实践指导书2范文.doc

实践指导书2范文 第十章自动控制理论的计算机辅助设计第一节引言本章是为配合自动控制理论课程的学习而编写的。 为了使学生能够对自动控制理论课程所学的内容进行深层次的分析和研究，我们加设了应用MATLAB软件进行计算机辅助设计这一教学环节。 MATLAB软件有着对应用学科的极强适应力，并已经成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真、教学乃至科技文字处理不可缺少的基础软件。 在高等院校里，MATLAB已经成为本科生、硕士生、博士生必须掌握的基本技能；在设计研究单位和工业部门，MATLAB已经成为研究和解决各种具体工程问题的一种标准软件。 国际上许多新版科技书籍在讲述其专业内容时都把MATLAB当作基本工具使用。 国内一些理工类重点院校已经把MATLAB作为攻读学位所必须掌握的一种软件。 作为自动化专业的学生很有必要学会应用这一强大的工具，并掌握利用MATLAB对控制理论内容进行分析和研究的技能，以达到加深对课堂上所讲内容理解的目的。 另外我们希望通过使用这一软件工具把学生从繁琐枯燥的计算负担中解脱出来，而把更多的精力用到思考本质问题和研究解决实际生产问题上去。 通过此次计算机辅助设计，学生应达到以下的基本要求 （1）能用MATLAB软件解复杂的自动控制理论题目。 （2）能用MATLAB软件设计控制系统以满足具体的性能指标要求。 （3）能灵活应用MATLAB的CONTROL SYSTEM工具箱和SIMULINK仿真软件，分析系统的性能。 MATLAB软件是一个庞大的体系，它有强大的数学计算和图形绘制功能，作为自动控制理论的计算机辅助设计，尤其面对学习时间有限的本科生，本章只能针对本专业的范围加以讲解，力求通过一些简单的例子，一步一步带领读者进入MATLAB的世界，有效地利用它解决所面临的问题，起到一个敲门砖的作用。 由于章节有限，MATLAB语言的基础大家可以查阅有关书籍。 第二节前期基础知识 一、启动MATLAB我们主要介绍Windows操作系统，当MATLAB运行在PC机上时，双击MATLAB图标进入MATLAB命令窗口，或单击Windows的开始菜单，依次指向“程序”、“MATLAB”即可进入MATLAB的命令窗口，它是用户使用MATLAB进行工作的窗口，同时也是实现MATLAB各种功能的窗口。 MATLAB命令窗口除了能够直接输入命令和文本，还包括菜单命令和工具栏。 MATLAB的菜单命令构成相对简单而全面。 二、MATLAB的程序设计+一般的程序语言，例如C、C大多都提供基本的数学库。 程序员通过这些函数库，可以处理大量的数值运算。 对于我们搞专业的人员来说，除了花时间研究专业知识外，还需要花费心思来编写自己的高级数学函数库，例如在控制理论中特征根的求取、状态反馈阵的运算等等。 1无论是在我们有限的大学四年的学习中，还是在同学们以后的工作中，无论是进行一套新理论的研究，还是对一件新产品的模拟、实验与发展中，如果程序员或研究人员没有强大的数学函数和绘图功能来支持，都将在竞争中处于劣势。 Mathworks公司将MATLAB语言称之为第四代编程语言，MATLAB的编程效率比常用的BASIC、C、FORTRAN和PASCAL等语言要高的多，而且容易维护。 MATLAB的魅力就在于它是一种语言，一种高效的编程语言，MATLAB软件本质上就是MATLAB语言的编程环境，M文件也就是用MATLAB语言编写的程序代码文件，它的基本数据结构是矢量和矩阵。 我们只有充分利用MATLAB软件强大的资源，才能更深入学习控制理论。 所以同学们应该通过此次学习学会编写MATLAB程序的规则和方法，有关内容请参看相关书籍，本书不再赘述。 三、SIMULINK动态仿真集成环境MATLAB软件中的SIMULINK主要用于动态系统的仿真。 SIMULINK软件是一个应用性非常强的软件，它有以下几个突出的优点 （1）用户可以自定义自己的系统模块； （2）系统具有分层功能，这一功能可以使用户轻松组织系统，层次分明又自成系统； （3）仿真与结果分析。 根据这些特点，我们通过例题，说明如何在SIMULINK环境下，完成对实际系统的仿真分析。 在MATLAB命令窗口输入“SIMULINK”或点击图标，或在MATLAB的菜单上选择FileNewModel即可启动SIMULINK。 模型建构完成后，就可以启动系统仿真功能来分析系统的各种特性，可以直观地显示在类似示波器的窗口。 SIMULINK软件特别适合我们进行直观、精确、方便的仿真研究，下面举例说明。 例10-1某单位负反馈系统如图10-1所示，已知r(t)?4?6t，n(t)?1(t)，试求 （1）系统的稳态误差。 （2）要想减少扰动n(t)产生的误差，应提高哪一个比例系数？ （3）若将积分因子移到作用点之前，系统的稳态误差如何变化？解 （1）如图10-1搭建系统的Simulink仿真框图。 两个比例系数取不同的值，观察示波器的输出可以验证系统的稳态误差为e ss?241。 ?K1K2K1 （2）分别改变两个比例系数，观察示波器的输出可以验证提高K1可减少扰动n(t)产生的误差。 （3）若将积分因子移到作用点之前(见图10-2)，观察示波器的输出可以验证，此时系统2图10-1系统的Simulink仿真框图由扰动n(t)产生的稳态误差为零，给定输入作用下的稳态误差不变。 图10-3是扰动输入n(t)?1(t)作用下的误差变化。 图10-2改变后的系统Simulink仿真框图【例10-2】某机组一段串级汽温调节系统方框图如图10-4所示。 图10-4中G1(s)为被控对象一级导前区传递函数，G2(s)为被控对象一级惰性区传递函数。 G c1(s)为主调节器传递函数，G c2(s)为副调节器传递函数。 n(t)为喷水阀门扰动信号，r(t)为温度给定值信号，c(t)为温度测量值。 试通过SIMULINK仿真，研究系统在给定值扰动下和喷水扰动下的汽温变化以及执行器的输出。 解其一级导前区对象和一级主汽温对象的传递函数分别为图10-3示波器的输出3?0.577CG1(s)?()2t h(1?23s)?1.15CG1(s)G2(s)?()(1?15.8s)5t h系统利用SIMULINK搭接的模块图如图10-5所示。 N(s)R(s)C(s)G c1(s)G c2(s)G1(s)G2(s)图10-4系统的方框图主调节器采用PI调节，比例作用0.48，积分作用0.018；副调节器采用P调节，比例作用17。 下面分别给出它的几组仿真曲线如图10-6图10-9所示。 图10-5串级汽温调节系统的仿真模块图s s图10-6给定值扰动下汽温和误差曲线图10-7给定值扰动下执行器的输出曲线t s s图10-84t喷水扰动下的汽温曲线图10-94t喷水扰动下执行器的输出曲线【例10-3】某机组汽包水位调节系统方框图如图10-10所示。 图中G1(s)为给水与水位之间的传递函数，G2(s)为主蒸汽流量与水位之间的传递函数。 G c1(s)为主调节器传递函数，G c2(s)为副调节器传递函数。 K1为给水阀门开度与给水流量之间的比例关系，a 1、a2为分流系数，u(t)为给水扰动信号，d(t)为蒸汽流量扰动信号，r(t)为水位给定值信号，h(t)为水位测量值。 解利用SIMULINK搭接的系统模块图如图10-11所示。 其中传递函数G1(s)、G2(s)分别为4G1(s)?s?w0.0170.017*10?1?w s s1?10smm/s t/hmm/s t/h?5s K?s?0.550.0074G2(s)?e?e33s?s?(1?Ts)?(1?3.1s)?R(s)G c1(s)G c2(s)a1W(s)K1G1(s)U(s)a2D(S)G2(s)H(s)图10-10汽包水位调节系统方框图其中主调节器采用PI调节，比例作用1.4，积分作用0.038。 副调节器采用P调节，比例作用5。 各系数取1。 图10-11汽包水位调节系统的仿真模块图下面分别给出给水变化100t时和主蒸汽流量减少110t时水位信号变化曲线以及在相应情况下执行器输出变化曲线如图10-12图10-17所示。 mm2t-s s图10-12给定值扰动下水位信号和误差信号图10-13给定值扰动下执行器的输出前期基础知识掌握之后，我们就可以进行下一步的学习，作为自动控制理论的计算机辅助设计，主要研究利用MATLAB进行系统分析和设计的方法。 包括 （1）控制系统的模型； （2）控制系统的时域分析； （3）控制系统的根轨迹分析； （4）控制系统的频域分析；5 （5）控制系统的校正； （6）离散控制系统的分析。 （7）非线性系统分析。 mm10t-ss图10-14给水变化100t时的水位信号图10-15给水变化100t时执行器的输出mm40t-ss图10-16主蒸汽流量减少110t时水位信号图10-17主蒸汽流量减少110t时执行器输出第三节控制系统模型研究一个自动控制系统，单是分析系统的作用原理及其大致的运动过程是不够的，必须同时进行定量的分析，才能作到深入地研究并将其有效地应用到实际工程上去。 这就需要把输出输入之间的数学表达式找到，然后把它们归类，这样就可以定量地研究和分析控制系统了。 s2?2s?3例10-4已知系统的传递函数为G(s)?3，在MATLAB环境下获得2s?4s?6s?9z2?2z?3其连续传递函数形式模型。 已知系统的脉冲传递函数为G(s)?3，在2z?4z?6z?9MATLAB环境下获得其采样时间为4秒的传递函数形式模型。 