随机变量及其分布和随机变量的数字特征.ppt

第三节随机变量及其分布和随机变量的数字特征 概念 随机变量 概率分布 分布函数 离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度概念 数学期望 均值 方差 相关系数 矩 在概率的研究中为什么需要引入随机变量 为了便于数学推理和计算 有必要将随机试验的结果数量化 使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验 研究和分析其结果的规律性 因此 随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具 引入随机变量后 随机试验中的任一随机事件就可以通过随机变量的取值关系式表达出来 对随机现象统计规律的研究 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究 事件及事件概率 随机变量及其取值规律 如何引入随机变量的概念 一般地 如果A为某个随机事件 则可以通过如下函数使它与数值发生联系 如果A发生如果A不发生这些例子中 试验的结果能用一个数x来表示 这个数x是随着试验的结果的不同而变化的 也即它是样本点的一个函数 这种量就称为随机变量 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数 x X 定义2 1对于随机试验E的每一个可能结果 都有唯一的一个实数值X 相对应 称X 为随机变量 简记为X 随机变量 RandomVariable 的概念 在试验之前只知道x可能取值的范围 而不能预先肯定它将取哪个值 它的取值与试验结果形成对应 1 随机变量X是定义在样本空间上的实值函数 2 由于试验结果的出现具有一定的概率 X的取值情况 它取值的概率的分布情况 随着实验结果的不同而取不同的值 所以随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率 随机变量的取值既具有可变性 也有随机性 这种双重性正是随机变量与普通变量 函数 的本质区别 随机变量通常用大写字母X Y Z W N 或希腊字母 等表示 我们将研究两类随机变量 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的分类 例 观察投掷一个骰子出现的点数 随机变量X的可能值是 1 2 3 4 5 6 例 随机变量X为 灯泡的寿命 则X的取值范围为 其中 k 1 2 满足 2 定义2 3设xk k 1 2 是离散型随机变量X所取的一切可能值 称 为离散型随机变量X的概率分布 或称为分布列 定义2 2 某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可数多个 这种随机变量称为离散型随机变量 离散型随机变量表示方法 1 公式法 2 列表法 PPPP 我们研究的对象是的概率 如何入手将概率问题转化为实变量的函数形式 X x X x X x x1 X x2 我们研究的对象是随机事件的概率 随机变量的取值或取值范围 由此引进了分布函数的概念 能否选用一个事件将所有事件都表达出来 X x A X x X P P P 离散型随机变量的分布函数 定义2 4 分布函数的性质 3 F x 是一个右连续函数 即 证明 重要公式 解 例 1 求X的分布函数F x 并画出它的图形 2 求概率 离散型 1 的分布函数图 2 设离散型X的分布律是 P X xk pk k 1 2 3 F x P Xx 即F x 是X取的诸值xk的概率之和 一般地 则其分布函数 常见一维离散型随机变量的概率分布 1 n重伯努利 Bernoulli 试验 二项分布 2 泊松分布 伯努利试验 设试验E只有两个可能结果 A及 则称E为伯努利 Bernoulli 试验 设P A p 0 p 1 此时P 1 p 将E独立地重复地进行n次 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 这里 重复 是指在每次试验中P A p保持不变 独立是指各次试验的结果互不影响 即若以Ci记第i次试验的结果 Ci为A或 i 1 2 n 独立 是指P C1C2 Cn P C1 P C2 P Cn n重伯努利试验是一种很重要的数学模型 它有广泛的应用 是研究最多的模型之一 n重伯努利试验 考虑n重伯努里试验中 事件A恰出现k次的概率 以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数 X是一个随机变量 我们来求它的分布律 X所有可能取的值为0 1 2 n 由于各次试验是相互独立的 故在n次试验中 事件A发生k次的概率为 伯努利试验与二项分布 伯努利试验与二项分布 从图中可以看出 对于固定的n及p 当k增加时 b k n p 也随之增加并达到某极大值 以后又下降 此外 当概率p越与1 2接近时 分布越接近对称 例 某人进行射击 设每次射击的命中率为0 02 独立射击400次 试求至少击中两次的概率 解 将一次射击看成是一次试验 设击中的次数为X 则X b 400 0 02 X的分布律为 泊松分布 设随机变量X所有可能取值为0 1 2 而取各个值的概率为其中 0是常数 则称X服从参数为 的泊松分布 记为X 丌 易知 P X k 0 k 0 1 2 且有 关于泊松分布 历史上泊松分布是作为二项分布的近似 于1837年由法国数学家普阿松引入的 近数十年来 泊松分布日益显示其重要性 成了概率论中最重要的几个分布之一 在实际应用中许多随机现象服从普阿松分布 这种情况特别集中在两个领域中 一是社会生活 对服务的各种要求 诸如电话交换台中来到的呼叫数 公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从普阿松分布 因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有很突出的地位 另一领域是物理学 放射性分裂落到某区域的质点数 热电子的发射 显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从普阿松分布 地震 火山爆发 特大洪水 电话呼唤次数 交通事故次数 商场接待的顾客数 二项分布的普阿松 poisson 逼近 在很多应用问题中 我们常常遇到这样的贝努利试验 其中 