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中值定理证明题1. 设在0，2a上连续，证明在0,a上存在使得 .【分析】在0,2a上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到【证明】令，在0,a上连续，且当时，取，即有；当时，由根的存在性定理知存在使得，即2. 试问如下推论过程是否正确。对函数在上应用拉格朗日中值定理得： 即： 因，故当时，由 得：，即 解：我们已经知道，不存在，故以上推理过程错误。 首先应注意：上面应用拉格朗日中值的是个中值点，是由和区间的端点而定的，具体地说，与有关系，是依赖于的，当时，不一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使成立，而中要求是连续地趋于零。故由推不出3.设在上可微，且试证明在内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明：，由极限的保号性知，（不妨设），对于，均有，特别地，使得，得；同理，由得（），使得，从而得；又在上连续，由介值定理知，至少有一点使得；在、上连续，在、内可导，且，由罗尔中值定理知，至少有一点、，使得，结论成立。4.设函数在的某个邻域内具有阶导数，且试用柯西中值定理证明：。知识点：柯西中值定理。思路：对、在上连续使用次柯西中值定理便可得结论。证明：、及其各阶导数在上连续，在上可
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