同济大学线代(第六版)新.ppt

线性代数LinearAlgebra 主讲 黄月梅 一 研究对象线性代数是代数学的一个分支 主要处理线性关系问题 即线性空间 线性变换和有限维的线性方程组 线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的 例如 在解析几何里 平面上直线的方程是二元一次方程 空间平面的方程是三元一次方程 而空间直线视为两个平面相交 由两个三元一次方程所组成的方程组来表示 含有n个未知量的一次方程称为线性方程 关于变量是一次的函数称为线性函数 线性关系问题简称线性问题 解线性方程组的问题是最简单的线性问题 基础介绍 二 历史与发展线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成 而它的历史却非常久远 鸡兔同笼 问题就是一个简单的线性方程组求解的问题 最古老的线性问题是线性方程组的解法 在中国古代东汉年初成书的数学著作 九章算术 方程 章中 已经作了比较完整的叙述 其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换 消去未知量的方法 由于法国数学家费马 1601 1665 和笛卡儿 1596 1650 的工作 现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪 直到十八世纪末 线性代数的领域还只限于平面与空间 十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入 在18 19世纪期间先后产生行列式和矩阵的概念 为处理线性问题提供了有力的工具 从而推动了线性代数的发展 17世纪 德国数学家 莱布尼兹 历史上最早使用行列式概念 1750年 瑞士数学家 克莱姆 克莱姆法则 用行列式解线性方程组的重要方法 1772年 法国数学家 范德蒙 对行列式做出连贯的逻辑阐述 行列式的理论脱离开线性方程组 三 有重要贡献的数学家 英国数学家 西勒维斯特 1814 1897 首次提出矩阵的概念 矩型阵式 英国数学家 凯莱 1821 1895 矩阵论的创立 德国数学家 高斯 1777 1855 提出行列式的某些思想和方法 1841年 法国数学家 柯西 首先创立了现代的行列式概念和符号 向量概念的引入 形成了向量空间的概念 凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论 因此 向量空间及其线性变换 以及与此相联的矩阵理论 构成了线性代数的中心内容 在十九世纪下半叶 因若当的工作而达到了它的顶点 1888年 意大利数学家皮亚诺 1858 1932 以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间 托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体 domain 上的最一般的向量空间中 代数 这个词在中文中出现较晚 在清代时才传入中国 当时被人们译成 阿尔热巴拉 直到1859年 清代著名的数学家 翻译家李善兰 1811 1882 才将它翻译成为 代数学 之后一直沿用 学术地位及应用线性代数在数学 物理学和技术学科中有各种重要应用 因而它在各种代数分支中占居首要地位 在计算机广泛应用的今天 计算机图形学 计算机辅助设计 密码学 虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分 线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系 从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证 巧妙的归纳综合等 对于强化人们的数学训练 增益科学智能是非常有用的 随着科学的发展 我们不仅要研究单个变量之间的关系 还要进一步研究多个变量之间的关系 各种实际问题在大多数情况下可以线性化 而由于计算机的发展 线性化了的问题又可以计算出来 线性代数正是解决这些问题的有力工具 线性代数的含义随数学的发展而不断扩大 线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支 同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识 以直代曲 是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想 很多实际问题的处理 通常把非线性模型近似为线性模型 最后往往归结为线性问题 它比较容易处理 因此 线性代数在工程技术 科学研究以及经济 管理等许多领域都有着广泛的应用 是一门基本的和重要的学科 线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容 线性 linear 指量与量之间按比例 成直线的关系 在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数 非线性 non linear 则指不按比例 不成直线的关系 一阶导数不为常数 什么是线性关系 线性代数 研究对象 线性空间 线性变换和有限维的线性方程组 研究工具 行列式 矩阵与向量 线性代数 第六版 第一章行列式 第二章矩阵及其运算 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第四章向量组的线性相关性 第五章相似矩阵及二次型 第六章线性空间与线性变换 选学 在以往的学习中 我们接触过二元 三元等简单的线性方程组 但是 从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量 并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等 我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形 在讨论这一类线性方程组时 我们引入行列式这个计算工具 行列式是线性代数的一种工具 学习行列式主要就是要能计算行列式的值 