一次函数与三角形面积.doc

1 一次函数相关的面积问题一次函数相关的面积问题 思路 画出草图 把要求的图形构建出来 根据面积公式 把直线与坐标轴的交点计算出来 把坐标转化 成线段 代入面积公式求解 规则图形 公式法 不规则图形 切割法 不含参数问题 含参数问题 用参数表示点坐标 转 化成线段 注意 坐标的正负 线段的非负性 求面积时 尽量使底或高中的一者确定下来 通过对图像的观察 确定底和高 然后根据面积公式 建 立等式 1 求直线 y 2x 4 y 2x 4 及 y 轴围成的三角形的面积 2 已知正比例函数 y 2x 与一次函数 y x 2 相交于点 P 则在 x 上是否存在一点 A 使 S POA 4 若存在 求出点有坐标 若不存在 请说明理由 3 如下图 一次函数的图像交正比例函数的图像于 M 点 交 x 轴于点 N 6 0 已知点 M 在第二象限 其横坐标为 4 若 S NOM 15 求正比例函数的解析式 N y M O x 4 如图 直线 1 l的解析表达式为 y 3x 3 且 1 l与x轴交于点D 直线 2 l经过点AB 直线 1 l 2 l交于点C 1 求点D的坐标 2 求直线 2 l的解析表达式 3 求ADC 的面积 4 在直线 2 l上存在异于点C的另一点P 使得 l1 l2 x y D O 3 B C A 3 2 4 0 图 11 2 ADP 与ADC 的面积相等 请直接写出点P的坐标 5 如图 直线 L 的解析表达式为 y x 2 且与x轴 y 轴交于点A B 在 y 轴上有一 2 1 点 C 0 4 动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动 1 求 A B 两点的坐标 2 COM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式 3 当何值时 COM AOB 并求出此时 M 点的坐标 O C M A x y B 一次函数 动态问题 一次函数 动态问题 举一反三 举一反三 如图 十二 直线 的解析式为 y x 4 它与轴 轴分别相交于两点 平行于直lxyAB 线 的直线从原点出发 沿轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动 它与轴 轴分别相交lmOxxy 于两点 设运动时间为 秒 0 t 4 MN t 1 求两点的坐标 2 用含 的代数式表示的面积 AB tMON 1 S 3 以为对角线作矩形 记和重合部分的面积为 MNOMPNMPN OAB 2 S 当 2 t 4 时 试探究与 之间 2 St 的函数 关系式 在直线的运动过程中 当 为mt何值时 为面积的 2 SOAB 5 16 OMA P N y l m x B OMA P N y l m x B E P F 图十二 3 答案 解 1 当x 0时 y 4 当 y 0 时 x 4 4 0 0 4AB 2 1 OMOA MNAB ONOB 2 1 11 22 OMONtSOM ONt 3 当时 易知点在的外面 则点的坐标为 24t POAB P tt 点的坐标满足即 同理 则 所以F 4 xt yt 4 F tt 4 Ett 24PFPEttt 4 2MPNPEFOMNPEF SSSSS 222 11113 242488 22222 tPE PFttttt 当时 解得两个都不合题意 02t 22 2 11515 4 4 221622 Stt 12 5052tt 舍去 当时 解得 24t 2 2 35 88 22 Stt 34 7 3 3 tt 综上得 当或时 为的面积的 7 3 t 3t 2 SOAB 5 16 模仿操练 模仿操练 如图 直线与两坐标轴分别相交于 A B 点 点 M 是线段 AB 上任意一点 A B4 xy 两点除外 过 M 分别作 MC OA 于点 C MD OB 于 D 1 当点 M 在 AB 上运动时 你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化 并说明理由 2 当点 M 运动到什么位置时 四边形 OCMD 的面积有最大值 最大值是多少 3 当四边形 OCMD 为正方形时 将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动 设平移的距离为 正方形 OCMD 与 AOB 重叠部分的面积为 