第二讲早期的算术与几何.ppt

早期的算术与几何 埃及和巴比伦的数学中国的早期数学 数学文明的发祥 数学文明的发祥可以追溯到4千年前 甚至更久 世界公认的四大文明古国 中国 埃及 巴比伦 印度 其文明程度的主要标志之一就是数学的萌芽 埃及 几何的故乡已掌握了加 减 乘 除四种运算 会算一些平面图形的面积及一些立体的体积 埃及的金字塔 建于公元前三千年至公元前一千多年 这些古建筑留下了许多数学之谜 塔底每边长230米 误差小于20厘米 塔高146 5米 东南与西北角误差仅1 27厘米 直角误差仅有12 方位角误差在2 到5 之间 这样的精确度 现代建筑也望尘莫及 用石达230万块之多 重量从2 5吨到50吨不等 石块间接缝处连铅笔刀也难插入 塔高的10亿倍恰好等于地球到太阳的距离 底边与高度之比的2倍近似等于3 14159 而这是公元3世纪时的人才得到的圆周率的近似值 穿过塔的子午线恰好把地球上的陆地和海洋分为均匀的两半 塔的重心正好位于各大陆引力的中心线上 古埃及人靠什么计算方法和计算工具达到如此的精确度呢 科学研究表明 他们已具有丰富的天文学和数学知识 纸草书 纸草书是研究古埃及数学的主要来源莱因德纸草书 最初发现于埃及底比斯古都废墟 1858年为苏格兰收藏家莱因德购得 现藏于伦敦大英博物馆 又称阿姆士纸草书 阿姆士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书 据他加的前言知 所抄录的是一部已经流传了两个世纪的著作 含84个数学问题 莫斯科纸草书 又称戈列尼雪夫纸草书 1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得 现存于莫斯科博物馆 产生于公元前1850年前后 含有25个数学问题 莱因得纸草上的等比数列问题 埃及人对 级数 也有了简单的认识 在纸草书中 用象形文字写出一列数7 49 343 2401 16807 并与之对应一列词 图画 猫 老鼠 大麦 容器 最后 给出和数为19607 实际上 这是公比为7的等比数列 对此 有的数学史家解释为 有7个人 每人有7只猫 每只猫能吃7只老鼠 而每只老鼠吃7穗大麦 每穗大麦种植后可以长出7容器大麦 从这个题目中 可以写出怎样的一列数 它们的和是多少 这种题目就涉及到求数列和的问题 埃及几何 埃及几何产生于土地测量 是一种实用几何 对面积 体积的计算 他们给出了一些计算的法则 有准确的也有粗略的 在莫斯科纸草书中有一个正四棱台体积的计算所用的公式 用现在的符号表示是这是埃及几何中最出色的成就之一 巴比伦的数学 六十进制位值制记数法 长于计算 编制了许多数表 乘法表 倒数表 平方表 立方表 平方根表 立方根表 甚至有特殊的指数 对数 表 能解二次方程 古代巴比伦人是用祖传的泥板书记载数学内容的 然而 保存下来的泥板书却没有埃及纸草书那样多 可能是因为泥板书靠太阳或火烧烘干 遇到风吹雨淋 难于保存原样 另外 巴比伦人的书写字迹也阻碍了长篇论著的编撰 对巴比伦数学的了解 依据于19世纪初考古发掘出的楔形文字泥板 有约300块是纯数学内容的 其中约200块是各种数表 包括乘法表 倒数表 平方和立方表等 中国的早期数学 中国古代数学的起源可以上溯到公元前数千年 史记 中记载 夏禹治水 左规矩 右准绳 这可以看作是中国古代几何学的起源 在殷商甲骨文中已经使用了完整的十进制记数法 春秋战国时代又出现了十进位值制筹算记数法 而战国时代的 考工记 墨经 庄子 等著作中则探讨了许多抽象的数学概念 并记载了大量实用几何知识 墨经 点 线 面 方 圆等几何概念 考工记 分数比例 角度大小的区分 标准容器的计算等 荀子 管子 九九 乘法口诀 春秋 初税亩 测量田亩面积和计算的方法 庄子 天下篇 一尺之棰 日取其半 万世不竭 朴素的极限观念 墨经 点 端 体之无厚而最前者也 直线 直 参也 圆 圆 一中同长也 史记 齐威王与田忌赛马 对策论的最早例证 商代 又称殷代 约公元前17世纪 约前11世纪 1899年在河南安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上所刻的象形文字 甲骨文 公元前14世纪 自然数的记法 10进位制 最大的数字是3万 公元前500年左右的战国时代 中国人创造了具有十进位值制特征的筹算数码 筹算数字的摆放方法规定 个位用纵式 十位用横式 百位用纵式 千位用横式 万位又用纵式 如此纵横相间 以免发生误会 并规定用空位表示零 到了13世纪 中国数学家又明确地用 表示零 从而使中国记数法完全位值化 