第一章行列式 Determinant 内容提要 1二阶与三阶行列式 2全排列与对换 3n阶行列式的定义 4行列式的性质 5行列式按行 列 展开 行列式的概念 行列式的性质及计算 1二阶与三阶行列式 Determinentofordertwoorthree 我们从最简单的二元线性方程组出发 探求其求解公式 并设法化简此公式 一 二元线性方程组与二阶行列式 二元线性方程组 由消元法 得 当时 该方程组有唯一解 1 二阶行列式的定义 求解公式为 二元线性方程组 请观察 此公式有何特点 分母相同 由方程组的四个系数确定 分子 分母都是四个数分成两对相乘再相减而得 二元线性方程组 我们引进新的符号来表示 四个数分成两对相乘再相减 记号 数表 定义1表达式称为由该数表所确定的二阶行列式 determinantofordertwo 即 其中 称为元素 element i为行标 表明元素位于第i行 j为列标 表明元素位于第j列 原则 横行竖列 2 二阶行列式的计算 主对角线 副对角线 即 主对角线上两元素之积 副对角线上两元素之积 对角线法则 根据定义x1 x2的分子也可以写成行列式形式如下 二元线性方程组 若令 方程组的系数行列式 则上述二元线性方程组的解可表示为 例1 求解二元线性方程组 解 因为 所以 二 三阶行列式 1 定义设有9个数排成3行3列的数表 原则 横行竖列 引进记号 称为三阶行列式 主对角线 副对角线 二阶行列式的对角线法则并不适用 2 三阶行列式的计算 对角线法则 三角形法则 注意 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 实线上的三个元素的乘积冠正号 虚线上的三个元素的乘积冠负号 三角形法 例2计算行列式 解 按对角线法则 有 解 例3计算三阶行列式 方程左端 解 由得 例4求解方程 例5求解方程组 解 令 课堂练习 计算下列行列式 小结 一 二阶 三阶行列式的概念 二 二阶 三阶行列式的计算方法 1 二阶行列式 对角线法则 三角形法则 2 三阶行列式 对角线法则 三角形法则 注意 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 实线上的三个元素的乘积冠正号 虚线上的三个元素的乘积冠负号 三角形法 作业 P21 1 1 4 2 2 6 2全排列与对换 PermutationandTransposition 引例 用1 2 3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解 123 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法 共有 所求六个三位数为123 132 213 231 312 321 问题把n个不同的元素排成一列 共有多少种不同的排法 定义1把n个不同的元素排成一列 叫做这n个元素的全排列 allpermutation n个不同元素的所有排列的种数 通常用Pn表示 显然 即n个不同的元素一共有n 种不同的排法 所有6种不同的排法中 只有一种排法 123 中的数字是按从小到大的自然顺序排列的 而其他排列中都有大的数排在小的数之前 因此大部分的排列都不是 顺序 而是 逆序 3个不同的元素一共有3 6种不同的排法 123 132 213 231 312 321 对于n个不同的元素 可规定各元素之间的标准次序 n个不同的自然数 规定从小到大为标准次序 定义2一个排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时 就称这两个元素组成一个逆序 inversesequence 例如在排列32514中 32514 思考题 还能找到其它逆序吗 答 2和1 3和1也构成逆序 定义3排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 inversenumber 排列的逆序数通常记为 奇排列 逆序数为奇数的排列 偶排列 逆序数为偶数的排列 思考题 符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列 答 符合标准次序的排列 例如 123 的逆序数等于零 因而是偶排列 计算排列的逆序数的方法 则此排列的逆序数为 设是1 2 n这n个自然数的任一排列 并规定由小到大为标准次序 先看有多少个比大的数排在前面 记为 再看有多少个比大的数排在前面 记为 最后看有多少个比大的数排在前面 记为 例1 求排列32514的逆序数 解 例2 求下列排列的逆序数 并说明奇偶性 解 2 1 453162 解 奇排列 偶排列 练习 讨论1 2 3所有全排列的奇偶性 解 t 132 1 123 132 213 231 312 321 t 123 0 t 213 1 t 231 2 t 312 2 t 321 3 故 123 231 312为偶排列 132 213 321为奇排列 定义3在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 这种作出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 例如 二 对换 2 对换与排列奇偶性的关系 定理1对换改变排列的奇偶性 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数 例如312为偶排列 321为奇排列 213为奇排列 定理2n个元素的所有全排列中奇排列与偶排列数各占一半 即各有个 证 设n个元素的所有全排列中共有t个奇排列和s个偶排列 奇排列经一次对换都变成偶排列 例如1 2 3的所有排列中恰有3个偶排列和3个奇排列 于是t s 同理得s t 故s t 又因为s t n 所以s t 3n阶行列式的定义 一 概念的引入 规律 三阶行列式共有6项 即3 项 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积 每一项可以写成 正负号除外 其中是1 2 3的某个排列 当是偶排列时 对应的项取正号 当是奇排列时 对应的项取负号 所以 三阶行列式可以写成 其中表示对1 2 