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博弈论与信息经济学练习1 完全信息静态博弈【例题】一群赌徒围成一圈赌博,每个人将自己的钱放在身边的地上(每个人都知道自己有多少钱),突然一阵风吹来将所有的钱混在一起,使得他们无法分辨哪些钱属于自己的,他们为此而发生争执,最后请来一位律师。律师宣布了这样的规则:每一个人将自己的钱数写在纸条上,然后将纸条交给律师;如果所有人要求的加总不大于钱的总数,每个人得到自己要求的部分(如果有剩余的话,剩余的归律师);如果所有人要求的加总大于钱的总数,所有的钱都归律师所有。写出这个博弈中每个参与人的战略空间和支付函数,并给出纳什均衡。解:设金钱总数为M。 对赌徒i,战略空间Si=0,M,siSi,支付函数ui为 所有满足isiM的选择都是纳什均衡。纳什均衡有无穷多个。【例题】(库诺特博弈)假定有n个库诺特寡头企业,每个企业具有相同的不变单位成本c,市场逆需求函数是p = a - Q,其中p是市场价格,Q = jqj是总供给量,a是大于零的常数。企业i的战略是选择产量qi最大化利润 i=qi(a-Q-c),给定其他企业的产量q-i,求库诺特-纳什均衡。解:根据问题的假设可知各企业的利润函数为 其中i=1,n。将利润函数对qi求导并令其为0得: 解得各企业对其他企业产量的反应函数为: 根据n个企业之间的对称性,可知必然成立。代入上述反应函数可解得: 因此该博弈的纳什均衡是所有n个企业都生产产量 【例题】(伯川德博弈)假定两个寡头企业之间进行价格竞争(而不是产量竞争),两个企业生产的产品是完全替代的,并且单位生产成本相同且不变,企业1的价格为p1,企业2的价格为p2。如果p1p2,企业1的需求函数为0,企业2的需求函数为q2=a-p2;如果p1=p2=p,市场需求在两个企业之间平分,即qi=(a-p)/2,什么是纳什均衡价格?解:假设单位成本为c。 企业i的需求函数为 从上述需求函数可以看出,企业i绝不会将其价格定的高于企业j。由于对称性,可知博弈的均衡结果必然是两企业的价格相同,即p1=p2。如果pic,企业i的利润i=qi(pi-c)=(pi-c)(a-pi)/20。因此,只要企业i将其价格略微降低一点点(0),则可获得整个市场的需求,利润为(pi-c)(a-pi)(pi-c)(a-pi)/2。另一企业也会采取相同的战略,直到其利润为0。此时均衡的结果为p1=p2=c。2 完全信息动态博弈【例题】参与人1(丈夫)和参与人2(妻子)必须独立地决定出门时是否带伞。他们知道下雨和不下雨的可能性相同(即50:50)。支付函数如下:如果只有一人带伞,下雨时带伞者的效用为-2.5,不带伞者(搭便车者)的效用为-3;不下雨时带伞者的效用为-1,不带伞者的效用为0;如果两人都带伞,下雨时每人的效用为-2,不下雨时每人的效用为1;如果两人都不带伞,下雨时每人的效用为-5,不下雨时每人的效用为1。给出以下两种情况下的扩展式表述(博弈树)和战略式表述:(1)两人出门前都不知道是否会下雨,并且两人同时决定是否带伞(即每一方在决策时都不知道对方的决策);(2)两人出门前都不知道是否会下雨,但丈夫先决策,妻子在观察到丈夫是否带伞后才决定自己是否带伞;(3)丈夫出门前知道是否会下雨,妻子不知道,但丈夫先决策,妻子后决策;(4)同(3),但妻子先决策,丈夫后决策。解:扩展式表述:假设用N代表自然,H代表丈夫,W代表妻子。 (1)NHHFFFF带伞不带伞不下雨带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞(-2,-2)(-2.5,-3)(-1,-1)(-1,0)(-3,-2.5)(-5,-5)(0,-1)(1,1)下雨带伞不带伞 NHHFFFF带伞不带伞不下雨带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞(-2,-2)(-2.5,-3)(-1,-1)(-1,0)(-3,-2.5)(-5,-5)(0,-1)(1,1)下雨带伞不带伞 (2) NHHFFFF带伞不带伞不下雨带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞(-2,-2)(-2.5,-3)(-1,-1)(-1,0)(-3,-2.5)(-5,-5)(0,-1)(1,1)下雨带伞不带伞NHHFFFF带伞不带伞不下雨带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞(-2,-2)(-2.5,-3)(-1,-1)(-1,0)(-3,-2.5)(-5,-5)(0,-1)(1,1)下雨带伞不带伞 (3)NHHFFFF带伞不带伞不下雨带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞带伞不带伞(-2,-2)(-2.5,-3)(-1,-1)(-1,0)(-3,-2.5)(-5,-5)(0,-1)(1,1)下雨带伞不带伞(4)下雨妻子带伞不带伞丈夫带伞-2,-2-2.5,-3不带伞-3,-2.5-5,-5不下雨妻子带伞不带伞丈夫带伞-1,-1-1,0不带伞0,-11,13.下面的两人博弈可以解释为两个寡头企业的价格竞争博弈,其中p是企业1的价格,q是企业2的价格。企业1的利润函数是: 1=-(p-aq+c)2+q企业2的利润函数是: 2=-(q-b)2+p求解: (1) 两个企业同时决策时的(纯战略)纳什均衡 (2) 企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡 (3) 企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡 (4) 是否存在某些参数值(a,b,c),使得每一个企业都希望自己先决策?解: (1) 根据两个企业的利润函数,得各自的反应函数为: 求解得纳什均衡:(2) 企业1先决策 根据逆推归纳法,先求企业2的反应函数 代入企业1的利润函数,得 再求企业1的反应函数,得

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