S 试求 S 与的函数关系式并画出该函数的 40 aa a 图象 6 在中 现有两个动点ABC 4 5 DBCCD3cm CRtACcm BCcm 点在上 且以 P Q 分别从点 A 和点 B 同时出发 其中点 P 以 1cm s 的速度 沿 AC 向终点 C 移动 点 Q 以 1 25cm s 的速度沿 BC 向终点 C 移动 过点 P 作 PE BC 交 AD 于点 E 连结 EQ 设动点运动时间为 x 秒 4 E DB C A Q P 1 用含 x 的代数式表示 AE DE 的长度 2 当点 Q 在 BD 不包括点 B D 上移动时 设的面积为 求与的函数关系式 EDQ 2 y cmyx 并写出自变量的取值范围 x 3 当为何值时 为直角三角形 xEDQ 7 如图 1 在平面直角坐标系中 已知点 点在正半轴上 且 动点在 0 4 3 A Bx30ABO P 线段上从点向点以每秒个单位的速度运动 设运动时间为 秒 在轴上取两点作等ABAB3txMN 边 PMN 1 求直线的解析式 AB 2 求等边的边长 用 的代数式表示 并求出当等边的顶点运动到与原点重PMN tPMN MO 合时 的值 t 3 如果取的中点 以为边在内部作如图 2 所示的矩形 点在线段OBDODRtAOB ODCEC 上 设等边和矩形重叠部分的面积为 请求出当秒时与 的函数关系ABPMN ODCES02t St 式 并求出的最大值 S 图 1 y AP MONBx 图 2 y A C ODB x E 5 8 两块完全相同的直角三角板 ABC 和 DEF 如图 1 所示放置 点 C F 重合 且 BC DF 在一条直线上 其中 AC DF 4 BC EF 3 固定 Rt ABC 不动 让 Rt DEF 沿 CB 向左平移 直到点 F 和点 B 重合 为止 设 FC x 两个三角形重叠阴影部分的面积为 y 1 如图 2 求当 x 时 y 的值是多少 2 1 2 如图 3 当点 E 移动到 AB 上时 求 x y 的值 3 求 y 与 x 之间的函数关系式 9 重庆课改卷 如图 1 所示 一张三角形纸片 ABC ACB 90 AC 8 BC 6 沿斜边 AB 的中线 CD 把 这张纸片剪成和两个三角形 如图 2 所示 将纸片沿直线 AB 方向 11 AC D 22 BC D 11 AC D 2 D B 平移 点始终在同一直线上 当点于点 B 重合时 停止平移 在平移过程中 与 12 A D D B 1 D 11 C D 交于点 E 与分别交于点 F P 2 BC 1 AC 222 C DBC 6 A CQB P 1 当平移到如图 3 所示的位置时 猜想图中的与的数量关系 并证明你的猜想 11 AC D 1 D E 2 D F 2 设平移距离为 与重叠部分面积为 请写出与的函数关系式 以及 21 D Dx 11 AC D 22 BC D yyx 自变量的取值范围 3 对于 2 中的结论是否存在这样的的值 使得重叠部分的面积等于原面积的 若不存xABC 1 4 在 请说明理由 10 已知 如图 ABC 是边长 3cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分别沿 AB BC 方向匀速移 动 它们的速度都是 1cm s 当点 P 到达点 B 时 P Q 两 点停止运动 设点 P 的运动时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PBQ 是直角三角形 2 设四边形 APQC 的面积为 y cm2 求 y 与 t 的 关系式 是否存在某一时刻 t 使四边形 APQC 的面积是 ABC 面积的三分之二 如果存在 求出相应 的 t 值 不存在 说明理由 C BDA 图 1 P E F AD1B C1 D2 C2 图 3 C2 D2 C1 BD1A 图 2 7 三角形面积与函数解析式的几种题型 一 利用面积求解析式一 利用面积求解析式 1 直线与坐标轴围成的三角形的面积是 9 则 bxy 2b 分类讨论 2 已知直线 y x 3 的图象与 x 轴 y 轴分别交于 A B 两点 直线经过原点 与线段 AB 交于点 C 把 AOB 的面积分为 2 l 两部分 求直线名的解析式 3 如图 已知直线 PA 与轴交于 A 与轴交于 Q 另一条直线 0 nnxyxy 轴交于 B 与直线 PA 交于 Pxnmmxy与 2 求 1 