苏大--高数下--练习答案.pdf

微积分 二 同步练习答案 1 8 1 向量及其线性运算 1 2 3 4 一 设2 2uabc vabc 试用 a b c 表示24uv 24102uvbc 二 a b c 为三个模为 1 的单位向量 且有0abc 成立 证明 a b c 可构成一个等边三角形 a b c 可构成一个三角形0abc 且 a b c 两两不共线 三 把 ABC的BC边四等分 设分点依次为 123 DDD 再把各分点与点A连接 试以 ABc BCa 表示向量 12 D A D A 和 3 D A 1 1 4 D Aca 2 1 2 D Aca 3 3 4 D Aca 四 已知两点 1 1 2 3M和 2 1 2 1M 试用坐标表示式表示向量 12 M M 及 12 3M M 12 0 4 4 M M 12 3 0 12 12 M M 8 1 向量及其线性运算 5 8 2 数量积 向量积 一 试证明以三点 10 1 64 1 92 4 3ABC 为顶点的三角形是等腰直角三角形 7AB 7BC 7 2AC 二 设已知两点 12 5 2 24 0 3MM和 计算向量 12 M M 的模 方向余弦和方向角 并求与 12 M M 方向一致的单位向量 12 1 2 1 M M 12 2M M 1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 2 3 3 4 3 12 12 1 222 M M 三 设234 4223mijk nijkpijk 及 求232amnp 在x轴上的投影及在 z轴上的分向量 18 1 8 a Pr18 x j a 8 z a kk 四 已知 a b c 为三个模为 1 的单位向量 且0abc 求a bb cc a iii之值 2 3 a bb cc a 3 2 a bb cc a iii 五 已知23 aijk bijkcij 和 计算 1a b ca c b ii 2abbc 3ab c i 125 7 3 5 a b ca c bcb ii 2 3 2 0 2 0 1 2 3 4 abbc 3 2 3 5 1 1 0 1ab c i 六 设 2 1 3 1 2 1ab 问 和满足何关系时 可使ab 与z轴垂直 2 2 3 ab 3 七 已知 1 2 3OA 2 1 1OB 求 AOB的面积 5 5 5 OA OB 15 3 22 ABC SOA OB 微积分 二 同步练习答案 2 8 3 曲面及其方程 一 一动点与两定点 1 2 33 0 7和等距离 求这动点的轨迹方程 2110 xyz 二 方程 222 2460 xyzxyz 表示什么曲面 球心在 1 2 3 半径为14的球面 三 将xoz平面上的双曲线 22 4936xz 分别绕x轴及z轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程 绕x轴 222 49 36xyz 绕z轴 222 4 936xyz 四 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形 1 24yx 直线 平面 22 2 326xy 双曲线 双曲柱面 五 说明下列旋转曲面是怎样形成的 222 1 226xyz 22 26xy 绕x轴 或 22 26xz 绕x轴 2 22 2 zaxy 2 2 zax 绕z轴 或 2 2 zay 绕z轴 六 指出下列方程所表示的曲面 222 1 22xyz 222 2 33xyz 22 3 345 xyz 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆抛物面 8 4 空间曲线及其方程 8 5 平面及其方程 1 一 填空题 1 曲面 22 xy 2 0 9 z 与平面3z 的交线圆的方程是 22 1 3 xy z 其圆心坐标是 0 0 3 圆的半径为 1 2 曲线 22 222 1 1 1 1 xy xyz 在yoz面上的投影曲线为 2 2 1 1 0 yz x 3 螺旋线cosxa sinya zb 在yoz面上的投影曲线为 sin 0 z ya b x 4 上半锥面 22 zxy 01z 在xoy面上的投影为 22 1 0 xy z 在xoz面上的投影 为 1 0 xz y 在yoz面上的投影为 1 0 yz x 二 选择题 1 方程 22 1 49 xy yz 在空间解析几何中表示 B 椭圆柱面 椭圆曲线 两个平行平面 两条平行直线 微积分 二 同步练习答案 3 2 参数方程 cos sin xa ya zb 的一般方程是 D 222 xya B cos z xa b C sin z ya b D cos sin z xa b z ya b 3 平面20 xz 的位置是 D 平行xoz坐标面 平行oy轴 垂直于oy轴 通过oy轴 4 