3的所有排列求和 二阶行列式有类似规律 下面将行列式推广到一般的情形 二 n阶行列式的定义 简记作 其中t t p1p2 pn 为行列式D的 i j 元 定义1设有个数排成n行n列的数表 和式 称为由上数表所确定的n阶行列式 n阶行列式共有n 项 每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积 每一项可以写成 正负号除外 其中是1 2 n的某个排列 当是偶排列时 对应的项取正号 当是奇排列时 对应的项取负号 思考题 成立吗 答 符号可以有两种理解 若理解成绝对值 则 若理解成一阶行列式 则 注意 当n 1时 一阶行列式 a a 注意不要与绝对值的记号相混淆 例如 一阶行列式 例1 写出四阶行列式中含有因子的项 解 一般项为 和 已知 根据行列式的定义 或 于是 或 故所求项为 例2 计算行列式 解 其中 1 对角行列式 2 三 特殊行列式 3 上三角形行列式 主对角线下侧元素都为0 4 下三角形行列式 主对角线上侧元素都为0 练习 例3 已知 求的系数 故的系数为 1 解 含的项有两项 即 对应于 4对换 一 对换的定义 定义 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 这种作出新排列的手续叫做对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 例如 二 对换与排列奇偶性的关系 定理1对换改变排列的奇偶性 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数 备注相邻对换是对换的特殊情形 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现 如果连续施行两次相同的对换 那么排列就还原了 二 对换与排列奇偶性的关系 定理1对换改变排列的奇偶性 证明 先考虑相邻对换的情形 注意到除外 其它元素的逆序数不改变 当时 当时 因此相邻对换改变排列的奇偶性 既然相邻对换改变排列的奇偶性 那么 因此 一个排列中的任意两个元素对换 排列的奇偶性改变 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数 由定理1知 对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 逆序数为零 因此可知推论成立 证明 因为数的乘法是可以交换的 所以n个元素相乘的次序是可以任意的 即 每作一次交换 元素的行标与列标所成的排列与都同时作一次对换 即与同时改变奇偶性 但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变 于是与同时为奇数或同时为偶数 即是偶数 因为对换改变排列的奇偶性 是奇数 也是奇数 设对换前行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 所以是偶数 因此 交换中任意两个元素的位置后 其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变 设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 经过一次对换是如此 经过多次对换还是如此 所以 在一系列对换之后 三项的符号也是相同的 即 定理2n阶行列式也可定义为 定理3n阶行列式也可定义为 四 行列式的等价定义 四个结论 1 对角行列式 2 3 上三角形行列式 主对角线下侧元素都为0 4 下三角形行列式 主对角线上侧元素都为0 练习 例3 已知 求的系数 故的系数为 1 解 含的项有两项 即 对应于 因为数的乘法是可以交换的 所以n个元素相乘的次序是可以任意的 即 每作一次交换 元素的行标与列标所成的排列与都同时作一次对换 即与同时改变奇偶性 但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变 于是与同时为奇数或同时为偶数 即是偶数 因为对换改变排列的奇偶性 是奇数 也是奇数 设对换前行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 所以是偶数 因此 交换中任意两个元素的位置后 其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变 设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 经过一次对换是如此 经过多次对换还是如此 所以 在一系列对换之后 三项的符号也是相同的 即 定理2n阶行列式也可定义为 定理3n阶行列式也可定义为 例4试判断和 是否都是六阶行列式中的项 所以是六阶行列式中的项 行标和列标的逆序数之和 所以不是六阶行列式中的项 例5用行列式的定义计算 解 例6 是五阶行列式的 一项 求 解 将已知项按行标的标准次序排列得 由此得 而 小结 一 排列与逆序数 对换 2 行列式的三种表示方法 二 n阶行列式 作业 P21 2 4 6 4行列式的性质 一 行列式的性质 则行列式称为行列式的转置行列式 若记 则 定义1记 注 行列式也是行列式的转置行列式 即 例1写出下列行列式的转置行列式 解 性质1行列式与它的转置行列式相等 证明 根据行列式的定义 有 若记 则 行列式中行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 性质2互换行列式的两行 列 行列式变号 验证 于是 推论如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 证明 互换相同的两行 有 所以 备注 交换第行 列 和第行 列 记作 性质3行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一个倍数 等于用数乘以此行列式 验证 我们以三阶行列式为例 记 根据三阶行列式的对角线法则 有 备注 第行 列 乘以 记作 D1 推论行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 