解num=123;den=1469;G1=tf(num,den);Ts=4;G2=tf(num,den,Ts);例10-5已知系统的传递函数为G(s)?8(s?1)(s?2)，在MATLAB环境下获(s?3)(s?4)(s?5)8(z?1)(z?2)，在(z?3)(z?4)(z?5)6得其连续传递函数形式模型。 已知系统的脉冲传递函数为G(s)?MATLAB环境下获得其采样时间为7秒的传递函数形式模型。 解z=-1-2;p=-3-4-5;K=8;G1=zpk(z,p,k);Ts=7;G2=zpk(z,p,k,Ts);例10-6生成一个?0.5，?n?1的标准2阶系统，随机生成一个5阶稳定的系统，并实现两个模型的串联、并联和反馈连接。 解num1,den1=ord2(1,0.5);G1=tf(num1,den1)；num2,den2=rmodel (5);G2=tf(num2,den2)；Gs=series(G1,G2);%Series系统的串联连接；Gp=parallel(G1,G2);%Parallel系统的并联连接；Gf=feedback(G1,G2,-1);%feedback系统的反馈连接；?4x(t)?y(t)?10，【例10-7】求解微分方程组?3y(t)?x(t)?2y(t)?0?x (0)?0。 ?y (0)?5解x,y=dsolve(4*Dx+y=10,-1*x+3*Dy+2*y=0,x (0)=0,y (0)=5)%求解微分方程x=-105/4*exp(-1/6*t)+25/4*exp(-1/2*t)+20y=25/2*exp(-1/2*t)-35/2*exp(-1/6*t)+10【例10-8】某系统在零初始条件下的单位阶跃响应为h(t)=(1-e2t+e t)1(t)。 试求系统传递函数及零初始条件下的单位脉冲响应。 解-syms t；h=1-exp(-2*t)+exp(-t);L1=laplace(h)%syms函数用来定义符号变量；laplace函数可求拉氏变换L1=1/s-1/(s+2)+1/(s+1)syms s；L2=1/s;G=L1/L2%传递函数G=(1/s-1/(s+2)+1/(s+1)*s simplify(G)ans=(s2+4*s+2)/(s+2)/(s+1)H1=G*1;H2=ilaplace(H1)%零初始条件下的单位脉冲响应；ilaplace函数可求拉氏反变换H2=Dirac(t)+2*exp(-2*t)-exp(-t)说明simplify命令用来化简。 例10-9已知系统为例10-5中所述模型，在MATLAB环境下获得其延迟时间为10秒的模型。 解set(G,iodelay,10)?%设置模型对象G的输入延迟时间为10秒Set(G,ouputdelay,10)?%设置模型对象G的输出延迟时间为10秒get(G)%得到带有延迟的模型对象G7第四节控制系统的时域分析时域分析法是一种直接准确的分析方法，易为人们所接受，它可以接受系统时域内的全部信息。 时域分析法包括稳定性分析、稳态性能分析、动态性能分析三大方面。 在MATLAB软件中稳定性能的分析可以直接求出特征根或用古尔维茨判据判定稳定性，而稳态误差的求取可根据静态误差系数，利用求极限的方法求取，还可以直接从响应曲线中读取。 第三方面动态性能主要是根据系统的各种响应来分析的，建议读者查阅一下在MATLAB软件中如何获取各种响应的命令函数。 【例10-10】系统闭环特征方程分别如下，试确定特征根在s平面的位置，并判断系统闭环稳定性。 （1）s4+2s3+3s2+4s+5=0 （2）s3+20s2+9s+100=0试用古尔维茨判据判别系统的稳定性。 解 （1）d1=2;a=24;13;d2=det(a);b=240;135;024;d3=det(b);c=2400;1350;0240;0135;d4=det(c);if(d10)&(d20)&(d30)&(d40)WARNDLG(The systemis stable,Stability Analysis);else WARNDLG(The systemis unstable,Stability Analysis);end运行结果见图10-18。 图10-18用古尔维茨判据判别系统的稳定性MATLAB还有另外一种更直接的方法，直接求根法。 （2）d=1209100;r=roots(d)r=-19.8005-0.0997+2.2451i-0.0997-2.2451i三个根都在s平面的左半部，系统稳定，且其中一个位于负实轴。 例10-11下面的两个系统4s4?190s3?2024s2?4280s?9400?1?s?5s?30s4?418s3?2376s2?3920s?3xx4s4?183.4s3?1750s2?1388s?640?2?s?5s?28.8s4?382.6s3?1894s2?1352s?320分析它们的主导极点和动态响应的关系。 解 （1）通过下面的MATLAB命令把它们进行部分分式展开。 