,则的值为【答案】285【解析】分别记P类数、Q类数的全体为A,B，再将个位数为零的P类数全体记为,个位数不等于零的P类数全体记为.6、（2016一试8）设是1，2，100中的4个互不相同的数，满足则这样的有序数组的个数为 .【答案】40先考虑的情况.此时，注意到互素，故为正整数. 相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即.由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为.当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列.综上可知，共有40个满足条件的有序数组.学科*网7、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是.【答案】75【解析】考虑平稳数.若b=0,则a=1,8、（2010二试4）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？同，标有a和b的边都是偶数条所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍设标有a的边有条，标有b的边有条，选取条边标记a的有种方法，在余下的边中取出条边标记b的有种方法，其余的边标记c由乘法原理，此时共有种标记方法对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为 这里我们约定 当n为奇数时，此时 代入式中，得 当n为偶数时，若，则式仍然成立；若，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法