备注 第行 列 提出公因子 记作 验证 我们以4阶行列式为例 性质4行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 性质5若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 即 验证 我们以三阶行列式为例 有错误 性质6把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 则 验证 我们以三阶行列式为例 记 备注 以数乘第行 列 加到第行 列 上 记作 证 由性质5和性质4 例1计算行列式 二 应用举例 解 计算行列式常用方法 利用行列式性质将给定行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 例2 计算行列式常用方法 利用运算把行列式化为上三角形行列式 从而算得行列式的值 解 练习P214 1 例3计算阶行列式 解 将第列都加到第一列得 例4设 证明 证明 对作运算 把化为下三角形行列式 设为 对作运算 把化为下三角形行列式 设为 对D的前k行作运算 再对后n列作运算 把D化为下三角形行列式 故 例5计算行列式 解 把D2n的第2n行依次与第2n 1行 第2行对调 作2n 2次相邻兑换 第2n列依次与第2n 1列 第2列对调 得 2 n 1 以此作递推公式 即得 例6计算行列式 行列式特点 第一行 列及对角线元素除外 其余元素全为0 常用方法 行列式第一列加其它各列一定倍数 化为三角形行列式 三线型 爪型 解 作 行列式的主要性质 性质2互换行列式的某两行 列 行列式的值变号 推论行列式中有两行 列 完全相同 则其值为零 性质3行列式中某一行 列 的公因子可提到行列式符号的前面 小结 推论1若行列式的某一行 列 中所有元素全为零 则此行列式的值为零 性质4若行列式的某两行 列 的对应元素成比例 则此行列式的值为零 性质5若行列式的某一行 列 中所有元素都是两个元素的和 则此行列式等于两个行列式的和 性质6行列式某一行 列 k倍加到另一行 列 上 行列式的值不变 作业 P214 2 6 5行列式按行 列 展开 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式 一 引言 结论三阶行列式可以用二阶行列式表示 思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示 定义在n阶行列式中 把元素所在的第行和第列划后 留下来的n 1阶行列式叫做元素的余子式 cofacter 记作 例如 把称为元素的代数余子式 注 1 行列式中每一个元素对应着一个余子式和代数余子式 2 一个元素的余子式和代数余子式只与该元素的位置有关 引理一个n阶行列式 如果其中第行所有元素除外都为零 那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积 即 例如 即有 又 从而 下面再讨论一般情形 分析 当位于第1行第1列时 我们以4阶行列式为例 思考题 能否以代替上述两次行变换 思考题 能否以代替上述两次行变换 答 不能 被调换到第1行 第1列 例1计算行列式 解 例2用按行 列 展开法计算下列行列式 二 行列式按行 列 展开法则 定理3行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 同理可得 证明用数学归纳法 例3证明范德蒙德 Vandermonde 行列式 所以n 2时 1 式成立 假设 1 对于n 1阶范德蒙行列式成立 从第n行开始 后行减去前行的倍 按照第1列展开 并提出每列的公因子 就有 n 1阶范德蒙德行列式 推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 分析我们以3阶行列式为例 把第1行的元素换成第2行的对应元素 则 定理3行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 综上所述 有 同理可得 例4设 的元的余子式和代数余子式依次记作和 求 分析利用 及 解 练习 P228 1 7 引理一个n阶行列式 如果其中第行所有元素除外都为零 那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积 即 一 余子式与代数余子式的定义与联系 二 按行 列 展开定理 小结 定理2行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 综上所述 有 同理可得 作业 P228 2 9 第一章习题课 1 全排列 把n个不同的元素排成一列 叫做这n个元素的全排列 或排列 n个不同的元素的所有排列的种数用Pn表示 且Pn n 2 逆序数 在一个排列 i1i2 is it in 中 若数is it 则称这两个数组成一个逆序 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 3 计算排列逆序数的方法 依次计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数并求和 即算出排列中每个元素的逆序数 则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 4 对换 定义 在排列中 将任意两个元素对调 其余元素不动 这种作出新排列的过程叫做对换 将相邻两个元素对调 叫做相邻对换 定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 5 n阶行列式的定义 或 6 n阶行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等 即DT D 性质2 互换行列式的两行 列 行列式变号 推论 如果行列式有两行 列 完全相同 则此行列式为零 性质3 行列式的某一行 列 中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 推论 