下列平面中通过坐标原点的平面是 C 1x 2340 xyz C 3 1 3 0 xyz D 1xyz 三 化曲线 222 9xyz yx 为参数方程 3 2 cos 2 x 3 2 cos 2 y 3sinz 四 求通过三点 1 1 1 2 2 2 和 1 1 2 的平面方程 3680 xyz 8 5 平面及其方程 2 3 8 6 空间直线及其方程 一 填空题 过点 4 1 3 P 且平行于直线 5 1 2 3 2 z y x 的直线方程为 43 2 1 35 xz y 过点 2 0 3 P 且与直线 277 3521 xyz xyz 垂直的平面方程为 312311950 xyz 过点 0 2 4 P且与二平面21xz 和32yz 平行的直线方程是 2 4 23 xy z 4 当m 1 时 直线 13 2 4 1zyx 与平面3510mxyz 平行 二 选择题 1 下列直线中平行与xoy坐标面的是 D A 2 3 3 2 1 1 zyx C 10 1 0 1zyx B 440 40 xy xz D 12 3 4 xt yt z 2 直线 L 37 4 2 3zyx 与平面 4223xyz 的关系是 A A 平行 B 垂直相交 C L在 上 D 相交但不垂直 3 设直线 1 158 121 xyz L 与 2 6 23 xy L yz 则 1 L与 2 L的夹角为 C A 6 B 4 C 3 D 2 微积分 二 同步练习答案 4 4 两平行线tztytx 12 1与 1 1 2 1 1 2 zyx 之间的距离是 D 1 2 2 3 4 3 3 三 设直线L通过 1 1 1 且与 1 6 32Lxyz 相交 又与 2 L 4 3 1 2 2 1 zyx 垂直 求直线L 的方程 设交点为 2 3 ttt 则 1 21 31 2 1 4 sttt 得 7 16 t 9251 9 2 5 1616 1616 s L的方程 111 925 xyz 四 求通过z轴 且与平面2570 xyz 的夹角为 3 的平面方程 设所求平面为0AxBy 则 22 21 2 10 AB AB 22 3830AABB 3AB 或 3 B A 故30 xy 或30 xy 五 求通过点 2 0 1 P 且又通过直线 3 2 12 1 zyx 的平面方程 取 1 0 2 Q 3 0 3 nPQ 2 1 3 ns 3 15 3 3 1 5 1 nPQs 方程为 2 5 1 0 xyz 即510 xyz 六 设直线 11 230 112 xyz Lxyz 与平面 求证L与 相交 并求交点坐标 求L与 交角 求过L与 交点且与L垂直的平面方程 求过L且与 垂直的 平面方程 求L在 上的投影直线方程 1 1 21L xt ytzt 代入平面得 1t 交点为 1 0 1 2 2 1 21 sin 266 6 3 1 2 1 0 xyz 即230 xyz 4 1 1 2 2 1 1 3 1 1 1 n 方程为 1 1 0 xyz 即0 xyz 5 0 230 xyz xyz 第八章 习题课 一 选择题 1 若直线 1 2 1 1 1 zyx 和直线z yx 1 1 1 1 相交 则 D A 1 B 3 2 C 5 4 D 5 4 2 母线平行于x轴且通过曲线 0 162 222 222 zyx zyx 的柱面方程是 B A 2 216xy B 22 316yz C 22 3216xz D 22 316yz 微积分 二 同步练习答案 5 3 曲线 222 1 1 4 0 xyz z 的参数方程是 A 0 sin3 cos31 z y x B 0 sin2 cos21 z y x C 0 sin3 cos3 z y x D 0 sin2 cos2 z y x 二 填空题 1 已知a 与b 垂直 且a 5 b 12 则 ba 13 ba 13 2 一向量与ox轴和oy轴成等角 而与oz轴组成的角是它们的二倍 那么这个向量的方向角 4 4 2 3 已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点 2 2 1 则该平面方程为 2290 xyz 四 求原点关于平面6291210 xyz 的对称点 过原点且垂直于平面的直线为6 2 9xt yt zt 与平面交点为 6 2 9 所求对称点为 12 4 18 五 求过点 1 2 3 垂直于直线 456 xyz 且平行于平面789100 xyz 的直线方程 7 8 9 4 5 6 3 1 2 1 s 所求直线为 123 121 xyz 六 求过原点且与直线 2340 23450 xyz xyz 垂直相交的直线方程 已知直线为 23 121 xyz 设交点为 2 23 N ttt 则 1 2 1 ON 得 4 3 t 1 2 1 4 3 ON 所求直线为 214 xyz 七 讨论两直线 1 230 2470 xyz l xyz 