《高等数学》自学指导书.doc

高等数学自学指导书 高等数学课程自学指导书 一、前言1课程的性质高等数学的主要内容源于十七世纪著名数学家牛顿和莱布尼茨提出的微积分。 这些理论从提出之初就吸引了数学界和物理学界乃至整个科学界的极大关注，并随着其理论的完善和广泛的应用，被普遍的认为是人类文明史上最伟大的发明之一。 其概念、思想和方法已深深融入了所有的理工学科中，这也使得该课程成为国内外所有理工专业的基础课。 高等数学包含一元函数微积分内容。 该课程是辽宁科技大学继续教育学院各工科专业本科阶段的学生的基础课。 在这些专业培养计划中起着基础性的地位和作用，是一门主干课程。 该课程的基本思想、基本技巧和基本计算能力是理解诸如力学、电学和经济学等专业课程基础的关键。 在这些学生的专业素质培养和能力塑造中其决定性的作用。 2课程的任务与作用通过这门课程的学习，学生应了解包括一元函数微积分内容的基本问题和提出的主要背景，理解解决这些问题的基本数学思想和主要技巧；在此基础上，培养学生较强的自学能力、思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力、数学建模的初步能力、借助数学软件计算基本数学问题的能力和基本运算能力，为专业课程的学习奠定必要的数学基础。 3课程的主要内容、难点与重点第一章函数、极限与连续学习重点:1复合函数的复合关系分析2极限的性质3重要极限e4函数极限的运算法则（四则运算法则、复合函数的极限法则）5无穷小的概念和无穷小的比较以及利用重要极限e和等价无穷小代换求函数极限6函数的连续的概念7初等函数的连续性8间断点的求法及间断点类型的判断9闭区间上连续函数的性质及应用。 学习难点1利用重要极限e和等价无穷小代换求函数极限2函数间断点的求法及间断点类型的判断3闭区间上连续函数的性质及其应用第二章导数与微分学习重点:1导数、微分和高阶导数的概念2函数的和、差、积、商的求导法则与初等函数的导数3复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导4利用函数的左右导数进行函数的可导性判定以及可导与连续的关系5基本求导和微分公式学习难点1导数、微分和高阶导数的概念2复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导3利用函数的左右导数进行函数的可导性判定以及可导与连续的关系第三章微分中值定理和导数的应用学习难点1理解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件、结论，会求2熟练掌握洛必达法则并能求未定式的极限3掌握用导数判断函数的单调性的判别4掌握求函数的极值和极值点的方法5掌握函数的最值的求法，并能解决简单的最值应用的实际问题6判别函数的凹凸并能求函数的拐点学习难点1熟练掌握洛必达法则并能求未定式的极限2掌握函数的最值的求法，并能解决简单的最值应用的实际问题第四章不定积分学习难点1理解原函数与不定积分的联系2基本积分方法3不定积分的第一类换元积分方法4不定积分的第二类换元积分方法5不定积分的分部积分方法学习难点1不定积分的换元法，特别是凑微分法2不定积分的分部积分法，被积函数中如何选取及第五章定积分及其应用学习难点1定积分的定义和性质2微积分基本公式3定积分的计算方法4定积分的微元法以及应用微元法解决几何问题（平面图形的面积和旋转体的体积）学习难点1微积分基本公式2广义积分 二、自学进度表日期章节内容习题3月15日4月12日第 一、二章（一）极限与连续（二）导数与微分184月12日5月10日第 三、四（一）章（一）微分中值定理及导数的应用（二）不定积分145月10日6月7日第四（二）、五章（一）定积分（二）定积分的应用106月7日（考试）（12401410）考试 三、各章节自学内容及指导第一章函数、极限与连续1学习目的与要求。 通过对本章的教学，理解函数的概念，了解函数的表示法，会求函数的定义域；理解函数的有界性、奇偶性、周期性和单调性；理解分段函数、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的概念；掌握基本初等函数的性质和图像，理解初等函数的概念。 理解数列极限和函数极限，含左极限和右极限的概念，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件；会求数列和函数的极限，掌握极限的性质和四则运算法则；了解无穷小和无穷大的概念、无穷小的性质、无穷小与无穷大的关系、等价无穷小的概念；会用等价无穷小求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法，理解函数连续性的概念、含左连续和右连续，会求函数间断点，掌握连续函数的四则运算法则，理解复合函数、反函数和初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质，有界性定理、最值定理和介值定理。 2自学内容。 （1）函数的概念是如何定义的？怎么样表示一个函数？如何对实际问题抽象出函数关系式？ （2）什么是函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，如何判断函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 （3）哪些是基本初等函数？