行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 性质4 行列式中如果有两行 列 元素成比例 则此行列式为零 性质5 若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 则该行列式等于两个行列式之和 性质6 把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 7 行列式按行 列 展开 在n阶行列式D中 把元素aij所在的第i行和第j列元素划去后 留下来的n 1阶行列式叫做 行列式D的关于 元素aij的余子式 记作Mij 称Aij 1 i jMij为元素aij的代数余子式 典型例题 例1 计算行列式 解 例2 计算 解 Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂 方幂的次数自左至右按递升次序排列 但不是从0到n 1 而是从1递升至n 若提出各行的公因子 则方幂的次数便是从0升到n 1 于是得 上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式的转置 由范德蒙行列式知 评注 本题所给行列式各行 列 都是某元素的不同方幂 而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同 需要利用行列式的性质 如提取公因子 调换各行 列 的次序等 将此行列式化成范德蒙行列式 例3 计算 解 将第2 3 n 1列都加到第1列 得 提取第一列的公因子 得 cj 1 aj c1 j 2 3 n 1 得 评注 本题利用行列式的性质 采用 化零 的方法 逐步将所给行列式化为三角形行列式 化零时一般尽量选含有1的行 列 及含零较多的行 列 若没有1 则可适当选取便于化零的数 或利用行列式性质将某行 列 中的某数化为1 若所给行列式中元素间具有某些特点 则应充分利用这些特点 应用行列式性质 以达到化为三角形行列式之目的 例5 计算 解 依第n列把Dn拆成两个行列式之和 将上式右端第一个行列式的第n列的 1 倍分别加到第1 2 n 1列上去 将上式右端第二个行列式按第n列展开 得 从而得递推公式 于是 如此继续下去 可得 Dn x1x2 xn 1a xnDn 1 故 Dn 1 x1x2 xn 2a xn 1Dn 2 Dn x1x2 xn 1a x1x2 xn 2axn xn 1xnDn 2 Dn x1x2 xn 1a x1x2 xn 2axn x1x2ax4 xn x3 xn 1xnD2 而 所以 Dn x1x2 xn 1a x1x2 xn 2axn x1x2ax4 xn x1ax3 xn ax2x3 xn x1x2x3 xn a x1x2 xn 1 x1x2 xn 2xn x1x3 xn x2x3 xn x1x2x3 xn 当x1x2x3 xn 0时 可改写为 评注 本题是利用行列式的性质和所给行列式的特点 导出所给n阶行列式Dn的递推公式 从而求出Dn 递推公式方法是求有规律性n阶行列式Dn的常用方法 第二章矩阵及其运算 2 1线性方程组和矩阵 2 2矩阵的运算 2 3逆矩阵 2 4克拉姆法则 2 5矩阵分块法 1线性方程组和矩阵 一 矩阵概念的引入二 矩阵的定义三 特殊的矩阵四 矩阵与线性变换 定义1设有n个未知数m个方程的线性方程组 一 线性方程组 其中aij表示第i个方程第j个未知数的系数 coefficient bi是第i个方程的常数项 constant i 1 2 m j 1 2 n 1 b1 b2 bm不全为零时 方程组 1 称为n元非齐次线性方程组 systemofnon homogeneouslinearequations b1 b2 bm 0时 方程组 1 成为 2 称为n元齐次线性方程组 systemofhomogeneouslinearequations 对于齐次线性方程组 2 x1 x2 xn 0一定是它的解 称为方程组 2 的零解 nullsolution 如果存在不全为零的数是 2 的解 则称为其非零解 non zerousolution n元线性方程组通常简称为线性方程组或方程组 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多解 例如 非齐次方程组可能有解可能无解 线性方程组的研究内容 是否有解 有解时它的解是否唯一 如果有多个解 如何求出其所有解 问题的答案都取决与方程组 1 的m n个系数aij i 1 2 m j 1 2 n 与常数项b1 b2 bm所构成的m行n 1列的矩形数表 齐次方程组 2 的相应问题取决于m行n列数表 b1b2 bm 由m n个数排成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵 简称m n矩阵 记作 二 矩阵 Matrix 的定义 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 这m n个数称为矩阵A的元素 简称为元 行数可不等于列数共有m n个元素本质上就是一个数表 行数等于列数共有n2个元素 矩阵 行列式 行数与列数都等于n的矩阵 称为n阶方阵 可记作 只有一行的矩阵称为行矩阵 或行向量 只有一列的矩阵称为列矩阵 或列向量 元素全是零的矩阵称为零距阵 可记作O 例如 三 特殊的矩阵 形如的方阵称为对角阵 diagonalmatrix 特别的 方阵称为单位阵 unitmatrix 记作 记作 形如下面两个矩阵的方阵称为上三角矩阵 uppertriangularmatrix 5 形如下面两个矩阵的方阵称为下三角矩阵 lowertriangularmatrix 6 若方阵中 则称为对称矩阵 symmetricmatrix 即 例如 7 如果方阵中 则A称为反对称矩阵 antisymmetricmatrix 即 例如 同型矩阵与矩阵相等的概念 两个矩阵的行数相等 列数相等时 称为同型矩阵 例如 为同型矩阵 两个矩阵与为同型矩阵 并且对应元素相等 即则称矩阵A与B相等 记作A B 注意 不同型的零矩阵是不相等的 例如 例1对于非齐次线性方程组 1 四 应用举例 有下列几个矩阵 未知数矩阵 常数项矩阵 系数矩阵 增广矩阵 