与 2 32350 3230 xyz l xyz 的位置关系 交点为 3 2 0 9 1 多元函数的基本概念 一 已知 22 yx x y yxf 求 f x y 令 y uxy v x 则 11 uuv xy vv 222 2 1 1 1 1 uvuv f u v vv 2 1 1 xy f x y y 二 求下列函数的定义域 1 yxyx z 11 xyx 2 22 1 ln yx x xyz 22 1 0 xyxy 微积分 二 同步练习答案 6 3 2222 ln 9 1 zxyxy 22 19xy 在 222 222 1 xyz abc 下的最大值 max 8 3 3 abc V 8 求周长为2p的三角形的最大面积 即求 2 Sp papbpc 在2abcp 下的最大值 2 max 3 9 Sp 第九章 习题课 1 求偏导数 1 ln zxy 1 2ln x z xxy 1 2ln y z yxy 2 arctan zuxy 1 2 1 z x z z xy u xy 1 2 1 z x z z xy u xy 2 ln 1 z x z xyxy u xy 2 已知 arctan 22 y x zxye 求dz arctan 2 2 y x dzexy dxyx dy 3 设 1 zf xyyxy x 其中 f 具有 2 阶连续导数 求 2z x y 微积分 二 同步练习答案 12 2 x ff y zy xx 2 xy ffy zxf xyyfy xxx 4 设 yf x z 而 zz x y 由方程 0F x y z 确定 其中f F一阶连续可导 求 dy dx 12 123 0 dyf dxf dy FdxF dyF dz 1321 322 f Ff Fdy dxFf F 5 设 uf x xy xyz f x y二阶可导 求 u x 2u x y 2u x z 123x ufyfyzf 12132222333233 xy uxfxzffy xfxzfzfyz xfxzf 2 231213222333 2fzfxfxzfxyfxyzfxyz f 22 1323333xz uxyfxy fyfxy zf 6 设 22 uxxyy cos sinl 及点 0 1 1 P 1 试求 u l 2 若 u l 在 0 P处取最大 值 求 1 cossin u l 2 4 7 设 zz x y 满足方程2e23 z zxy 且 1 2 0z 求 1 2 d z 2220 z dze dzydxxdy 1 2 d 42zdxdy 8 证明 锥面 22 1zxy 上任一点的切平面都经过其顶点 切平面 00 000 2222 0000 0 xy xxyyzz xyxy 顶点 0 0 1 满足此方程 9 求周长为定值2p的三角形 使它绕自己的一边旋转所产生的旋转体体积最大者 设c为旋转边 则 2 2 14 33 p papbpc Vh cc c 即求V在2abcp 下的最大值 得 3 42 pp abc 3 max 12 p V 10 1 二重积分的概念与性质 10 2 二重积分的计算法 1 1 利用二重积分的几何意义计算 1 222 222 ayx dyxa 上半球体积 3 2 3 a 2 D由 1 1 0 xyxyx 所围 求 D yd 对称性 0 2 利用估值定理估计下列积分的值 1 22 22 1 41 xy xydxdy 5I 2 10 10 22 y x dyxxy 02I 微积分 二 同步练习答案 13 3 比较下列积分的大小 1 22 01 01 x y xyd 33 01 01 x y xyd 2233 0101 0101 xx yy xydxyd 2 1 D f x y d 2 D f x y d 12 0 fDD 12 DD f x y df x y d 4 计算 1 22 1 1 xy xxyyd 原式 111 222 111 28 2 33 dxxxyydyxdx 2 0 0 cos x y x xxy d 原式 000 3 cos sin2sin 2 x dxxxy dyxxx dx 5 画出积分区域 并计算 1 xy D ye dxdy 其中D由1 2 1xyxy 所围 原式 2 121 2 111 22 2 2 xyy y ee ydye dxee dy 2 2 D xydxdy 其中 1Dx yxy 原式 11 2 00 1 4 3 y y dydx 6 交换积分次序 1 1 1 0 y dyf x y dx 原式 1 00 x dxfdy 2 2 1 0 y y dyf x y dx 原式 1 0 x x dxfdy 3 2 2 2 0 y y dyf x y dx 原式 24 0022 xx x dxfdydxfdy 10 2 二重积分的计算法 1 续 2 1 画出下列积分区域D 并把 D f x y dxdy 化为极坐标系下的二次积分 