num1=4190202442809400;den1=130418237639203200;r1,p1,k1=residue(num1,den1);%求留数和极点num2=4183.417501388640;den2=128.8382.618941352320;r2,p2,k2=residue(num2,den2);t=0:1:20;G1=tf(num1,den1);step(G1,t);hold on;G2=tf(num2,den2);step(G2,t);结果如下p1p2-10.0000+10.0000i-9.9980+9.9997i-10.0000-10.0000i-9.9980-9.9997i-8.0000-8.0043-1.0000+1.0000i-0.3999+0.xxi-1.0000-1.0000i-0.3999-0.xxi从部分分式展开的结果可以看出，系统1的主导极点为?1?i；系统2的主导极点为?0.4?0.2i，其他极点近似一致。 如图10-19所示是MATLAB命令画出的两个系统的单位阶跃响应曲线。 图10-19两系统的响应曲线图10-20系统的各极点产生的响应曲线从系统的单位阶跃响应曲线可以看出，由于系统1的主导极点较系统2的主导极点远离虚轴，在其他极点及留数相同的情况下，系统1的响应速度要快于系统2的响应速度。 例10-12一个线性定常系统的传递函数为G(s)?时间响应。 解93s?2，求各个极点引起的2s3?4s2?5s?1numG=32;denG=2451;resG,polG,otherG=residue(numG,denG);ResG（留数）PolG（极点）-0.1867-0.5526i-0.8796+1.1414i-0.1867+0.5526i-0.8796-1.1414i0.3734-0.2408W=abs(imag(polG (1);D=real(polG (1);C=-angle(resG (1);r=abs(resG (1);i=0;for t=0:0.01:20i=i+1;yc(i)=2*r*exp(-0.8796*t)*cos(1.1414*t-C);yr(i)=resG (3)*exp(polG (3)*t);y(i)=yc(i)+yr(i);end t=0:0.01:20;plot(t,yc);hold on;plot(t,yr,-);hold on;plot(t,y);axis(020-0.40.8);grid on如图10-20所示。 【例10-13】单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)?0.4s?1s(s?0.6)，试求 （1）系统单位阶跃响应。 （2）峰值时间t p，过渡时间t s，超调量?%解num=0.41;den=conv(10,10.6);G1=tf(num,den);G11=feedback(G1,1);%feedback函数用来求取反馈回路传递函数t=0:0.1:20;y=step(G11,t);plot(t,y,k);title(step respondcurve);text(20.5,0,s);grid on;l=length(y);yss=y(l);ym,loc=max(y);pos=100*(ym-yss)/yss;tp=t(loc);%finding tsi=l+1;n=0;while n=0i=i-1;if i=1n=1;step respondcurve elseify(i)=1.02*yss1.5n=1;end1end t1=t(i);i=l+1;n=0;0.5while n=00i=i-1;05101520s ify(i)t2ts2=t1;else ts2=t2;10end end运行结果是tp=3.2000ts2=7.7000pos=17.9770系统的阶跃响应曲线如图10-21所示。 同学们可以考虑一下如何用更简洁的程序求t p，t s，%。 【例10-14】已知二阶系统的传递函数为G(s)?0. 3、0. 4、?2时的阶跃响应和脉冲响应曲线。 解wn=5;w2=wn*wn;num=w2;for ks=0.1:0.1:2den=12*wn*ks w2;figure (1);step(num,den);hold on;figure (2);impulse(num,den);hold onend2n，n=5，求?=0. 1、0. 2、s2?2?n s?2n单位阶跃响应曲线和单位脉冲响应曲线分别如图10-22和图10-23所示。 图10-22系统的单位阶跃响应曲线图10-23系统的单位脉冲响应曲线例10-15已知水轮机系统，以阀门位置增量?Q为输入，以输出功率?P为输出的传递函数为G(s)?1?2s，观察不稳定零20.5s?1.5s?1点对系统阶跃曲线的影响（见图10-24）。 