第i市到j市有单程航线用1表示 无单程航线用0表示 则得到一个数表 例2某航空公司在四座城市之间开辟了若干航线 四座城市之间的航班图如图所示 箭头从始发地指向目的地 图2 1 若令 则图2 1中的航线可表示成下列矩阵 其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量 例3某工厂生产四种货物 它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表 其中bi1表示第i种货物的单价 bi2表示第i种货物的单件重量 表示一个从变量到变量线性变换 其中为常数 五 矩阵与线性变换 n个变量与m个变量之间的关系式 系数矩阵 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 2 例4线性变换 称为恒等变换 单位阵En 恒等变换 投影变换 例52阶方阵 以原点为中心逆时针旋转j角的旋转变换 例62阶方阵 小结 1 矩阵的定义 2 特殊矩阵 4 矩阵与线性变换 行 列 矩阵 单位矩阵 零矩阵 对称矩阵 反对称矩阵 3 同型矩阵 矩阵相等 对角矩阵 三角矩阵 2矩阵的运算 例1某工厂生产四种货物 它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示 试求 工厂在一年内向各商店发送货物的数量 其中aij表示上半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量 其中cij表示工厂下半年向第i家商店发送第j种货物的数量 解 工厂在一年内向各商店发送货物的数量 一 矩阵的加法 定义 设有两个m n矩阵A aij B bij 那么矩阵A与B的和记作A B 规定为 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 例2求A B 其中 解 知识点比较 矩阵加法的运算规律 设A B C是同型矩阵 设矩阵A aij 记 A aij 称为矩阵A的负矩阵 显然 设工厂向某家商店发送四种货物各l件 试求 工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量 例1 续 该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表 其中bi1表示第i种货物的单价 bi2表示第i种货物的单件重量 解 工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量 其中bi1表示第i种货物的单价 bi2表示第i种货物的单件重量 二 数与矩阵相乘 定义 数l与矩阵A的乘积记作lA或Al 规定为 2 数乘矩阵的运算规律 设A B是同型矩阵 l m是数 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 知识点比较 其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量 例1 续 某工厂生产四种货物 它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为 这四种货物的单价及单件重量也可列成数表 其中bi1表示第i种货物的单价 bi2表示第i种货物的单件重量 试求 工厂向三家商店所发货物的总值及总重量 解 以ci1 ci2分别表示工厂向第i家商店所发货物的总值及总重量 其中i 1 2 3 于是 其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量 其中bi1表示第i种货物的单价 bi2表示第i种货物的单件重量 可用矩阵表示为 一般地 三 矩阵与矩阵相乘 定义 设 那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m n矩阵 其中 并把此乘积记作C AB 例2设 求 解 则 因此 知识点比较 有意义 没有意义 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 例3 结论 矩阵乘法不一定满足交换律 矩阵 却有 从而不能由得出或的结论 矩阵乘法的运算规律 1 乘法结合律 3 乘法对加法的分配律 2 数乘和乘法的结合律 其中l是数 4 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 即 推论 矩阵乘法不一定满足交换律 但是纯量阵lE与任何同阶方阵都是可交换的 纯量阵不同于对角阵 5 方阵的幂若A是n阶方阵 定义 显然 思考 下列等式在什么时候成立 A B可交换时成立 练习 求A 2B和BC 四 矩阵的转置 定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作AT 例4 转置矩阵的运算性质 分析 设 则 而 又 如果 不可乘 但 有意义 例5已知 解法1 解法2 定义 设A为n阶方阵 如果满足 即那么A称为对称阵 如果满足A AT 那么A称为反对称阵 对称阵 反对称阵 例5设列矩阵X x1 x2 xn T满足XTX 1 E为n阶单位阵 H E 2XXT 试证明H是对称阵 且HHT E 证明 从而H是对称阵 五 方阵的行列式 定义 由n阶方阵的元素所构成的行列式 叫做方阵A的行列式 记作 A 或detA 运算性质 证明 要使得 AB A B 有意义 A B必为同阶方阵 假设A aij n n B bij n n 我们以n 3为例 构造一个6阶行列式 令 则C cij AB 从而 定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵 adjointmatrix 元素的代数余子式位于第j行第i列 注 1 只有方阵才有伴随矩阵 2 与的阶数相同 六 方阵的伴随矩阵 例2 求3阶方阵的伴随矩阵 解 性质 证明 令 则 2 设A B为复矩阵 l为复数 且运算都是可行的 七 共轭矩阵 运算性质 当为复矩阵时 用表示的共轭复数 记 称为的共轭矩阵 小结 1 矩阵的运算 线性运算 加法 数乘 幂运算 2 方阵 乘法运算 转置运算 