周 约公元前11世纪 公元前256年 奴隶制经济获得进一步的发展 数 作为六艺之一 开始形成一个学科 算筹记数和四则运算已经开始春秋战国时期 人们已经能熟练地进行筹算 周易 中的数学 周易 是中国古代专讲卜筮的书 也可以看作是古人探索自然的朴素的哲学著作 约成书于殷商时期 周易 由 易经 和 易传 两部分组成 先有 易经 后有 易传 两部分成书的时间相距七八百年 易经 包括古代占卜的卦辞及爻辞 易传 由 系辞 说卦 等十篇文章组成 是对 易经 中卦辞及爻辞的解释 在中国古代众多的儒 道典籍中 周易 是包含数学内容最丰富的著作 因而对中国古代数学家产生了极大的影响 比如 刘徽在 九章算术注 的序中就写道 昔伏羲氏始作八卦 以通神明之德 以类万物之情 作九九之数 以合六爻之变 实际上就把数学方法与 周易 中的六爻 八卦等内容联系起来了 八卦 乾 巽 离 艮 坤 震 坎 兑 计算机的发明与 周易 中的八卦有着十分密切的联系 众所周知 现代电子计算机最基本的数学基础是二进制数 二进制符号是德国数学家莱布尼茨 Leibniz 1646 1716 发明的 莱布尼茨于1679年撰写了 二进制算术 阐述了二进制理论 莱布尼茨自称 他之所以会想到二进制数 就是因为受到了八卦符号的启发 他还说 可以让我加入中国籍了吧 二进制是计算技术中广泛采用的一种数制 二进制数据是用0和1两个数码来表示的数 它的基数为2 进位规则是 逢二进一 借位规则是 借一当二 由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现 当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统 数据在计算机中主要是以补码的形式存储的 计算机中的二进制则是一个非常微小的开关 用 开 来表示1 关 来表示0 20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用 因为数字计算机只能识别和处理由 0 1 符号串组成的代码 其运算模式正是二进制 19世纪爱尔兰逻辑学家乔治布尔对逻辑命题的思考过程转化为对符号 0 1 的某种代数演算 二进制是逢2进位的进位制 0 1是基本算符 因为它只使用0 1两个数字符号 非常简单方便 易于用电子方式实现 二进制 二进制数据111 01 十进制数据42 数的概念的产生 数和形是数学最早的研究对象 考古研究发现 人类在5万年前就已经有了一些计数的方法 现代人的研究认为 人类数的概念的发展过程是 先有原始的数感 再形成一一对应的计数方法 最后通过集合的等价关系建立抽象的数的概念 记数符号的产生 易 系辞 中载 上古结绳而治 后世圣人易之以书契 结绳记数 是指在绳子上打一个结表示一个数或一件事 绳结的多少 根据事物多少而定 而所谓的 书契 就是刻划 书 是划痕 契 是刻痕 古人常常在各种动物骨头 金属 泥版上刻痕记数 如中国殷商时期常将文字刻划在牛的肩胛骨或龟甲上 故称甲骨文 数概念的形成 30万年以前计数 手指 石子 结绳 刻痕早期记数系统 10进制 埃及 中国 希腊 印度 60进制 巴比伦 20进制 玛雅 从刻划记数 人类很自然地过渡到刻出数的符号 并进而创造出第一批数字 古代中国 古埃及 巴比伦等民族 均在公元前5000年前后就有了记数符号 由于古人用手指作为计数的参照物十分方便 因而许多民族都不约而同地使用了十进制计数法 当然也存在着少量的其它进位制 如5进制 12进制 16进制 20进制 60进制等 古埃及的象形数字 巴比伦楔形数字 中国甲骨文数字 玛雅数字 匹配 导致自然数的产生 族长或者酋长的工作古希腊荷马史诗的传说 独眼巨人波吕斐摩斯被刺瞎后的牧羊生活 用石子计数羊只 数感 即感知事物多少的心理能力 原始人类较早的 有 与 无 多 与 少 的认识某些鸟类和黄蜂具有数感 例如 乌鸦的数感 罗素 英国数学家 1872 1970 说 不知要经过多少年 人类才发现一对锦鸡和两天同含一个数字二 抽象对于古人实在是太难了 古希腊数学 数学在希腊的发展 有其社会原因 古代希腊人定居在小亚细亚 即欧洲大陆上如今希腊所在地区以及意大利南部 西西里 Sicily 克里特 Crete 罗德斯 Rhodes 第罗斯 De los 和北非等地区 古代希腊形成了多个数学学派 他们的活动和研究 对数学的发展和传播是有重要作用的 古希腊数学延续了1000年左右 这在数学发展史上也是屈指可数的几个国家之一 创建学派 师徒相传 古希腊数学是在先后相继几个中心地点发展起来的 每个中心地点 