相对地说 n大 p小 而乘积 np大小适中 在这种情况下 有一个便于使用的近似公式 定理 普阿松 在贝努利试验中 以pn代表事件A在试验中出现的概率 它与试验总数n有关 如果npn 则当n 时 当p相当小 一般当p 0 1 时 我们用下面近似公式 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间 对这种类型的随机变量 不能象离散型随机变量那样 以指定它取每个值概率的方式 去给出其概率分布 而是通过给出所谓 概率密度函数 的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法 则称X为连续型随机变量 称f x 为X的概率密度函数 简称为概率密度 连续型随机变量及其概率密度的定义 有 函数图像 概率密度函数的性质 由分布函数的性质可知 概率密度函数具有以下性质 1 f x 0 函数曲线位于x轴上方 反之 对于定义在 上的可积函数f x 若它满足性质1和性质2 则由它定义的F x 是一个分布函数 即它满足分布函数所必须具备的三个性质 故X的密度f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间 x x x 上的概率与区间长度 x之比的极限 若x是f x 的连续点 则 对f x 的进一步理解 1 连续型随机变量取任一指定实数值a的概率均为0 即 这是因为 注意 当时 得到 例 设X的概率密度为 1 求常数C 2 求概率P X2 解 常见的一维连续型随机变量 均匀分布 指数分布 正态分布 相应的分布函数为 均匀分布 设连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间 a b 上服从均匀分布 记为X U a b 分布函数 均匀分布的密度函数与分布函数 指数分布 设连续型随机变量X的概率密度为其中 0为常数 则称X服从参数为 的指数分布 相应的分布函数为 分布函数 正态分布 设连续型随机变量X的概率密度为其中 0 为常数 则称X服从参数为 的正态分布分布 记为X N 2 相应的分布函数为 分布函数 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布的密度函数图形特点 正态分布的分布函数图形 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如测量误差 人的生理特征尺寸如身高 体重 智商等 正常情况下生产的产品尺寸 直径 长度 重量 高度等都近似服从正态分布 正态分布的应用与背景 标准正态分布 当 0 1时称X服从标准正态分布 记为X N 0 1 其概率密度和分布函数分别用 x x 表示 即有 显然 x 1 x 例将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内 调节器定在d 液体的温度X 以 计 是一个随机变量 且X N d 0 52 1 若d 90 求X 89的概率 2 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0 99 问d至少为多少 思考 设X N 2 由 x 的函数表得到 P X 1 1 2 1 1 68 26 P 2 X 2 2 2 2 2 1 95 44 P 3 X 3 3 3 2 3 1 99 74 可见 服从正态分布的随机变量虽然取值在 但其值落在 3 3 内几乎是可以肯定的 置信度高达0 997 51 在一些实际问题中 随机变量的分布函数很难确定 但它的数字特征却相对比较容易计算出来 所谓随机变量的数字特征 就是刻划随机变量的某种特征 如平均值 偏差程度 的量 它虽然不一定能完整地描述随机变量 但在理论和实践上都具有重要意义 随机变量的数字特征 数学期望 方差 原点矩和中心矩 协方差 相关系数 相关矩阵 1 数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 若级数绝对收敛 则称级数为随机变量X的数学期望 简称为期望或均值 数学期望的计算 已知随机变量X的分布律 例 求数学期望E X 解 定义设连续型随机变量X的分布密度为 若积分绝对收敛 则称此积分值为X的数学期望 记作 即 数学期望的意义 试验次数较大时 X的观测值的算术平均值在E X 附近摆动 数学期望又可以称为期望值 ExpectedValue 均值 Mean E X 反映了随机变量X取值的 概率平均 是X的可能值以其相应概率的加权平均 随机变量函数的数学期望 定理设是随机变量X的函数 1 若X为离散型随机变量 其分布律为 当级数绝对收敛时 则有 数学期望的性质 2 方差 均值反映了随机变量取值集中在哪一个值的周围 是随机变量的位置特征值 但在许多实际问题中 单凭随机变量的均值来刻画其取值的统计规律性是不够的 还必须知道随机变量的取值在其均值周围的分散程度 为此 我们引入随机变量的另一个重要的数字特征 方差 定义 设X是一个随机变量 称为标准差 由方差的定义可知 如X是离散型随机变量 其概率分布律为 如X是连续型随机变量 其密度函数为f x 方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量 如果D X 值大 表示X取值分散程度大 E X 的代表性差 而如果D X 值小 则表示X的取值比较集中 以E X 作为随机变量的代表性好 方差的意义 数学期望反映了X取值的中心 方差反映了X取值的离散程度 1 设C是常数 则有 2 设X是一个随机变量 C是常数 则有 方差的性质 3 设X为随机变量 C为常数 则 设X 求E X Var X 解 1 E X 1 2 E X2 7 6 所以 Var X E X2 E X 2 7 6 1 1 6 例 分布 参数 数学期望 方差 几种常见分布的期望和方差 定义设X与Y是两个随机变量 称E Xk 为X的k阶原点矩 称E X E X k 为X的k阶中心矩 称E XkYl 为X与Y的k l阶混合原点矩 称E X E X k Y E Y l 为X与Y的k l阶混合中心矩 3 矩 4 协方差及相关系数 两个随机变量除了相互独立之外 还存在不相互独立的情况 即它们之间存在一定的相关关系 但怎样刻划它们之间相关程度呢 从前面的讨论可见 若X与Y独立 则 这意味着 如 则X与Y不相互独立 而存在一定的相关关系 为此 我们有 定义 称为随机变量