实验指导书3误差.doc

实验指导书3误差 实验指导书_误差 一、误差的在运用计算方法解决实际问题的过程中，会出现各种各样的误差，必须注重误差分析.否则，一种合理的计算也可能得出错误的结果.afhafaf)(?求f(例1用差商h)()(xxln)?在3?x处导数的近似值. （1）取 （2）取1.01.0?hh和，11000000.0.0?hh，用手工计算，取五位数字计算；，h=0.000000000000001和h=0.0000000000000001分别用MATLAB软件计算，取十五位数字计算； （3）比较以上的运算结果，说明是否h越小则计算结果越准确.解根据导数定义，可以用差商求?hhh越小则计算结果越准确.如果用手工计算，取五位数字计算.1.0?h时，得?1.01?xxfln)(3?在3?x处导数的近似值?fhff)3()3()3(hln)3ln(?.从理论上讲，当?61.09841.131)3(f0.3280，与导数的精确值?)3(f?3333.03比较，这项计算还是可取的.但是当1000.0?h时，得1.09801000.061.0986)3(?f，算出的结果反而毫无价值.如果应用MATLAB软件计算，取十五位数字计算，结果就完全不同了.在MATLAB工作窗口输入下面程序format longg;a=3;h=0.1;y=log(a+h)-log(a);yx=y/h运行后得yx=0.32789822822991将此程序中h改为0.0001，运行后得yx=0.33332777790385后者比前者好.再取h=0.000000000000001，运行后得yx=0.44408920985006不如前者好.取h=0.0000000000000001，运行后得yx=0算出的结果反而毫无价值.例2计算e的近似值.解泰勒级数xxe?!4!3!21432nxxxnx)(?x,取1?x，得e?!1!41!31!2111n.（1.1）这是一个无限过程，计算机无法求到精确值.只能在（1.1）取有限项时计算，再估计误差.如果取有限项1432?作为e的值必然会有误差，根据泰勒余项定理可知其截断误差为eesn?如果取（1.1）的前九项，输入程序n=8;s=1;S=1;for k=1:n s=s*k;S=S+1/s,end s,S,R=3/(s*(n+1)或S1=1+1+1/2+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+1/(1*2*3*4*5)+1/(1*2*3*4*5*6)+1/(1*2*3*4*5*6*7)+1/(1*2*3*4*5*6*7*8),R1=3/(1*2*3*4*5*6*7*8*9)运行后结果S=R=2.718278769841278.267195767195768e-006因为截断误差为3 (1)8.26719610 (81)!9!?11 (1)112!3!)(nsn111111? (1) (1)!n?)10(?.-68 (01),ees?所以e的近似值8111114!5!6!7!8!es?2.71828. 二、误差和有效数字例1取解在MATLAB工作窗口输入程序jueduwucha=exp (1)-2.71828282.718作为e的四舍五入近似值时，求其绝对误差.运行后输出结果为jueduwucha=1.828459045505326e-006?2sinxsin例2计算?0xdx的近似值，并确定其绝对误差和相对误差.解因为被积函数xx的原函数不是初等函数，故用泰勒级数求之.?!sinxxxxxx421)(?x,（1.1）这是一个无限过程，xxx?计算机无法求到精确值.可用（1.1）的前四项xsin，得!?421代替被积函数x?2?0sinxxyd?20(?x!142xxx?)dx=!7)2?(!5)2?(!3)2?(2753?=y?.根据泰勒余项定理和交错级数收敛性的判别定理，得到绝对误差?=WU，!99)2(?y9?yR在MATLAB命令窗口输入计算程序如下syms xf=1-x2/(1*2*3)+x4/(1*2*3*4*5)-x6/(1*2*3*4*5*6*7)y=int(f,x,0,pi/2),y1=double(y)y11=pi/2-(pi/2)3/(3*3*2)+(pi/2)5/(5*5*4*3*2)-(pi/2)7/(7*7*6*5*4*3*2)infd=double(inf),inf=int(sin(x)/x,x,0,pi/2)WU=(pi/2)9/(9*9*8*7*6*5*4*3*2),R=infd-y11因为运行后输出结果为?y1.37076216815449，?R1.75039651049147e-005，WU=1.782679830970664e-005?2sinx10?yy?=1.37074466418938，10?4.所以，y?的绝对误差为?410?，故?0xyd71.370?x.y?的相对误差为?r?71.3704?x=(715)*(sqrt(1+8(-19)-1)运行后输出结果x=0问题出现在两个相近的数sqrt(1+8(-19)-1运行后输出结果ans=0由于计算机硬件只支持有限位机器数的运算，因此在计算中可能引入和传播舍入误差.因为有效数字的严重损失，导致输出157继续进行真实的计算，所以，最后输出的结果与x的精确值不符. （2）如果化为87)181(719?再用MATLAB命令x=(715)*(8(-19)/(sqrt(1+8(-19)+1)运行后输出结果x=1.6471e-00519?1981?与1相减时，计算机运行程序18119?的结果为0，计算机不能再与x，这是因为18119?化为181819?后，计算机运行程序x=(8(-19)/(sqrt(1+8(-19)+1)运行后的结果为x=3.4694e-018由于有效数字的损失甚少，所以运算的结果后输出的结果与x的精确值相差无几.-18103.4694?再与157继续计算，最例2求数解 （1）直接用MATLAB程序x=30;x1=sqrt(x2-1)运行后输出结果x1=29.9833输入MATLAB程序x=30;x1=29.9833;y=log(x-x1)运行后输出结果y=-4.0923)13030ln(2?y的近似值. （2）因为)13030ln(2?1?中的30?x很大，如果采用倒数变换法11221?xxxxz，即130301ln)1?3030ln(22?)190030ln(?.输入MATLAB程序x=30;y=-log(x+sqrt(x2-1)运行后输出结果y=-4.0941 （3）输入MATLAB程序x=30;y=log(