1 2222 0Dx y axybab 的公共部分 微积分 二 同步练习答案 17 原式 5 22cos2 4242 42 00000 4 59 sincossincos 480 RR R ddrdrddrdr 2 222 222 sin1 1 xxyz dxdydz xyz 其中 是由球面 2222 xyzR 所围成的闭区域 原式0 3 22 xydxdydz 其中 是由曲面 222 9zxy 及平面3z 所围成的闭区域 原式 213 3 003 3 10 r ddrr dz 11 1 对弧长的曲线积分 11 2 对坐标的曲线积分 1 1 计算下列对弧长的曲线积分 1 22 n L xyds 其中L为 cos 02 sin xRt t yRt 原式 2 221 0 2 nn RRdtR 2 2 L x ds 其中L为由 222 1xyz 与0 xyz 所表示的圆的一周 原式 222 12 33 L xyzds 3 222 1 ds xyz 其中 为曲线cos sin ttt xet yet ze 上相应于t从0变到2 的一段弧 22222 cossin cossin 3 tttt dsettette dte dt 原式 2 2 22 0 13 3 1 2 t tt e dte ee 4 44 33 L xyds 其中L为内摆线 222 333 xya 33 cos sinL xat yat 3 sin cosdsatt dt 原式 47 44 332 0 4 cossin 3 sin cos4attattdta 2 设L为双纽线 222222 0 xyaxya 求 L y ds cos2La 原式 2 2 4 0 4cos2 sin2 22 cos2 a ada 11 2 对坐标的曲线积分 2 3 11 3 格林公式及其应用 1 1 计算下列对坐标的曲线积分 1 L xydx 其中L为 2 22 0 xRyRR 及x轴所围成的在第一象限内的区域的逆时针 方向绕行的整个边界 2 2 cos 2 sin cos 0 2 L xRt yRtt t 微积分 二 同步练习答案 18 原式 3 23 2 0 4sin cos 4 sin cos 2 R RttRtt dt 2 22 L xy dxxy dy xy 其中L为逆时针方向绕行的圆周 222 xyR cos sin 02L xRt yRt t 原式 2 2 0 cossin sin cossin cos 2 RtRtRtRtRt Rt dt R 3 232xdxydyxydz 其中 为从点 1 1 1到点 2 3 4的一段直线 1 21 31 01xtytztt 原式 1 0 39 1114 2 tdt 4 322 22 L xxydxyxy dy 其中L为 2 yx 上从点 1 1 到点 1 1的一段弧 原式 1 543 1 4 22 5 xxx dx 2 将对坐标的曲线积分 L P x y dxQ x y dy 化为对弧长的曲线积分 其中L为 1 在xoy平面内从点 0 0到点 1 3的直线段 原式 13 22 L PQds 2 沿 22 2xyx 的上半部分从点 0 0到点 1 1 原式 1 L P yQx ds 3 利用曲线积分计算星形线 222 333 xya 所围图形的面积 33 cos sin 02L xat yat t 原式 2 2 224242 0 13 3sincos3sincos 28 a attatt dt 4 利用格林公式计算下列曲线积分 1 24357 L xydxxydy 其中L为三顶点分别为 0 0 3 0和 3 2的三角形正 向边界 原式 32 15 D d 2 22 4 L ydxxdy xy 其中L为 2 2 29xy 且为逆时针方向 cos sin 02l xrt yrt t 原式 2222 2 2 22 0 sincos 424 l ydxxdyrtrt dt rxy 11 3 格林公式及其应用 2 3 一 验证下列曲线积分与路径无关 并求积分值 1 1 1 0 0 xy dxdy 微积分 二 同步练习答案 19 1 QP xy 原式 11 00 1 0 xdxy dy 2 1 2 2 2 1 ydxxdy x 沿在右半平面的路线 2 1QP xyx 原式 12 2 21 3 2 dx dy x 二 利用格林公式计算曲线积分 sin cos1 L yy dxxydy 其中L为圆周 22 2xyx 上从点 0 0 O到点 1 1 A的一段弧 原式 0 1 coscos1 cos1 sin1 1 4 D yydydy 三 验证下列 P x y dxQ x y dy 是某一函数的 U x y全微分 并求这样的一个 U x y 1 2222 2 2 xxyydxxxyydy 原式 33 222222 2 2 33 xy x dxy dyxydxx dyy dxxydydx