A B Q P 四点的坐标 用或表示 mn 2 若 AB 2 且S四边形PQOB 求两个函数的解析式 6 5 4 已知直线与轴 轴分别交于点和点 另一条直线2 xyxyAB 经过点 且把分成两部分bkxy 0 k 0 1 CAOB 1 若被分成的两部分面积相等 则和的值AOB kb 2 若被分成的两部分面积比为 1 5 则和的值AOB kb 8 5 已知一次函数的图象与 y 轴 x 轴分别交于点 A B 直线经过 OA 上的三分 3 3 2 yx ykxb 之一点 D 且交 x 轴的负半轴于点 C 如果 求直线的解析式 AOBDOC SS ykxb 二 利用解析式求面积二 利用解析式求面积 1 直线过点 A 1 5 和点且平行于直线 O 为坐标原点 求的bkxy 5 mBxy AOB 面积 2 如图 所示 一次函数的图像经过 两点 与轴交于bkxy ABxC 求 1 一次函数的解析式 2 的面积AOC 3 已知 直线与直线 它们的交点 C 的坐标是 设两直线与轴分别交于42 xy3 xyx A B 则 S ABC 设两直线与轴交于 P Q 则 S PCQ y 4 一次函数与正比例函数的图象都经过 2 1 则这两个函数的图象与轴围成4 11 xkyxky 22 x 的三角形面积是 9 5 已知 直线 y 2x 3 与直线 y 2x 1 1 求两直线交点 C 的坐标 2 求 ABC 的面积 3 在直线 BC 上能否找到点 P 使得S APC 6 若能 请求出点 P 的坐标 若不能请说明理由 6 如图 直线 y x 4 与 y 轴交于点 A 与直线 y x 交于点 B 且直线 y x 与 x 轴交于 3 4 5 4 5 4 5 4 5 4 点 C 求 ABC 的面积 B A CO 7 已知直线 ykxb 经过点A 0 6 且平行于直线 2yx 1 求该函数的解析式 并画出它的图象 2 如果这条直线经过点P m 2 求m的值 3 若O为坐标原点 求直线OP解析式 4 求直线 ykxb 和直线 OP 与坐标轴所围成的图形的面积 3 关于面积的函数关系关于面积的函数关系 1 已知点 A x y 在第一象限内 且 x y 10 点 B 4 0 OAB 的面积为 S 1 求 S 与 x 的函数关系式 直接写出 x 的取值范围 并画出函数的图像 2 OAB 的面积为 6 时 求 A 点的坐标 10 A F E o y x 2 如图 直线与 x 轴 y 轴分别交于点 E F 点 E 的坐标为 8 0 点 A 的坐标为 6ykx 6 0 1 求的值 k 2 若点 P 是第二象限内的直线上的一个动点 在点 P 的运动过程中 试写出 OPA 的面积xy S 与 x 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 3 探究 当点 P 运动到什么位置时 OPA 的面积为 并说明理由 27 8 4 如图 1 在矩形 ABCD 中 AB 10cm BC 8cm 点 P 从 A 出发 沿 A B C D 路线运动 到 D 停止 点 Q 从 D 出发 沿 D C B A 路线运动 到 A 停止 若点 P 点 Q 同时 出发 点 P 的速度为 1cm s 点 Q 的速度为 2cm s as 时点 P 点 Q 同时改变速度 点 P 的速度变为 bcm s 点 Q 的速度变为 dcm s 图 2 是点 P 出发 x 秒后 APD 的面积 S1 cm2 与 x s 的函数关系图象 图 3 是 点 Q 出发 x 秒后 AQD 的面积 S2 cm2 与 x s 的函数关系图象 1 参照图 2 求 a b 及图 2 中 c 的值 2 求 d 的值 3 设点 P 离开点 A 的路程为 y1 cm 点 Q 到 A 还需走的路程为 y2 cm 请分别写出动点 P Q 改变速度 后 y1 y2与出发后的运动时间 x s 的函数关系式 并求出 P Q 相遇时 x 的值 4 当点 Q 出发 s 时 点 P 点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm 1 P Q C BA D x 秒 2 20 8 40 c a O S1 cm2 x 秒 3 22 40 O S2 cm2 8 如图 直线l1过A 0 2 B 2 0 两点 直线l2 ymxb 过点 1 0 且把 AOB 分成两 部分 其中靠近原点的那部分是一个三角形 设此三角形的面积为S 求