伴随矩阵 行列式 作业P52 1 2 4 3逆矩阵 矩阵与复数相仿 有加 减 乘三种运算 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢 这就是本节所要讨论的问题 这一节所讨论的矩阵 如不特别说明 所指的都是n阶方阵 从乘法的角度来看 n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地位类似于1在复数中的地位 一个复数a 0的倒数a 1可以用等式aa 1 1来刻划 类似地 我们引入 对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A 都有 定义 n阶方阵A称为可逆的 如果有n阶方阵B 使得 这里E是n阶单位矩阵 根据矩阵的乘法法则 只有方阵才能满足上述等式 对于任意的n阶方阵A 适合上述等式的矩阵B是唯一的 如果有的话 定义 如果矩阵B满足上述等式 那么B就称为A的逆矩阵 inversematrix 记作A 1 一 逆矩阵的定义 下面要解决的问题是 在什么条件下 方阵A是可逆的 如果A可逆 怎样求A 1 二 矩阵可逆的条件 复习 行列式的按行展开定理 结论 其中 当时 上式改写为 令 则存在方阵B使得 定理1 若 则方阵A可逆 而且 推论 若 则 证 由得 即故结论成立 例1 求二阶矩阵的逆矩阵 解 故 例2 求3阶方阵的逆矩阵 解 A 1 则 方阵A可逆 此时 称矩阵A为非奇异矩阵 定理2 若方阵A可逆 则 解 因为可逆 必存在方阵使得 于是 故 结论2 对于n阶方阵A B 如果 那么A B都是可逆矩阵 并且它们互为逆矩阵 证明同上 结论1 方阵A可逆的充要条件是 定理1 若 则方阵A可逆 而且 推论 若 则 证 由得 即故结论成立 推论2 如果n阶方阵A B可逆 那么 与AB也可逆 且 三 逆矩阵的性质 证 先证 再证 最后证 上节内容回顾 一 转置矩阵 1 转置矩阵的定义2 转置矩阵的运算性质 1 定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵 adjointmatrix 元素的代数余子式位于第j行第i列 注 1 只有方阵才有伴随矩阵 2 与的阶数相同 一 方阵的伴随矩阵 上节内容回顾 设A B为复矩阵 l为复数 且运算都是可行的 三 共轭矩阵 2 运算性质 1 定义当为复矩阵时 用表示的共轭复数 记 称为的共轭矩阵 1 定义 n阶方阵A称为可逆的 如果有n阶方阵B 使得 其中E是n阶单位矩阵 B就称为A的逆矩阵 记作A 1 二 逆矩阵 2 矩阵可逆的条件 结论2 对于n阶方阵A B 如果 那么A B都是可逆矩阵 并且它们互为逆矩阵 结论1 方阵A可逆的充要条件是 3 逆矩阵的求法 伴随矩阵法 如果n阶方阵A B可逆 那么 与AB也可逆 且 4 逆矩阵的性质 5 几个常用公式 证 设 是 阶的方阵 即 方法一 存在 解 由于 方法二 解 存在 解法三 先左乘A的行列式 解 例4解矩阵方程 解 设 则原方程可改写为 又因为 所以 都可逆 于是 即 而 例5设 求 解 因 故 可逆 且 于是 性质1 若 则 即 三 对角阵的性质 性质2 若 则 即 性质3 若 则 例6设 且AB E A2 B 求B 解 由AB E A2 B得 AB B A2 E 即 A E B A E A E 因为 所以A E可逆 从而 1 定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵 adjointmatrix 元素的代数余子式位于第j行第i列 注 1 只有方阵才有伴随矩阵 2 与的阶数相同 一 方阵的伴随矩阵 上节内容回顾 设A B为复矩阵 l为复数 且运算都是可行的 三 共轭矩阵 2 运算性质 1 定义当为复矩阵时 用表示的共轭复数 记 称为的共轭矩阵 结论1 方阵A可逆的充要条件是 1 定义 n阶方阵A称为可逆的 如果有n阶方阵B 使得 其中E是n阶单位矩阵 B就称为A的逆矩阵 记作A 1 二 逆矩阵 inversematrix 2 矩阵可逆的条件 结论2 对于n阶方阵A B 如果 那么A B都是可逆矩阵 并且它们互为逆矩阵 3 逆矩阵的求法 伴随矩阵法 如果n阶方阵A B可逆 那么 与AB也可逆 且 4 逆矩阵的性质 5 几个常用公式 性质1 若 则 即 三 对角阵的性质 性质2 若 则 即 性质3 若 则 线性变换 的系数矩阵为n阶方阵A 若记 则上述线性变换可记作Y AX 2 3逆矩阵 续 例7设线性变换的系数矩阵是一个3阶方阵 记 求变量y1 y2 y3到变量x1 x2 x3的线性变换 则上述线性变换可记作Y AX 分析 求变量y1 y2 y3到变量x1 x2 x3的线性变换相当于求A的逆矩阵 解 由例2已知 于是 即 或 定义 设是复数域上的多项式 称为矩阵A的m次多项式 则 四 矩阵多项式 polynomialofmatrix 性质 设是复数域上的多项式 证 证 例8设AP P 其中 求 A A8 5E 6A A2 解 由于 8 5E 6 2 diag 1 1 58 diag 5 5 5 diag 6 6 30 diag 1 1 52 diag 1 1 58 diag 12 0 0 12diag 1 0 0 所以 A P P 1 小结 概念 矩阵可逆的条件 一 可逆矩阵 性质 应用 二 矩阵多项式 解矩阵方程 求法 伴随矩阵法 作业 P54 21 22 4克拉默法则 简介 克莱姆法则 又译克拉默法则 Cramer sRule 是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理 它适用于变量和方程数目相等的线性方程组 是瑞士数学家克莱姆 1704 1752 于1750年 在他的 线性代数分析导言 中发表的 二元线性方程组 若令 方程组的系数行列式 则上述二元线性方程组的解可表示为 一 克拉默法则 Gramer sRule 如果线性方程组 的系数行列式不等于零 即 其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式 即 那么线性方程组 1 有解并且解是唯一的 解可以表示成 定理中包含着三个结论 方程组有解 解的存在性 解是唯一的 