yxy 2 2sin cosxy dxxydy 原式 2 2 sincos sin xdxydxxydyd xxy 四 在过点 0 0O与 0A 的曲线族 sin0yaxa 中 求一条曲线L 使沿该曲线从O到 A的积分 3 12 L ydxxy dy 的值最小 3 33 0 4 1sin 2sin cos 4 3 a I aaxxax ax dxa 1a 时 最小 五 求可微函数 f x 使关系式 0 L f xydxxdy 成立 其中L为与y轴不相交的任何闭曲线 ffxf 2 C f x x 第十一章 曲线积分及格林公式习题课 一 计算 L xy ds 其中L为连接点 0 0 1 0 0 1 的闭折线 原式 111 000 212xdxxxdxydy 二 计算 L yx dse 22 其中L为圆周 222 ayx 直线yx 和0y 在第一象限内围成扇形的边 界 原式 4 000 2 1 4 a aa xaya ae e dxe ade dye 三 计算ydxxdyxy L 22 L是从 1 0 A沿 2 1xy 到 1 0 B 的圆弧 cos sin 0L xt yt t 微积分 二 同步练习答案 20 原式 2222 00 1 cossincossin 1 cos4 44 tttt dtt dt 四 计算曲线积分 2 2 1 1 L ydxxdy I xy 其中 1 L为圆周 22 20 xyy 的正向 2 L为椭圆 22 480 xyx 的正向 1 22 222 1 1 QPxy xyxy 原式0 2 1cos sin 02l xrt yrt t 原式 2222 2 22 2 0 1cossin 2 1 l ydxxdyrtrt dt r xy 五 设曲线积分 2 L xy dxyx dy 与路径无关 其中 具有连续的导数 且 00 计算 1 1 2 0 0 Ixy dxyx dy 2yxy 2 xx 原式 22 1 1 22 1 1 0 0 0 0 1 22 x y xy dxyx dy 七 设 曲 线L是 正 向 圆 周 22 1xaya x 是 连 续 的 正 函 数 证 明 2 L x dyyx dx y 22 1Dxaya 左式 11 22 DDD x dx dd yx 11 4 对面积的曲面积分 11 5 对坐标的曲面积分 1 一 计算下列对面积的曲面积分 1 xyz dS 其中 是上半球面 2222 0 xyzaz 222 zaxy 222 D xya 222 adxdy dS axy 原式 2223 222 D adxdy zdSaxya axy 微积分 二 同步练习答案 21 2 22 dS xy 其中 为柱面 222 xyR 被平面0 zzh 所截取的部分 原式 22 22dSRhh RRR 3 xyzdS 其中 为平面1xyz 在第一卦限的部分 01 01Dxyx 原式 11 00 3 1 33 1 120 x D xyxydxdydxxyxy dy 二 求面密度为z 的抛物面壳 22 1 01 2 zxyz 的质量 22 222 2 222 0 2 2 6 31 121 2215 xy xyr MzdSxy drrdr 三 如 是坐标面xOy面内的一个闭区域时 曲面积分 R x y z dxdy 与二重积分有什么关系 0 R x y z dxdyR x ydxdy 11 5 对坐标的曲面积分 2 3 11 6 高斯公式 1 一 计算下列对坐标的曲面积分 1 yzdzdx 其中 是球面 222 1xyz 的上半部分并取外侧 22 1 0D zxz 原式 1 2222 2 0 2 212cos1 4 D zzx dzdxdrr dr 2 xydydzyzdzdxzxdxdy 其中 是由平面0 xyz 和1xyz 所围的四面体表面并 取外侧 原式 11 00 1 33 1 8 x zxdxdydxxxy dy 二 求流速场kyi xv 2 穿过曲面 22 yxz 与平面1z 所围成的立体表面的流量 2 211 2 00 2 r xdydzy dxdydvddrrdz 三 试把对坐标的曲面积分 P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy 化成对面积的曲面积分 其中 是平面322 36xyz 在第一卦限的部分的上侧 原式 322 3 555 PQR dS 四 利用高斯公式计算曲面积分 22 y xz dydzx dzdxyxz dxdy 其中 是0 xxa 0 0 yya zza 所围正方体表面的外侧 微积分 二 同步练习答案 22 原式 4 000 aaa xy dvdxdyxy dza 第十一章 曲面积分及高斯公式习题课 一 计算dxdy z dzdx y dydz x 111 为球面 2222 xyzR 的外侧 原式 2 2200 36612 R dxdydxdyrdr