解G=tf(-21,0.51.51);zz,pp,kk=zpkdata(G,v);step(G)；G=tf(-0.21,0.51.51);zz,pp,kk=zpkdata(G,v)；hold on；step(G)；grid on11图10-24不稳定零点对系统阶跃曲线的影响可以看出输出功率?P在最终达到正的稳态值之前，最初是减少的。 这种特性是具有右平面单零点的非最小相位系统所特有的。 而且右平面零点离原点越远，它对系统响应的影响越小。 第五节控制系统的根轨迹分析根轨迹法是古典控制理论的另一种重要的分析方法，它是分析和设计线性控制系统的一种图解方法。 它便于工程上使用，特别是适用于多回路系统的研究，应用根轨迹法比其他方法更为简便、直观。 根轨迹分析包括一般根轨迹、零度根轨迹、参量根轨迹和带迟延系统的根轨迹的绘制以及用根轨迹法分析系统。 但是要绘制出系统精确的根轨迹是很烦琐很难的事，因此在教科书中经常以简单系统的图示解法得到。 而在现代计算机技术和软件平台的支持下，绘制系统的根轨迹变得轻松自如了。 在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数如rlocus、rlocfind、pzmap、sgrid等等。 【例10-16】负反馈系统开环传递函数如下k(s?4)(s?8)G(s)?22s(s?12)试绘制k由0+变化时其闭环系统的根轨迹。 解num=conv(14,18);den1=conv(112,112);den2=conv(10,10);den=conv(den1,den2);rlocus(num,den)20得到根轨迹图10-25。 还可以求出关键点如分离点。 利用rlocfind函数。 Rlocfind(num,den)10ImagAxis-10Real Axis-20-12-10-8-6-4-20240出现图10-26，根轨迹图中显示出十字光标，当用户选择其中分离点时，其相应的增益及与增益有关的所有极点得到。 当用户选择其中分离点后如图10-27所示。 Select apoint inthe graphicswindow selected_point=-6.0276+5.2632i图10-25闭环系统的根轨迹图ans=128.0001其中-6.0276+5.2632i是分离点，相应的另一个分离点是-6.0276-5.2632i。 此时k=128.0001。 图10-26显示出十字光标的根轨迹图图10-27选中某点后的根轨迹图12【例10-17】试绘制图10-28所示系统的根轨迹（K由0+变化）。 R(s)E(s)C(s)2?4s解K eeK100s?1num1,den1=pade(4,15);num=conv(num1,2);den=conv(den1,1001);图10-28系统的方框图rlocus(num,den);axis(-1010-100100)系统的闭环根轨迹见图10-29。 注函数num,den=pade(T,n)或a,b,c,d=pade(T,n)，可将纯延迟环节e-TS化成有理函数的形式（即传递函数类的分子分母多项式形式）。 其中T为延迟时间常数，n为要求拟合的阶数，调用该函数后将返回Pade?（此方法是由法国数学家Pade?在1892年提出的）近似的传递函数模型num，den或等效的状态空间模型（a,b,c,d）。 100806040I mag Ax i s200-20-40-60-80-100-10-8-6-4-20Real Axis246810图10-29系统的闭环根轨迹【例10-18】设双回路反馈系统如图10-30所示。 绘制K c由0+变化的根轨迹。 解对于绘制多回路反馈控制系统的根轨迹的方法是从内环开始，由内回路的闭环极点确定外层回路开环极点，分层绘制，逐步扩展到整个系统。 num=1;den=conv(10,conv(12,13);figure (1);rlocus(num,den);r,k=rlocus(num,den);l=length(k);i=1;key=1;e1=abs(k (1)-3);while keyi=i+1;ess=abs(k(i)-3);end a=size(r);b=a (2);numz=conv(11,13);denz=conv(10,1-r(loc,1);for i=2:b denz=conv(denz,1-r(loc,i);end figure (2);rlocus(numz,denz);if esse1;key=0;end13内回路和外回路的根轨迹分别如图10-31（a）和图10-31（b）所示。 这种由内到外绘制根轨迹的方法是工程上常用的，同学们可以利用feedback命令直接求出系统的开环传递函数，再绘制根轨迹，程序会更简洁。 