解的唯一性 解可以由公式 2 给出 这三个结论是有联系的 应该注意 该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组 至于系数行列式等于零的情形 将在第三章的一般情形中一并讨论 二 克拉默法则的等价命题 定理4如果线性方程组 1 的系数行列式不等于零 则该线性方程组一定有解 而且解是唯一的 定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解 则它的系数行列式必为零 设 例1解线性方程组 解 法2用逆矩阵法 因 故A可逆 于是 即 线性方程组 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组 否则称为非齐次线性方程组 齐次线性方程组总是有解的 因为 0 0 0 就是一个解 称为零解 因此 齐次线性方程组一定有零解 但不一定有非零解 我们关心的问题是 齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解 三 齐次线性方程组的相关定理 定理5如果齐次线性方程组的系数行列式 则齐次线性方程组只有零解 没有非零解 定理5 如果齐次线性方程组有非零解 则它的系数行列式必为零 备注这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件 在第三章还将证明这个条件也是充分的 即 齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零 例2问取何值时 齐次方程组 有非零解 解 如果齐次方程组有非零解 则必有 所以时齐次方程组有非零解 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉默法则解方程组 为什么 此时方程组的解为何 答 当线性方程组的系数行列式为零时 不能用克拉默法则解方程组 因为此时方程组的解为无解或有无穷多解 课堂练习 用克拉默法则和逆矩阵法求解线性方程组 1 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 1 方程个数等于未知量个数 2 系数行列式不等于零 2 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系 它主要适用于理论推导 小结 作业P54 15 1 4矩阵分块法 前言 由于某些条件的限制 我们经常会遇到大型文件无法上传的情况 如何解决这个问题呢 这时我们可以借助WINRAR把文件分块 依次上传 家具的拆卸与装配问题一 什么是矩阵分块法 问题二 为什么提出矩阵分块法 问题一 什么是矩阵分块法 一 分块矩阵的概念定义 用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块 这种操作称为对矩阵进行分块 matrixpartition 每一个小块称为矩阵的子块 block 矩阵分块后 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 blockmatrix partitionedmatrix 这是2阶方阵吗 思考题 伴随矩阵是分块矩阵吗 答 不是 伴随矩阵的元素是代数余子式 一个数 而不是矩阵 问题二 为什么提出矩阵分块法 答 对于行数和列数较高的矩阵A 运算时采用分块法 可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算 体现了化整为零的思想 二 分块矩阵的运算1 分块矩阵的加法2 分块矩阵的数乘运算3 分块矩阵的乘法 1 分块矩阵的加法 定理1若矩阵A B是同型矩阵 且采用相同的分块法 即 则有 形式上看成是普通矩阵的加法 2 分块矩阵的数乘 定理2若l是数 且 则有 形式上看成是普通的数乘运算 3 分块矩阵的乘法 定理3设A为m l矩阵 B为l n矩阵 把A B分块如下 例1设有 求 A B和AB 解 用分块矩阵运算 令 则 则 于是 故 2 而 于是 三 按行分块以及按列分块 m n矩阵A有m行n列 若将第i行记作若将第j列记作则 行分块矩阵 列分块矩阵 于是设A为m s矩阵 B为s n矩阵 若把A按行分块 把B按列块 则 四 分块矩阵的转置 若 则例如 分块矩阵不仅形式上进行转置 而且每一个子块也进行转置 五 分块对角矩阵 定义 设A是n阶矩阵 若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块 其余子块都为零矩阵 对角线上的子块都是方阵 那么称A为分块对角矩阵 例如 2 分块对角矩阵的性质 A A1 A2 As 若 As 0 则 A 0 并且 证 例2 设 求A 1 解 例3设 求 A5 和A4 解 则 因 所以 因 所以 或 例4证Am n Om n的充分必要条件是方阵ATA On n 证明 把A按列分块 有于是那么即A O 小结 一 分块矩阵的概念 二 分块矩阵的运算 加法 数乘 乘法 转置 三 特殊的分块矩阵 行分块矩阵 列分块矩阵 对角分块矩阵 性质 作业 P55 25 28 1 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 一 矩阵的初等变换二 矩阵的秩三 线性方程组的解 第一节矩阵的初等变换 一 初等变换的概念二 矩阵之间的等价关系三 初等变换与矩阵乘法的关系四 初等变换的应用 知识点回顾 克拉默法则 结论1如果线性方程组 1 的系数行列式不等于零 则该线性方程组一定有解 而且解是唯一的 P 24定理4 结论1 如果线性方程组无解或有两个不同的解 则它的系数行列式必为零 P 24定理4 设 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 1 方程个数等于未知量个数 2 系数行列式不等于零 线性方程组的解受哪些因素的影响 引例 求解线性方程组 一 矩阵的初等变换 2 2 3 2 5 3 2 取x3为自由变量 则 令x3 c 则 恒等式 三种变换 交换方程的次序 记作 以非零常数k乘某个方程 记作 一个方程加上另一个方程的k倍 记作 其逆变换是 结