08非端点效应——最值点—极值点效应.doc

（三）非端点效应最值点极值点效应例1.已知函数fx=lnx+x+ax.（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x0，fxa+1恒成立，求实数a的取值集合.（3）若fx的最小值为3，求实数a的取值集合.解析：（1）fx=1x+1-ax2=x2+x-ax2(x0)，记=1+4a，当a0或0，即a0时，fx0，则f(x)在(0,+)单调递增；当a0时，fx=(x-x1)(x-x2)x2，其中x1=-1-1+4a20，所以f(x)在(0, -1+1+4a2)单调递减，在(-1+1+4a2,+)单调递增。（2）x0，fxa+1恒成立fxf(1)恒成立，最值点极值点效应所以f(1)是f(x)的最小值，也是f(x)的极小值，所以f1=0，即1+1-a=0，所以a=2.而a=2时，fx=1x+1-2x2=x2+x-2x2=x-1x+2x2(x0)，则f(x)在(0, 1)单调递减，在(1,+)单调递增。所以fxf(1)恒成立。故实数a的取值集合为2.（3）解答过程请参阅终结篇（四）例2，答案：实数a的取值集合为2.例2.已知函数fx=ln(2x-1)+a+xx(aR).（1）当a=3时，求f(x)的单调区间；（2）若fxax+1恒成立，求a的值。解析：（1）略（2）令gx=fx-ax-1=ln2x-1+ax-ax(x12)，则gx=22x-1-ax2-a(x12).显然g1=0，要使fxax+1恒成立，即gxg(1)恒成立，最值点极值点效应则g(1)应为g(x)的最大值，所以x=1也是g(x)的极值点.则g1=2-2a=0，得a=1.而当a=1时，gx=22x-1-1x2-1=-2x3+3x2-2x+12x-1x2=(1-x)(2x2-x+1)2x-1x2(x12)，可知g(x)在(12,1)递增，在(1,+)递减，则gxg(1)恒成立，符合题意。故a=1.（四）非端点效应零点效应、其他特殊点效应例1.已知函数fx=ax+a-1x (aR)，gx=lnx.（1）若对任意的实数a，函数fx与gx的图像在x=x0处的切线斜率总相等，求x0的值；（2）若a0时，对x0，不等式fx-gx1恒成立，求实数a的取值范围解析：(1) x01，过程略；(2)令hx=fx-gx(x0)，则由hx=fx-gx1，可得h1=f1-g1=2a-11，则a1。特殊点效应；1还是g(x)的零点.而当a1时，hx=ax+a-1x-lnxx-lnx.令Hx=x-lnx，则Hx=1-1x=x-1x，易知H(x)在（0，1）递减，在(1,+)递增，所以HxH1=1，所以hxHx1.综上，实数a的取值范围是1，)。.例2.已知fx=axex-(a+1)(2x-1)，若x0时，fx0恒成立，求实数a的取值范围.解析：由f12=12ae0，得a0。而当a0时，fx=axex-a+12x-10aa+1(2-1x)e-x.令gx=(2-1x)e-x(x0)，则gx=1x2+1x-2e-x=1+x-2x2e-x=1+2x1-xe-x(x0)，易得gxmax=g1=1e，所以aa+11e，解得a1e-1.故实数a的取值范围是1e-1,+).评析：此题如果直接利用f10，得取值范围，再证明，就是特殊点效应.试一试：1.已知函数fx=aex-lnx-1.（1）设x=2是f(x)的极值点，求a的值，并指出f(x)的单调性（2）若fx0恒成立，求实数a的取值范围.答案：（1）略；（2）1e,+).【提示：f10.】2.已知fx=acosx-4cos3x