105I mag Ax i s50-5-10-4I mag Ax i s0-2（a）内回路根轨迹（b）外回路根轨迹图10-31根轨迹0Real AxisReal Axis Real Axis02-5-4-22【例10-19】单位负反馈系统开环传递函数为G(s)?1，试绘制a从0+变化(s?a)(s?1)时的根轨迹并求出单位脉冲响应为衰减、等幅振荡、增幅振荡、单调增幅时的a值。 a(s?1)解首先求出其等效的开环传递函数G(s)?2，然后画根轨迹图。 s?s?1num=11;den=111;rlocus(num,den);k,p=rlocfind(num,den);得到根轨迹如下图10-32所示，找到根轨迹与实轴的交点-2，a=3，与虚轴无交点。 所以当a3时是单调减幅、0 没有等幅振荡和增幅振荡。 例10-20负反馈控制系统的被控对象和1传感器模型分别为Imag Axis0.5G o(s)?4(2s?1)(0.5s?1)，0H(s)?-0.5Real Axis-1-3-2-1011，控制器为比例控制器0.05s?1 （1）求临界稳定时的K p值G c(s)?K p。 （2）阻尼比?0.8时Kp的值。 （3）观图10-32系统的根轨迹察系统稳定时Kp对系统响应的影响。 （4）K p?1.255时观察给定值输入和扰动输入（扰动输入加在比例控制器和被控对象之间）的单位阶跃响应。 解系统的根轨迹图如图10-33所示。 T1=2;T2=0.5;Tse=0.05;Kproc=4;denG=conv(T11,T21);Gp=tf(Kproc,denG)；H=tf(1,Tse1);GpH=Gp*H;rlocus(GpH)；sgrid(0.8,)；axis equal;axis(-255-1515)；14k,poles=rlocfind(GpH)利用rlocfind可以求出K?13.95时，s1,2?7j，当K?0.3时，s1,2?1.22?0.83j，s3?20.1。 系统稳定时K P对系统响应的影响见图10-34。 t=0:0.02:10;for Kp=0.7:0.2:1.7GF=feedback(Kp*Gp,H,-1);ys=step(GF,t);plot(t,ys)；hold on；end grid on Kp?1.255时给定值输入和扰动输入的图10-33系统的根轨迹图单位阶跃响应见图10-35。 Kp=1.255;t=0:0.02:7;GF=feedback(Kp*Gp,H,-1);NF=feedback(Gp,-Kp*H,+1);YR=step(GF,t);YN=step(NF,t);plot(t,YR,t,YN,r)；grid on；axis(0701.03)图10-34系统稳定时K P对系统响应的影响图10-35K P=1.255时给定值输入和扰动输入的单位阶跃响应【例10-21】单位负反馈系统开环传递函数为G1(s)?G3(s)?k(s?2)k，G2(s)?，s(s?4)s(s?4)k(s?6)k(s?6)，试利用根轨迹法研究开环零点对系统根轨迹的G4(s)?s(s?4)(s?8)s(s?4)影响，并绘制k=1时它们的单位阶跃响应。 解num=1;den=poly(0-4);subplot(2,2,1),rlocus(num,den)；num1=12;den1=den;subplot(2,2,2),rlocus(num1,den1)；num2=16;den2=den;subplot(2,2,3),rlocus(num2,den2)15num3=num2;den3=conv(den2,18);subplot(2,2,4),rlocus(num3,den3)figure (2);num,den=cloop(num,den);num1,den1=cloop(num1,den1);num2,den2=cloop(num2,den2);num3,den3=cloop(num3,den3);t=0:0.1:25;step(num,den,t)；hold onstep(num1,den1,t)；step(num2,den2,t)；step(num3,den3,t)增加开环零点时，系统根轨迹的影响见图10-36。 5Imag0Axis-55Imag0Axis-5Imag0Axis-1-610ImagAxis-10-50Real Axis3-10-8-6-4-20Real Axis421-4-20Real Axis12-4-20Real Axis220图10-36开环零点对系统根轨迹的影响系统的阶跃响应分别为图10-37的 1、 2、 3、4曲线。 由此看出，增加左半平面开环零点，或增加一对左半平面开环零极点，零点比极点靠近虚轴（即零点比极点作用强），会使原根轨迹上相应点向左下方移动。 而系统的动态响应时间减少。 k k【例10-22】单位负反馈系统开环传递函数为G1(s)?