哥尼斯堡七桥问题.doc

阅读材料世界名题与小升初之：哥尼斯堡七桥问题 -马到成功老师在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。历史上有名的七桥问题，是脍炙人口的应用数学去解决实际问题的典范，在欧洲的普鲁士哥尼斯堡镇上有一个小岛，普里格尔河蜿蜒其间，河岸与岛屿间有七座桥相连，在18世纪，有人提出：能否不重复地一次接连通过每座桥？这个生活中的问题，引起人们浓厚的兴趣，市民、学生，观光者，竞相“过桥”有人还画出地图，在图上游来走去，还出现了梦游七桥的故事，但问题一直未获解决，被世人谓之哥尼斯堡七桥问题，如图。后来，问题传到了欧拉手中，欧拉当时才28岁，但已是远近闻名的瑞士数学家，他只用了几天思考，就找到了解答，办不到！欧拉解决问题采用了“数学模型”法，欧拉认为，既然岛与陆地时靠桥来接连的，那么不妨把4片陆地缩小（抽象）成4个点，并把七座桥表示（抽象）成7条边，从而得到了七桥问题的模拟图，这样当然未改变问题的实质，于是人们试图一次无重复地走过7座桥的问题就等价于一笔画出模拟图型的问题，如图。欧拉指出：这是办不到的，因为接连每点的线都是奇数条（这样的点，称为奇顶点）而每通过顶点一次，一入一出要用去2条线（因不许重复），只有在起点，有一次只出不入，或在终点，有一次只入不出，因此，要想一笔画出一个图，这个图的奇顶点就不能多于2个（没有或恰有2个奇顶点）而模拟图奇顶点个数为4，故不能一笔画，欧拉还给出了一般结论：接连奇数座桥的陆地仅有一个或超过两个以上，不能实现一笔画。接连奇数座桥的陆地仅有两个小时，则从两者任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一陆地。每个陆地都接连有偶数座桥时，可以从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发地。1736年，欧拉的哥尼斯堡七桥问题论文问世，开创了“图论”和“拓扑学”的先河。欧拉解决七桥问题，对我们有什么启示呢？首先，欧拉对问题作了抽象，它用一张点线图代替了七桥图，用“一笔画”代替了过桥问题，当欧拉对点线图进行分析时，发现了“过桥”同“一笔画”的等价性，而且发现了“一笔画”同图中顶点的奇偶性之间的关系，他同时证明了有关定理。在欧拉的抽象过程中，他舍弃了河岸，岛屿的形状、高低、大小等外部特征，而把它们抽象成一个个表示位置的点，舍弃了一座座造型各异，结构不同，长短不等的桥的外部特征，而把它们抽象成连结相应点的弧线，进而他又舍弃了河流、桥、河岸于岛屿的实际位置，而只保留它们原来过桥问题的要求抽象成了“一笔画”的条件，即每条弧线恰好画一次，而一笔连续画出。于是，欧拉经过三种抽象：具体事物抽象成几何对象，实际关系抽象成几何关系，问题的要求抽象成一笔画的条件，从而将实际问题转化成了数学问题。通过这种抽象，使研究的对象和对象间的关系准确无误地表述出来，简洁的表述更能显现出问题的本质，成为数学问题以后，就可以先在已有的数学方法、理论中寻求解法，在现有方法、理论中还未有解法时，就促使人们去寻找新的数学方法和理论，甚至开拓出数学新的分支和领域。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。下面由我给大家整理提供与小升初相关的一笔画经典数学题。题目1. 某花园的小径如图所示，一个人能否从图中标有1的点出发，不重复地走遍所有小径？如果能，请给出走法，如果不能，请标出最少必须重复的那些小径。马到成功解析：因为图中共有8个奇点1，2，3，4，5，6，7，8，至少得消灭掉6个，剩下两个其中一个作起点，一个作终点。重复走相当于再连一条线，则奇点变为偶点。答：不能，最小要重复三段小径3-4，5-6，7-8。本题消灭掉六个奇点的处理问题的方法对下题是一个提示，但本题是连线，而下题的要求是不重复，稍有不同。题目2. 用铁丝做成右图那样的三层长方体框架，这个框架共有12个结点，20条棱，每条棱长为1.现将棱任意编成120号，一只小蚂蚁从其中一个结点出发，沿着棱爬行。如果两条棱相邻，它可以从号码小的棱爬上号码大的棱，但不能从号码大的棱爬到号码小的棱。请你设计一种编号的方法，使小蚂蚁的爬行路线最长（可在图上标出）。最长是多少？马到成功解析： 本题的问题有两个关键词：一是设计编号，二是爬行路线最长。这两个步骤按处理的先后，出现两种思路：一是先按照题目所说的设计编号，再按编号从小到大爬行使路线最长；二是可以先找出一种爬行最长的路线，再按顺序从小到大编上号。可以看出后者比前者容易得多，它能很轻松地解决从小号编到大号的难题。这能很好地说明解决问题的顺序很重要。选一个有利于自己解决问题的最佳方案是我们思考问题的重要目标，体现效率优先原则。那么怎样走路线最长呢？“联想”我们学过的一笔画问题，并“拓展”到立体图形，数一数图中共有12个交点，其中有8个是奇点，按照能一笔画的图中最多只能有两个奇点，并从一个奇点进入，另一个奇点结束的原则，必须把图形修改，使之只剩下两个奇点，因此必须去掉三条奇点的联结线，消灭掉六个奇点即可，如左下图所示一种方案。现在可以一笔画下这个框架了,从A点出发并到另一个奇点结束。当我们调整解决问题的次序后，能很迅速的完成任务，其中的一种标号方案如下右图所示，按走的顺序标上线后，3条不能走，因此最长为17。题目3. 有一个铁丝做成的长方体框架的长、宽、高分别为5厘米，3厘米，4厘米，如下图所示。一只蚂蚁从某个顶点出发地沿棱爬行，线路不能重复，它能爬行的最长距离为多少厘米？ 马到成功解析：我在怎样解题五步法的文章中谈到，“联想”是一个重要环节，对已有经验的借鉴是学好数学的关键。可联想解决题目2的过程，感觉这是一道一笔画立体图形问题，要考虑奇点，偶点个数。不走重复路，因此是要去掉几条线，又因为要走得尽量长，所以去线要去尽量短的。这样一路想来，这个问题的解决就唾手可得。你可自己试试。题目4. 下图为邮递员负责的邮区街道图，图中左下角处横线与竖线的交叉点为邮局，其余交叉点为邮户，每个小长方形的长为180米，宽为150米，如果邮递员每分钟行200米，在每个邮户停留半分钟，那么他从邮局出发走遍所有邮户，再回到邮局，最少需要多少分钟？（华校思维导引三四年级分册）马到成功解析：从左下角出发，要回到原点，那么它向右走多少路，必须向左走多少路，向上走多少路，必须向下走多少路。因此为了到达最右边的邮户，走5个向右的180米再回走5个向左的180米是必不可少的。在这种情况下消灭奇点的任务就必须全部落到150米长的短线上，因此通过如下图粗线设计的方案可用最少的时间走遍所有的邮户，当然也可把图翻过来看，换种走法，答案是一样的。共走（18010+15014）200+0.523=31分钟.再提供一道应用趣题。题目5. 图4是某社区的街道分布图，巡警每天都要从派出所出发，步行巡视完所有道路后再回到派出所，（图中同方向的道路互相平行）。问：巡警在每天的巡视过程中，最少要走多少路？（单位：百米）马到成功解析：重点中学招生考试时，题目不管怎么出，所涉及的方法与知识点是跳不出小学奥数的框框