这些基本初等函数的定义域、值域和函数关系式是什么？基本初等函数有哪些性质（重点考虑奇偶性、单调性、周期性和有界性）。 基本初等函数的图形是什么？ （4）什么是反函数？如何求反函数？ （5）什么是复合函数，如何分析复合函数的复合与分解过程？ （6）什么是分段函数、隐函数和有参数方程确定的函数？ （7）什么是数列极限，数列极限有哪些性质和四则运算法则？ （8）什么是函数的极限、左极限和右极限？极限存在与左、右极限之间的关系是什么?函数极限有哪些性质和运算法则？ （9）极限存在的准则和两个重要极限是什么？如何利用它们求函数的极限？ （10）什么是无穷小？什么是无穷大？如何比较无穷小？什么是等价无穷小？如何利用等价无穷小求极限。 （11）函数的连续性是怎么定义的？左连续与右连续的概念是什么？函数的连续性与左右连续的关系是什么？如何判断函数的连续性？ （12）函数间断点的概念是什么？有哪些类型？怎么求函数的间断点以及如何判断函数间断点的类型？ （13）闭区间上的连续函数有哪些性质？如何应用这些性质。 3综合练习。 1、写出下列复合函数的复合关系 （1） （2）22xy e （3）5 (21)y x （4）ln(sin)y x 2、函数12ln (1)y xx的定义域是。 3、当0x时，2 (2)x x是23()x x的（高阶或低阶）无穷小。 4、当0x时，sin2x与tan2x是_无穷小。 5、设,0(),0xx axf xex且()f x在(,)内连续，则_a。 6、0tan2lim_xxx。 7、10lim (13)xxx_。 8、函数22321x xyx的可去间断点为_。 9、曲线221xyx的水平渐近线_，铅直渐近线是_。 10、求下列函数的极限 （1）213lim()2xxxx （2）30lim (12)xxx （3）0ln (1)lim2sinxxx （4）1.011limxxx （5）22lim()xx x x x (6)20tan3limsinxx xx (7)30tan sinlimsinxx xx (8)201lim1cosxxex (9)3302lim (1)xxx (10)2123limnnn 11、设2,01()sin,0x axf xx xx，且()f x在(,)内连续，求a。 12、设201()21113ax bxf x xbx x，,a b为何值时，()f x在1x处连续。 第二章导数与微分1学习目的与要求。 通过对本章的教学，理解导数和左右导数的定义、可导与连续、左右导数的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线与法线方程；能够应用导数的基本公式和求导法则（复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数求导法则、由参数方程所确定函数的求导法则）求一般函数的导数。 理解高阶导数的概念及求导法则，会求简单函数的阶导数；理解微分的概念、微分和导数的关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分。 2自学内容。 （1）什么是导数？什么是左导数和右导数？ （2）导数的几何意义是什么？如何求平面曲线的切线方程和法线方程？ （3）什么是左导数？什么是右导数？函数的可导性与左右导数的关系是什么？ （4）函数的可导性与连续性之间的的关系是什么？ （5）基本初等函数的导数公式是什么?导数的四则运算法则是什么？什么是复合函数的求导法则？如何求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，如何求反函数的导数？ （6）什么是函数的高阶导数？如何求函数的高阶导数？ （7）什么是函数的微分？微分的四则运算法则是什么？什么是一阶微分形式的不变性？如何求函数的微分？3综合练习。 1、已知函数()f x在点0x可导，则 （1）000()()lim_hf xh f xh， （2）000()()lim_hf xh f x hh。 2、已知函数()f x在点0x可导，且0()2f x，则000 (3)()lim_hf xh f xh。 3、函数()f x在点0x连续是()f x在点0x可导的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、以上都不对 4、求下列函数的导数或微分 （1）已知32522xy x xx，求dydx； （2）设函数ln(sin)y x求dy （3）求由方程22ln arctanyx yx确定的隐函数()y f x的导数dydx； （4）求由方程1yy xe确定的隐函数的导数0xdydx； （5）求由方程225xy xy确定的隐函数()y f x的导数dydx； （6）求参数方程(1sin)cosxy所确定函数()y f x的导数0dydx； （7）求由参数方程32ttx eye确定的函数的导数dydx和二阶导数22d ydx； （8）求由参数方程221txy t确定的函数的导数dydx和二阶导数22d ydx。 （9）已知2cos lny x x，求22d ydx。 （10）已知1sinxy e，求dydx （11）已知21arcsin y x x x，求dydx 5、设函数21()1x xf xax bx，当,a b为何值时，函数()f x在1x处连续且可导。 6、讨论函数1sin0()00x xf xxx在0x处的连续性与可导性。 第三章微分中值定理和导数的应用1学习目的与要求。 通过对本章的教学，理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及其应用；理解并能应用洛必达法则求未定式的极限；掌握用导数判断函数的单调性，并能证明简单的不等式；掌握用导数研究函数的性态（极值、最值、凹凸）的方法，能求函数的拐点；会求解最大值、最小值，并能解决最值的实际应用问题。 2自学内容。 （1）什么是罗尔定理、拉格朗日中值定理？罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件和结论是什么？罗尔定理和拉格朗日中值定理有什么区别？ （2）什么是未定式？如何利用洛必达法则求未定式的极限？ （3）什么是函数的单调性？如何用导数判断函数的单调性？ （4）什么是函数的极值？如何用导数求函数极值？ （5）什么是函数的最大值和最小值，如何求函数的最大值和最小值？ （6）什么是函数的凹凸和拐点？如何利用导数判断函数图形的凹凸性？如何求函数图形的拐点？ （7）什么是函数的水平渐近线和垂直渐近线？如何求函数的水平渐近线和垂直渐近线？3综合练习。 1、 （1）函数4()21f x x的驻点，极值点； （2）函数()xf x xe的驻点，极值点。 2、 （1）函数3223y x x在区间1,2上的最大值是， （2）函数4282y x x在区间1,3上的最大值是。 3、设()f x在点0x可导，且()f x在点0x取得了极值，则0()f x_。 4、 （1）函数()3f x xx在区间0,3上满足罗尔中值定理的为_， （2）函数3()f xx在区间0,1上满足拉格朗日中值定理的为_。 5、求极限 （1）332132lim1xx xxxx （2）0limsinx xxeex （3）01lim (1)xxxe xxe （4）arctan2lim1xxx （5）011lim()ln (1)xxx （6）0limxxx （7）2lnlimxxx （8）20tanlimsinxx xxx （9）200coslimxxt dtx 6、求函数32()535fxxxx的单调区间、极值、凸凹区间和拐点； 7、求函数()2xf xxe的单调区间、凸凹区间、极值、拐点、渐进线。 8、确定c ba,的值，使c bxax xx f23)(在点（1，2）有拐点，且在x=1处有驻点。 9、某地区防空洞的横截面拟建成矩形加半圆，截面面积为26m，问底宽为多少时能使横截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？ 10、要造一个圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？ 11、证明题 （1）证明方程510xx在区间(0,1)内只有一个实根。 （2）证明51xx至少有一个小于1的正根。 （3）证明当02x时，sin tan2xxx。 （4）证明当01x时，2sin12xxe x。 （5）证明arctan arot (11)2xxx。 第四章不定积分1学习目的与要求。 通过对本章的教学，理解原函数和不定积分的概念，熟悉不定积分基本公式，熟练掌握不定积分的基本积分方法、两类换元法和分部积分法。 2自学内容。 （1）什么是原函数？ （2）什么是不定积分？不定积分的几何意义是什么？ （3）不定积分有哪些运算性质？ （4）有哪些不定积分的基本公式?如何利用这些基本公式求解不定积分？ （5）如何利用第一类换元积分方法求不定积分？ （6）如何利用第二类换元积分方法求不定积分？ （7）常见的换元方式有哪些？ （8）如何利用分部积分方法求不定积分？3综合练习。 1、下列等式中，正确的是（）A、()()fx dx fx B、()()df xf xC、()()d fx dx fx dx D、()()fx dxfx c 2、 （1）设2()xfxdx eC，则()_fx. （2）设()sin2fxdx xC，则()_fx. 3、计算下列不定积分 （1）23 (236)xx dxx （2）24(cos)1xx dxx （3）1(1ln)dxx x （4）11 (261)xdx （5）22xxe dx （6）sin()xxee dx （7）2arctan1xdxx （8）1xxdxe e （9）dx xx12 （10）3xdxx （11）11dxx （12）dx x29 （13）cos x xdx （14）arctanxdx （15）ln xxdx （16）xxe dx第五章定积分及其应用1学习目的与要求。 通过对本章的教学，理解定积分的概念与性质；会求变上限积分的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法和分部积分法；理解微元法，能应用微元法计算的一些几何量平面图形面积和旋转体体积；理解广义积分的概念，会计算广义积分。 2自学内容。 （1）什么是定积分？ （2）定积分的性质有哪些？什么是积分中值定理？ （3）什么