圆周运动的临界问题.doc

圆周运动的临界问题1. 如图所示，粗糙水平地面与半径为R=0.5m的粗糙半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上质量为m=1kg的小物块在水平恒力F=15N的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B点时撤去F，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D点，已知A、B间的距离为3m，小物块与地面间的动摩擦因数为0.3，重力加速度g取10m/s2.求： (1)小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小(2)小物块离开D点后落到地面上的点与B点之间的距离2. 如图，水平桌面中心O处有一个小孔，用细绳穿过光滑小孔，绳两端各系质量M=0.6kg的物体A和m=0.3kg的物体B，A的中心与圆孔的距离为0.2m(1)如果水平桌面光滑且固定，求A物体做匀速圆周运动的角速度应是多大？(2)如果水平桌面粗糙，且与A之间的最大摩擦力为1N，现使此平面绕中心轴线水平转动，角速度在什么范围内，A可与平面处于相对静止状态？(g=10m/s2)3. 如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为L=2m的细绳悬一质量为m=1kg的小球，圆锥顶角为2=74.求：(1)当小球=1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。(2)当小球以=5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。4. 如图所示，质量M=2kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，m用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m=1.6kg的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态，假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大静摩擦力为其重力的0.6倍，试问：(1)M受到的静摩擦力最小时，平台转动的角速度0为多大？(2)要保持M与平台相对静止，M的线速度的范围？5. 如图所示，圆盘可绕过圆心O的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，物体P放在圆盘上，一轻质弹簧一端连接物体P，另一端固定在竖直轴上。已知物体的质量m=0.5kg，弹簧的自然长度l=10cm，劲度系数k=75N/m，物体与圆盘表面的动摩擦因数=0.8，P可看作质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。当圆盘以角速度=52rad/s转动时，P与圆盘相对静止，弹簧恰处于原长位置。求： (1)此时P对圆盘的作用力都有哪些，各为多大？(2)为使P与圆盘保持相对静止，弹簧长度的取值范围多大？(假设弹簧均未超出弹性限度)6. 如图所示，装置BOO可绕竖直轴OO转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角=37。已知小球的质量m=1kg，细线AC长l=1m，B点距C点的水平和竖直距离相等。(重力加速度g取10m/s2，sin37=35，cos37=45) (1)若装置匀速转动的角速度为1时，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37，求角速度1的大小；(2)若装置匀速转动的角速度2=503rad/s，求细线AC与竖直方向的夹角；(3)装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算讨论细线AC上张力T随2的变化关系(请用m、l和表示)。7. 如图所示，水平转盘上放有一个质量为m的小物体，小物体离转动轴的距离为r，转轴与小物体间用一根刚好伸直的细线相连，小物体和转盘间的最大静摩擦力等于重力的倍，细线所能承受的最大拉力为3mg.求： (1)当转盘角速度为1=g2r时，细线的拉力为多大？(2)若小物体始终相对转盘静止，转盘转动的最大角速度是多少？8. 如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数k=46N/m的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量m=1.0kg的小物块A，物块与盘间的动摩擦因数=0.20，开始时弹簧未发生形变，长度l0=0.50m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2.则 (1)当圆盘的转动周期T=5.0s时，物块在初始位置与圆盘一起转动，求物块受到的向心力大小F；(2)圆盘的角速度多大时，物块A将开始滑动？(3)当角速度缓慢地增加到4.0rad/s时，弹簧的伸长量是多少？(弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘)9. 