dR zz Rr 二 设 是球面 2222 azyx 的外侧 求曲面积分 zdxdy 原式 3 4 3 a dv 三 计算 dxdyyxdxdzxzdydzzy 为 0 222 hzyxz 的下侧 222 1 zh D xyh 上侧 11 0yz dydzzx dxdzxy dxdyxy dxdy 原式 1 00yz dydzzx dzdxxy dxdydv 四 求曲面积分 22 xydS 为锥面 22 zxy 与平面1z 所围成的区域的边界曲面 原式 22 2222 2222 1 DD xy xydxdyxydxdy xyxy 21 3 00 12 12 2 dr dr 五 利用高斯公式计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy 其中 为界于0z 和3z 之间的圆柱 体 22 9xy 的整个表面的外侧 原式33 3 981dv 六 计算对坐标的曲面积分 If x dydzg y dzdxh z dxdy 其中 是平行六面体 0 0 0 xaybzc 的表面并取外侧 f x g y h z为 上的连续函数 0 0 DD h z dxdyh c dxdyhdxdyab h ch 原式 0 0 0 bc f afca g bgab h ch 12 1 常数项级数的概念和性质 12 2 常数项级数的审敛法 1 一 根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的收敛性 1 1111 1 66 111116 54 51 nn iii 1 111111111 1 5 1661154515515 n S nnn 微积分 二 同步练习答案 23 2 1 221 n nnn 32 21 43 32 21 1 n Snnnn 1 1121212 1 nn nn 二 判断下列级数的收敛性 1 3451 234 n n 10 n u 发散 2 2341 23 8888 9999 n n 8 8 9 n n u 收敛 3 23 11111111 3132333nn 1 1 3n n 收敛 1 1 n n 发散 故发散 三 若级数 1 n n u 收敛于 1 求级数 2 1 nn n uu 的和 21212 111 2 nnnn nnn uuuuuuuu 四 求级数 22 1 21 1 n n n n 的和 2222 11 2111 1 1 1 nn n n nnn 五 判别下列级数的收敛性 1 3 1 1 2 n n n 2 2 3 1 limlim1 2 n nn nn n u n 收敛 2 1 11 sin n nn 2 1 limlim sin1 n nn n un n 收敛 3 1 1 2 tan 3 n n n 12 2 33 nn n n u 收敛 4 1 1 1 n n a 0 a 1a 时 1 n n u a 收敛 1a 时 1 2 n u 发散 1a 发散 3 1 1 sin 2n n n 11 1 1 sin 1 1 22 2 sin 22 nn n n nn nn u u nn 收敛 二 用根值审敛法判断下列级数的收敛性 1 2 1 11 1 4 n n n n 11 1 1 44 n n n e u n 收敛 2 2 1 2 31 n n n n 22 1 313 n n n u n n n n ee u aa ae 时 收敛 ae 时 发散 ae 时 不定 三 判断下列级数是否收敛 如果是收敛 是绝对收敛还是条件收敛 1 1 1 1 2 n n n 条件收敛 2 2 1 1 2 n n n n 绝对收敛 3 2 1 2 1 2 1 n nn n n 2 2 n n v n 21 1 2 1 n n n v vn 发散 四 设 2 1 n n a 收敛 证明 1 n n a n 绝对收敛 2 2 11 2 n n a a nn 微积分 二 同步练习答案 25 12 3 幂级数 一 求下列幂级数的收敛域 1 1 1 n n n x n 1 1 2 1 2n n n x n i 1 1 2 2 3 1 3 1 nn n n x n i 4 2 1 1 21 n n n x n 1 1 5 1 2 n n x n 3 1 二 设级数 1 1 n n n ax 在2x 处收敛 讨论此级数在53x 处的敛散性 1 3 n n n a 收敛 5313 故绝对收敛 三 利用逐项求导或逐项积分 求下列级数的和函数 1 21 12 1 n n x n 2 2 2 1 1 n n x s xx x 0 11 0 ln 21 x x s xs x dxsx x 11x 2 1 1 1 n n nx 令 1 1 n n s xnx 2 1 0 1 1 x n n x s x dxx x 2 2 1 xx s x x 1 2 1 2 1 1 n n x nx