，G2(s)?，s(s?4)s(s?4)(s?6)k(s?5)k(s?8)，G4(s)?试利用根轨迹法研究开环极点对系统根轨G3(s)?s(s?4)(s?6)s(s?4)(s?6)迹的影响，并绘制它们的单位阶跃响应。 解num=1;den=poly(0-4);subplot(2,2,1),rlocus(num,den)；num1=num;den1=conv(den,16);subplot(2,2,2),rlocus(num1,den1)；num2=18;den2=den1;subplot(2,2,3),rlocus(num2,den2)num3=15;den3=den2;subplot(2,2,4),rlocus(num3,den3)；figure (2);num,den=cloop(num,den);num1,den1=cloop(num1,den1);num2,den2=cloop(num2,den2);num3,den3=cloop(num3,den3);t=0:0.1:50;step(num,den,t)；hold on；step(num1,den1,t)；step(num2,den2,t)；step(num3,den3,t)增加开环极点对系统根轨迹的影响见图10-38。 520I mag Axi s0I mag Axi s-4-20Real Axis20-510-20-85-6-4-20Real Axis2I mag Axi s0I mag Axi s-8-6-4-20Real Axis20-10-5-6-4-20Real Axis2图10-38开环极点对系统根轨迹的影响系统的阶跃响应分别为图10-39的 1、 2、 3、4曲线。 由此看出，增加左半平面开环极点，16或增加一对左半平面开环零极点，极点比零点靠近虚轴（即极点比零点作用强），会使原根轨迹上相应点向右上方移动。 而系统的动态响应时间延长。 From:U (1)1314From:U (1)132140.520.500510152025001020304050图10-37系统的阶跃响应曲线图10-39系统的阶跃响应曲线k(s?3)，试画?=0. 1、0. 3、0. 5、0. 7、(s?1)(s?2)0.9时的等?线和n= 1、 2、3?、10时的等n线及系统的根轨迹图，并找到?=0.9时系统的主导极点，并做此时系统的阶跃响应。 解num=13;den=conv(11,12);rlocus(num,den);axis(-60-1.51.5);z=0.10.30.50.70.9;wn=1:10;sgrid(z,wn);k,p=rlocfind(num,den);%根轨迹图如图10-40所示【例10-23】已知系统开环传递函数为G(s)?1.510.5I mag Axi sAmp lit udeTo:Y (1)Step ResponseFrom:U (1)0.90.80.70.60.50.40.30.20-0.5-1-1.5-60.1000.511.52-5-4-3Real Axis-2-10Time(sec.)图10-40系统的根轨迹及等n线和等?线图10-41系统的阶跃响应曲线num1=k*num;den1=den;W=tf(num1,den1);W1=feedback(W,1);figure (2)step(W1,k);%系统的阶跃响应曲线如图10-41所示Select apoint inthe graphicswindow selected_point=-2.9171+1.4035i k=2.8332第六节控制系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种经典方法。 采用这种方法可直观地表达出系统的频率特性，分析方法比较简单，物理概念比较明确，对于诸如防止结构谐振、抑制噪声、改善系统稳定性和暂态性能等问题，都可以从系统的频率特性上明确地看出其物理实质和解决途径。 17在MATLAB中，专门提供了频域分析的有关函数如bode、nyquist、margin等等。 例10-24系统的传递函数为G(s)?10s?500，余弦输入信号u(t)?2cos(5t?30)，2s?4s?3仿真区间为0?t?6s（假设初始条件为零），画出系统输出的稳态值y ss(t)和输出y(t)，并讨论它们的联系。 解参见图10-42。 G=tf(1050,143);t=0:0.06:6;u=2*cos(5*t+30*pi/180);y=lsim(G,u,t);mag,phase=bode(G,5);yss=2*mag*cos(5*t+(30+phase)*pi/180);plot(t,u,-,t,y,-,t,yss,-.);axis(06-75.5)图10-42系统输出的稳态值y ss(t)和输出y(t)对象的极点为-1和-3，则系统是渐进稳定的。 