如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线相连的质量均为m的A、B两个小物块，A离轴心r1=20cm，B离轴心r2=30cm，A、B与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.4倍求： (1)若细线上没有张力，圆盘转动的角速度应满足什么条件？(2)欲使A、B与盘面间不发生相对滑动，则盘转动的最大角速度多大？(3)当圆盘转速达到A、B刚好不滑动时，烧断细绳，则A、B将怎样运动？(g取10m/s2)答案和解析1.【答案】解：(1)小物块在水平面上从A运动到B过程中根据动能定理有：FmgxAB=12mvB20在B点，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得：Nmg=mvB2R联立解得小物块运动到B点时轨道对物块的支持力为：N=154N由牛顿第三定律可得，小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小为：N=N=154N(2)因为小物块恰能通过D点，所以在D点小物块所受的重力等于向心力，即：mg=mvD2R可得：vD=5m/s设小物块落地点距B点之间的距离为x，下落时间为t根据平抛运动的规律有：x=vDt，2R=12gt2解得：x=1m答：(1)小物块运动到B点时对圆轨道B点的压力大小为154N.(2)小物块离开D点后落到地面上的点与B点之间的距离为1m【解析】本题是动能定理、牛顿第二定律和平抛运动规律的综合应用，关键是确定运动过程，分析运动规律，知道物体恰好到达圆周最高点的临界条件：重力等于向心力。(1)小物块从A运动到B的过程中，根据动能定理求出物块到达B点时的速度。在B点，由牛顿第二定律求出轨道对物块的支持力，从而得到物块对轨道的压力。(2)因为小物块恰好能通过D点，所以在D点小物块所受重力等于向心力，由牛顿第二定律求出小物块通过D点的速度。小物块离开D点做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由运动学公式求解落到水平地面上的点与B点之间的距离。2.【答案】解：(1)若水平桌面光滑固定，则A做圆周运动靠拉力提供向心力则有：F=Mr2F=mg解得=mgMr=30.60.2rad/s=5rad/s(2)若水平桌面粗糙，当角速度最大时，有：F+fm=Mr12，F=mg代入数据解得1=1033rad/s当角速度最小时，有：Ffm=Mr22，F=mg代入数据解得2=563rad/s知角速度563rad/s1033rad/s，A可与平面处于相对静止状态。答：(1)A物体做匀速圆周运动的角速度应是5rad/s；(2)角速度563rad/s1033rad/s，A可与平面处于相对静止状态。【解析】(1)若水平面光滑且固定，A物体靠拉力提供向心力，仅根据拉力等于B的重力求出圆周运动的角速度；(2)当角速度最大时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，根据牛顿第二定律求出最大角速度，当角速度最小时，A所受的最大静摩擦力背离圆心，根据牛顿第二定律求出最小角速度，从而得出角速度的范围。本题考查应用牛顿定律处理临界问题的能力，知道当物体将滑动时，静摩擦力达到最大值，难度适中。3.【答案】解：(1)小球刚要离开锥面时，支持力为零，根据牛顿第二定律得：mgtan=m02Lsin解得：0=2.5rad/s，当=1rad/s2.5rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为T1sin=m2Lsin解得：T1=m2L=1252N=50N答：(1)当小球=1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力为8.72N。(2)当小球以=5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力为50N。【解析】小球刚要离开锥面时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界角速度0.根据小球的角速度大小，小球贴着锥面运动和离开锥面运动两个过程，根据牛顿第二定律列式即可求解。本题的关键点在于分析小球向心力的来源，抓住小球刚离开圆锥体表面时支持力为零，直接应用向心力公式求解。4.【答案】解：(1)物体M与圆盘保持相对静止且不受摩擦力时，绳子的拉力提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=M02r代入数据得：0=4rad/s(2)设此平面角速度的最小值为1，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，则由牛顿第二定律得：Tfmax=m12r，又T=mg联立得：mgfmax=M12r，代入数据解得：1=2rad/s，则v1=1r=1m/s设此平面角速度的最大值为2，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，则由牛顿第二定律得：T+fmax=M22r，又T=mg代入解得：2=27rad/s，则v2=2r=7m/s故为使m处于静止状态，M的线速度的取值范围为：1m/sv7m/s。答：(1)物体M与圆盘保持相对静止且不受摩擦力时，平台的角速度是4rad/s；(2)为使物体M与圆盘相对静止，M的线速度的大小范围为1m/sv7m/s。