总是由一两个伟大学者组织成群的学者开展学术活动 为数学大厦的筑起添砖加瓦 用现在的语言描述 乃为创建学派 师徒相传 推动数学的发展与传播 一 爱奥尼亚学派 这个学派是由泰勒斯 Thales 约公元前625 前547 创建的 泰勒斯早年跟随父亲从商 由于贸易往来 有机会游访埃及 巴比伦等国家和地区 在游访期间 被当时兴旺发达的文化所吸引 萌发兴趣 开始倾心学习和研究天文 几何知识 被誉为 古希腊七贤人 之首 根据现存原典史料证明 泰勒斯是古希腊的第一位天文学家 由于他准确地预言公元前585年5月28日的日食时间 使泰勒斯名声大振 据说古代两个奴隶制国家交战 5年未见胜负 泰勒斯扬言上天要制止战争 以某月某日必日食来作警告 果然到了那一天 两军正在酣战不停 突然太阳失去光辉 百鸟归巢 明星闪烁 白昼顿成黑夜 双方士兵将领大为恐惧 于是停战和好 后来两国还互通婚姻 泰勒斯创建的学派 爱奥尼亚学派对数学的发展起到了很大作用 尤其对几何学的发展 起到的作用更大 有人认为泰勒斯是数学历史上第一位几何学家 根据普罗克洛斯记载 泰勒斯至少证明了如下几个命题 1 圆被任一直径所平分 2 等腰三角形的两底角相等 3 两条直线相交 对顶角相等 4 两个三角形两角与所夹边对应相等 则两个三角形全等 万物皆数 毕达哥拉斯学派认为世界万物都是数 最重要的数是1 2 3 4 而10则是理想的数 相应地 自然界由点 一元 线 二元 面 三元 和立体 四元 组成 他们认为自然界中的一切都服从于一定的比例数 天体的运动受数学关系的支配 形成天体的和谐 二 毕达哥拉斯学派 这个学派是以贵族式的观念形态作为基础 与在当时撒摩斯岛 现土耳其西岸小岛 的古希腊民主制的观念形态 形成尖锐的对立 是具有神秘色彩的组织 领头人毕达哥拉斯 Pythagoras 约公元前572 前501 生于撒摩斯岛 关于毕达哥拉斯本人有很多传说 甚至很难判断哪些传说是符合实际的 哪些是虚构的 就连他的生卒年月也很难确定 毕达哥拉斯首先研究了数学的抽象概念 希腊学者亚里士多德曾说 毕达哥拉斯学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分 数不能离开感觉到的对象而独立存在 即早期毕达哥拉斯学派认为一切对象由 整 数组成 或者说数乃宇宙的要素 因为他们心目中的数就如同我们心目中的原子一样 把数看作是现实的本源 是严谨性和次序性的根据 是在宇宙体系里控制着天然的永恒关系 企图用数来解释一切 甚至认为万物都包含数 整数 且万物也都是数 整数 对周围观察到的现象 也都是用数的关系来说明 毕达哥拉斯学派通过 勾股定理 揭示了直角三角形三边之间的关系 假设直角三角形是等腰的 且直角边长为1 那么弦长应为按亚里士多德的说法 毕达哥拉斯学派利用归谬法证明了与1不能公度 真理 她的标志是永恒一旦愚昧的世界见到她的光芒毕达哥拉斯定理今天依然正确犹如初次被传授给兄弟会一样 女神们以这束光芒相馈赠毕达哥拉斯回祭一份厚礼一百头牛 烤熟切片表达对她们的无限感激从那一天起 当它们猜测一个新的真理会被揭去面纱在那恶魔似的围栏里 一阵阵哀鸣立即爆发 无力阻挡真理发现者的暴行毕达哥拉斯让它们永不安宁它们瑟瑟颤抖着绝望地闭上了眼睛这首诗的作者据说是19世纪德国著名诗人海涅 HeinrichHeine 1797 1856 诗中讲的是公元前6世纪毕达哥拉斯学派因发现直角三角形 三边之间的关系而欣喜若狂 宰杀了100头牛来祭祀缪斯女神 从那以后 世界上的牛都怕数学家 一旦谁发现了新的定理 牛圈里的牛便立即开始哀鸣 实际上 毕达哥拉斯学派发现 勾股定理 之后 很容易过渡到对新数 无理数的发现 但毕达哥拉斯学派认为这违背了他们的信条 世界上一切都是由整数和整数之比构成 相传毕达哥拉斯学派成员在海上游玩 把无理数的宣传者希帕索斯 Hippa sus 约公元前5世纪 推到波涛汹涌的大海里 希腊人称不可公度量之比为 o os algos 意即不能表达 当时 人们都在回避这种量 导致了数学史上的第一次危机 无理数的发现 毕达哥拉斯学派的信条是 万物皆数 这里的数实际上是指正的有理数 传说 毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯 Hippasus 公元前470年左右 发现了 不可公度比 的现象 并在一次航海时公布了他的想法 结果被恐慌的毕达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海 项武义教授的一项研究认为 希帕苏斯首先发现的是正五边形边长与对角线长