x 11x 四 求级数 22 1 21 2 n n n n x 的和函数 并求出级数 1 21 2n n n 的和 2 212 22 0 11 11 2 222 1 2 n x n n nn x xxx s x dx xxxx 2 22 2 2 x s x x 22x 1 21 1 3 2n n n s 12 4 函数展开成幂级数 一 将下列函数展开成x的幂级数 并求展开式成立的区间 1 2 2cosx 原式 21 2 0 5cos252 1 222 2 n nn n x x n x 微积分 二 同步练习答案 26 2 1 ln 1 xx 原式ln 1 ln 1 xxx 1 111 111 1 1 1 1 nnn nnn nnn xxx xx nnn n 11x 3 sin 4 x 原式 22 sincos 22 xx 212 00 22 1 1 2 21 2 2 nn nn nn xx nn x 4 0 sin x t dt t 原式 21121 1221 00 111 1 1 1 1 21 21 21 21 nnn xx nnn nnn tx dttdt tnnnn x 原式 1 0 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 11 1 n n n xx aa ana 2axa 2 1 1 x x 原式 11111 1 1112 1 2 x xxx 1 00 1 1 1 1 2 n nnn n nn x x 02x 三 将函数 2 45 x f x xx 展开成 2 x 的幂级数 并求展开式成立的区间 1 1 21 1 1 2 1 nn n n x nx 原式 22 22 1 2 1 2 x xx 221 11 21 21 1 2 2 1 2 1 2 2 2 nnnn nn nn xxx nn 13x 1 n n u 是否一定发散 lim0 n n u 发散 微积分 二 同步练习答案 27 2 若 1 1 2 nn uu n 11 1 11 n n n u aa 收敛 三 判断下列级数的收敛性 1 1 1 n nn n 1 n u n 发散 2 1 1 cos n n 2 2 2 2sin 22 n u nn 收敛 3 2 1 n n n n 1 11 1 0 1 n n n u unn 收敛 4 2 1 sin 2 2n n n n 2 nn n n uv 1 11 22 n n vn vn 故 1 n n v 收敛 从而收敛 四 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性 1 1 1 1 ln 1 n n n n 1 11 1 1 ln 1 ln 1 1 nn nn n nn 条件收敛 2 1 1 sin n n nn 11 1 1 sin sin n nn n nnnn 绝对收敛 五 求下列幂级数的收敛域 1 1 43 nn n n x n 微积分 二 同步练习答案 28 1111 1 3 1 431431 4 limlimlimlim 3 43434 43 4 n nnnn n nnnn nnnn n n un R un 1 4 x 对应级数 111 431 1 13 44 nnn nn nnnnnn 1 1 n nn 条件收敛 1 13 4 n nn 绝对收敛 故收敛 1 4 x 对应级数 111 431113 44 nn nn nnnnnn 1 1 nn 发散 1 13 4 n nn 收敛 故发散 收敛域为 1 1 4 4 2 1 1 2 n n n x n 1 1 1 2 1 2 2 limlimlim2 2 1 2 n n n n nnn n n n un R n un 12x 对应级数 1 2 2 n n n n 2 limlim10 2 n n n nn u n 故发散 收敛域为212x 即31x 六 求级数 1 1 1 n n n n 的和 令 1 1 1 nn n n s xx n 1 0 10 1 1 1 nn x nx nn xx s x dxxx e nn 1 1 x s xx e 1 1 1 1 1 n n n s n 七 将下列函数展开成x的幂级数 并求展开式成立的区间 1 1 arctanxx 21 2 2 00 00 arctan 1 121 n xx nn nn dxx xxdx xn 原式 2122 00 arctanarctan 1 1 2121 nn nn nn xx xxx nn 11x 2 22 2 1 x x 原式 2121 2 01 1 1 2 1 nnn nn xnx x 11x 则 1 n n u 的敛散性为 发散 3 设L为圆周 22 9xy 22 L xyds 54 4 已知向量 a b c 两两互相垂直 且pabc 其中 是常数 则p 222 222 abc 5 设空间区