【解析】(1)物体M与圆盘保持相对静止且不受摩擦力时，绳子的拉力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出；(2)当此平面绕中心轴线以角速度转动时，若M恰好要向里滑动时，取得最小值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向外，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M所需要的向心力。若M恰好要向外滑动时，取得最大值，此时M所受的静摩擦力达到最大，方向沿半径向里，由最大静摩擦力和绳子拉力的合力提供M所需要的向心力。根据v=r和牛顿第二定律分别求出v的最小值和最大值，即可得到线速度的取值范围。本题是圆周运动中临界问题，抓住当M恰好相对此平面滑动时静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律求解线速度的取值范围。5.【答案】解：(1)P受力如图：P的角速度与圆盘的角速度相同，静摩擦力f提供P的向心力，P的运动半径：r=l0=0.1m，则：f=mr2=2.5N， 支持力为：N=mg=5N， 根据牛顿第三定律，物体P对圆盘的作用力为：静摩擦力大小为2.5N，对圆盘的压力大小为5N； (2)当弹簧长度最短时，弹簧处于压缩状态，P受到指向圆心的最大静摩擦力，设此时弹簧的压缩量为x1，满足：Fm=mg， 由牛顿第二定律得：Fmkx1=m2l0x1， 代入数据解得：x1=3cm，对应弹簧的长度为：l1=l0x1=7cm， 当弹簧长度最长时，弹簧处于伸长状态，P受到背向圆心的最大静摩擦力，设此时弹簧的伸长量为x2，满足：kx2Fm=m2l0+x2，代入数据解得：x1=13cm，对应弹簧的长度为l1=l0+x2=23cm。【解析】本题考查了牛顿第二定律和向心力的来源，根据受力分析，由牛顿第二定律列式求解即可。(1)对物体P受力分析，由于物体做圆周运动，根据向心力的来源进行分析；(2)物体P相对圆盘静止，随着圆盘一起做圆周运动，根据牛顿第二定律列式求解。6.【答案】解：(1)细线AB上张力恰为零时有mgtan37=m12lsin37 解得1=glcos37=504rad/s=522rad/s(2)2=503rad/s1=504rad/s时，细线AB应松弛解得此时细线AB恰好竖直，但张力为零。(3)1=522rad/s时，细线AB水平，细线AC上张力的竖直分量等于小球的重力Tcos=mgT=mgcos=12.5N 12时细线AB松弛细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力Tsin=m2lsin T=m2l 2时，细线AB在竖直方向绷直，仍然由细线AC上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力Tsin=m2lsinT=m2l综上所述1=522rad/s时，T=12.5N不变1时，T=m2l 【解析】本题考查圆周运动的应用，本题的关键是理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解。(1)细线AB上张力恰为零时小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出角速度的大小；(2)2=503rad/s1=504rad/s时，细线AB松弛，根据小球重力和拉力的合力提供向心力求出细线AC与竖直方向的夹角；(3)根据牛顿第二定律分别求出1=522rad/s时、12时、2时拉力的大小，从而确定细线AC上张力T随角速度的平方2变化的关系。7.【答案】解：(1)当物体只由静摩擦力提供向心力时，最大的向心力为mg，此时mgm2r 解得：gr 当角速度1=g2r时，由于1gr，所以细绳拉力F1=0(2)当拉力达到最大时，转盘有最大角速度max F2+Fm=m2r 即：3mg+mg=mmax2r 解得：max=4gr=2gr 答：(1)当转盘角速度为1=g2r时，细线的拉力为零；(2)若小物体始终相对转盘静止，转盘转动的最大角速度是2gr【解析】(1)当向心力大于最大静摩擦力时，才会拉紧绳子，先求解只由静摩擦力提供向心力时的临界角速度，判断绳子是否有张力；(2)绳子的最大拉力和最大静摩擦力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解最大角速度本题关键是找到向心力来源，注意当最大静摩擦力不足提供向心力时，绳子才被拉长，发生微小形变，产生弹力8.【答案】解：(1)由向心力公式得F=m42T2l0代入数据解得F=0.79N(2)设盘的角速度为0时，物块A将开始滑动，此时由最大静摩擦力提供物体所需要的向心力，则有：mg=m02l0解得：0=2rad/s(3)设此时弹簧的伸长量为x，物块受到的摩擦力和弹簧的弹力的合力提供向心力，则有：mg+kx=m2(l0+x)代入数据解得：x=0.2m答：(1)物块受到的向心力大小F是0.79N；(2)圆盘的角速度为2rad/s时，物块A将开始滑动。(3)当角速度缓慢地增加到4.0rad/s时，弹簧的伸长量是0.2m。【解析】(1)根据向心力公式F=m42T2r求向心力大小F；(2)物块A将开始滑动时，静摩擦力达到最大值，由最大静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律求角速度。(3)分析此时物体受到的力，在水平方向上受摩擦力和弹簧的弹力，其合力提供向心力，设出弹簧的伸长量，列式即可求得弹簧的伸长量。当物体相对于接触物体刚要滑动时，静摩擦力达到最大，这是经常用到的临界条件。本题关键是正确分析物体的受力情况。同时要明确向心力是沿半径方向上的所有力的合力。9.【答案】解：(1)当B所需向心力FBFfmax时，细线上的张