由y ss(t)和y(t)的曲线可知在4s后几乎完全相同，y ss(t)和u(t)之比正是系统的频率特性。 使用余弦输入信号u(t)?2cos(t?30)和余弦输入信号u(t)?2cos(20t?30)重复上例，不同的频率，会有不同的幅值和相移。 210(s?2s?5)。 试绘制幅相频【例10-25】已知负反馈系统的开环传递函数为G(s)?(s?2)(s?0.5)00率特性曲线，并判断闭环根的分布及闭环稳定性。 解系统开环传递函数分子、分母均含有不稳定环节，在手绘时很容易出错。 num=10-2050;den=conv(12,1-0.5);nyquist(num,den)系统的Nyquist曲线如图10-43所示。 因为右半平面的开环极点数p=1，根据奈氏判据，右半平面的闭环极点数z=p-(a-b)=1-(1-2)=2，所以闭环系统不稳定。 18【例10-26】二阶系统开环传递函数为G(s)?2s2?5s?1，利用Nyquist曲线求单位负反馈2s?2s?3构成的闭环系统稳定性。 解num=251;den=123;nyquist(num,den)Nyquist曲线如图10-44所示，由于曲线没有包围（-1，j0）点，且p=0，所以闭环系统稳定。 图10-43系统的Nyquist曲线图10-44系统的Nyquist曲线Nyquist DiagramsFrom:U (1)6【例10-27】已知一振荡环节的传递函数为G(s)?1，22T s?2?Ts?14I mag ina ryAxis20-2求当T?5，?=0. 1、0. 2、0. 3、?、1.2时的幅相频率特性曲线和对数幅频相频特性曲线。 解T=5;a=T*T;num=1;for ks=0.1:0.1:1.2den=a2*T*ks1;figure (1);-2-10123To:Y (1)-4-6-3RealAxisnyquist(num,den);hold onfigure (2);bode(num,den);Bode DiagramsFrom:U (1)图10-45系统的幅相频率特性曲线hold onPhase(deg);M agnit ude(dB)200-20-40-60-800-50end得到其曲线分别为图10-45和图10-46所示。 【例10-28】系统的开环传递函数为k，求k= 1、1. 5、G(s)?s(s?1)(0.2s?1) 2、?、6时系统的相位裕量，观察开环增益对系统相对稳定性的影响，并绘制19To:Y (1)-100-150-200-21010-1100101Frequency(rad/sec)图10-46系统的对数幅频相频率特性曲线k? 1、 3、5时的Bode图。 解den=conv(10,conv(11,0.21);i=1;for k=1:0.5:6Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(k,den);r(i)=Pm;i=i+1;end for k=1:2:6bode(k,den);s=num2str(k);gtext(s);pause;hold onend k= 1、1. 5、 2、6时系统的相位裕量分别为r=43. 2098、32. 6788、25. 3898、19. 9079、15. 5527、11. 9586、8. 9095、6. 2683、3. 9431、1. 8692、0，逐渐减小，稳定裕度降低。 其Bode图如图10-47所示。 Bode DiagramsFrom:U (1)10050Nyquist DiagramsFrom:U (1)10513Phase(deg);M agnit ude(dB)0-50-100-150-50-1005I mag ina ryAxisTo:Y (1)013579111315To:Y (1)-150-200-250-300-21010-1-5100101102-10-20246810121416Frequency(rad/sec)RealAxis图10-47系统的Bode图图10-48k取不同值时系统的奈氏曲线【例10-29】负反馈系统开环传递函数为G(s)?k，当k= 1、 3、 5、?、15(3s?1)(5s?1)时，系统的奈氏曲线形状如何变化，对系统的稳定性有什么影响。 解den=conv(31,51);fork=1:2:15nyquist(k,den);s=num2str(k);gtext(s);pause;hold on;Nyquist DiagramsFrom:U (1)0.6end0.4可以看出随着k的增大，该系统的奈氏曲线如图10-48所0.2示向外扩展，但不影响稳定性，这一点和routh判据一致，0-0.2k-1时系统总是稳定的。 -0.4【